Методические указания по растяжению сжатию

Тема 2.2 Растяжение и сжатие

Продольные силы и их эпюры. Гипотеза плоских сечений. Нормальное напряжение в поперечных сечениях бруса. Принцип Сен-Венана. Продольная и поперечная деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука. Модуль продольной упругости. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Жесткость сечения и жесткость бруса. Определение осевых перемещений поперечных сечений бруса. Анализ напряженного состояния при одноосном растяжении (сжатии). Максимальные касательные напряжения.

Испытание материалов на растяжение и сжатие при статическом нагружении. Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали и ее характерные параметры, пределы пропорциональности, текучести, прочности (временное сопротивление). Характеристики пластических свойств: относительное остаточное удлинение. Условный предел текучести. Диаграммы растяжения хрупких материалов. Механические свойства пластических и хрупких материалов при сжатии.

Действительный и требуемый (заданный, допускаемый) коэффициенты запаса прочности по пределу текучести и по пределу прочности. Основные факторы, влияющие на выбор требуемого коэффициента запаса прочности. Условие прочности. Допускаемое напряжение; условие прочности, выраженное через допускаемое напряжение. Расчеты на прочность; проверочные (проверка прочности, определение допускаемой нагрузки), проектные (определение требуемых размеров поперечного сечения бруса). Статически неопределимые системы, температурные напряжения в статически неопределимых системах.

Литература 1, стр. 219…244; 2, стр. 24…103

Следует обратить особое внимание на гипотезу плоских сечений, которая справедлива и при других видах нагружения бруса. При растяжении или сжатии напряжения распределяются по поперечном сечению равномерно, геометрической характеристикой прочности жесткости сечения является его площадь, форма сечения значения не имеет все точки сечения равноопасны. Достаточное внимание следует уделит и вопросу испытания материалов, основным механическим характеристикам прочности материала, предельным и допускаемым напряжениям.

Вопросы для самоконтроля

1.В каком случае брус испытывает деформацию растяжения или сжатия?

2.Каков закон изменения нормальных напряжений по площади
поперечного сечения при растяжении и сжатии?

3.Влияет ли форма поперечного сечения на величину напряжений возникающих при растяжении и сжатии?

4.Что называется эпюрой нормальных сил и эпюрой нормальных
напряжений?

5.Для чего строятся эпюры N и Q? Какое поперечное сечение бруса называется опасным?

6.Что такое модуль продольной упругости материала и какова его размерность?

7. Какова связь между продольной и поперечной деформациями?
8.Что такое жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии)?

9. Какова цель механических испытаний материалов?

10.Что называется пределами пропорциональности, упругости,
текучести, прочности?

11. В чем отличие физического предела текучести от условного?

12.Каковы характеристики пластических свойств материалов?

13.В чем заключается закон разгрузки и повторного нагружения?

14.Что такое коэффициент запаса прочности детали или элемента?

15.Что такое требуемый (нормативный) запас прочности? От каких факторов зависит его величина?

16.Что такое напряжения рабочее, предельное, допускаемое и от каких факторов они зависят?

17.Можно ли оценить прочность детали, указав только величину максимальных рабочих напряжений?

18.В каком случае вес конструкции будет меньше: а) конструкция выполнена из стали марки Ст5; б) конструкция выполнена из стали 40ХН?

19.Как изменится вес конструкции, если ее выполнить с меньшим запасом прочности?

20.Диаметр стержня, работающего на растяжение, изменили в два раза. Во сколько раз изменится напряжение?

21.Какие системы называются статически неопределимыми? Приведите примеры статически неопределимых систем при растяжении (сжатии).

22. Как раскрывается статическая неопределимость системы?

23. Две трубки, выполненные из алюминия и стали, жестко заделаны и нагреты до температуры ∆t. В какой из них возникнут большие напряжения?

24. Выведите формулу для определения нормальных и касательных напряжений в наклонных сечениях бруса, работающего на растяжение.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Методические указания

к практическим занятиям по дисциплине

«Сопротивление материалов»

РПК «Политехник»

Волгоград

2005

УДК 539. 3/.6 (07)

Р 24

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Сопротивление материалов» / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2005. – 38 с.

Содержат краткие теоретические положения о деформации осевое растяжение и сжатие, методы расчёта статически определимых конструкций при осевом растяжении, сжатии, а также индивидуальные задания и примеры их выполнения.

Ил. 11. Табл. 5. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2005

Практическое занятие № 1

Тема: расчет на прочность и жесткость статически определимого ступенчатого бруса.

Цель занятия: освоить определение величины продольных сил и нормальных напряжений в поперечных сечениях ступенчатого бруса и построение их эпюр. Освоить определение перемещений поперечных сечений.

Время, отведенное на проведение занятия и выполнения индивидуального задания: 4 часа, в том числе 2 часа – аудиторных занятий и 2 часа – самостоятельной работы студентов.

1. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

·  повторить теоретический материал;

·  ответить на контрольные вопросы;

·  разобрать приведенные примеры решения задач;

·  решить самостоятельно предложенные индивидуальные задания.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

2.1. Понятие о брусе

Объектом изучения в сопротивлении материалов является брус. Брусом называется тело, у которого длина значительна по сравнению с его поперечными размерами рис. 2.1.

Брус, работающий на осевое растяжение или сжатие, принято называть стержнем.

Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений есть продольная ось бруса z.

Форма поперечного сечения не оказывает существенного влияния на прочность и жесткость бруса при центральном растяжении сжатии.

При расчетах на прочность и жесткость принимают во внимание лишь величину площади поперечного сечения. Площадь – простейшая геометрическая характеристика поперечного сечения.

2.2. Продольная сила и метод ее определения

Деформация центральное (осевое) растяжение (сжатие) имеет место в случае действия на стержень уравновешенной системы сил, направленных вдоль его продольной оси или параллельно ей (рис. 2.2 а).

При этом в поперечных сечениях стержня действует только один внутренний силовой фактор: продольная сила NZ (рис. 2.2. б).

В сечениях стержня, принадлежащих различным участкам, величина продольной силы не одинакова.

Графическое изображение закона изменения величины продольной силы по длине стержня называется эпюрой продольных сил (Эп. «N»), см. рис. 2.6 в.

Для стержней постоянного поперечного сечения эпюра «N» позволяет определить место положения опасного сечения – сечения, в котором действует наибольшая (по абсолютной величине) продольная сила. Следует отметить, что на практике довольно часто встречаются случаи нагружения стержней, которым соответствуют простейшие расчетные схемы (рис. 2.3).

В таких условиях работают стержни в различных стержневых системах, например, кронштейнах, фермах и т. д. (рис. 2.4).

Порядок определения величины продольной силы.

·  Стержень разбивают на участки, границами которых являются сечения, где приложены силы и сечения, где изменяется площадь.

В нашем случае стержень имеет 3 участка (рис. 2.2 а).

·  В пределах каждого участка используют метод сечений:

разрезают стержень поперечным сечением;

отбрасывают одну из частей стержня (желательно ту, к которой приложено больше сил или силы, величина которых неизвестна).

·  Пользуясь соответствующими правилами определяют величину продольной силы.

I правило: величина продольной силы в произвольном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных к оставшейся части стержня.

Это правило составлено из рассмотрения равновесия оставшейся части стержня (рис. 2.2 б).

,

откуда следует, что

,

или окончательно

.

II правило (правило знаков): если внешняя сила растягивает стержень, то ее проекцию на ось z следует взять со знаком «плюс», а если сжимает, то со знаком «минус» (рис. 2.2 б).

Примечание: используя это правило, следует мысленно закрепить стержень в рассматриваемом сечении и использовать принцип независимости действия сил (рис. 2.5).

Порядок построения эпюры «N».

· Проводят ось эпюры непосредственно под расчетной схемой при горизонтальном расположении схемы (рис. 2.6 в) или справа от нее при вертикальном расположении (рис. 2.7 б).

· В пределах каждого участка откладывают значение N в выбранном масштабе: положительные – вверх (вправо), отрицательные – вниз (влево) (рис. 2.6 б и 2.7 б).

·  Через концы полученных отрезков проводят прямые, параллельные оси эпюры.

·  Штрихуют эпюру линиями, перпендикулярными оси эпюры (стержня), т. к. каждая линия штриховки имеет определенный физический смысл: в выбранном масштабе она соответствует значению продольной силы в данном сечении (рис. 2.6 б и 2.7. б).

Указывают на эпюре значение продольных сил в пределах каждого участка.

На большем поле эпюры один раз сверху (справа) от оси указывают знак «плюс», снизу (слева) – знак «минус».

Над эпюрой выполняют надпись: Эп. «N» (кН).

Рассмотрим вышеизложенное на примере.

Определим величину продольных сил в поперечных сечениях стержня, представленного на рис. 2.6 а, при следующих значениях приложенных сил: F1 = 2F; F2 = 5F; F3 = F; F4 = 4F.

N1 = F1 = 2F, т. к. сила F1 растягивает стержень, при защемленном сечении 1-1 (рис. 2.6 в).

N2 = F1 – F2 = 2F — 5F = -3F, т. к. остались 2 силы при отброшенной правой части (рис.г); сила F2 сжимает брус, поэтому она в уравнении со знаком «минус».

N3 = — 4F, т. к. при отброшенной левой от сечения 3-3 части стержня осталось только одна сила 4F, которая вызывает сжатие оставшейся части (рис.д).

Правила контроля правильности эпюры “N”.

1.  В пределах каждого участка эпюра “N” изображается прямой, параллельной оси эпюры.

2.  В сечениях стержня, в которых приложены внешние силы на эпюре, имеются скачки, величина которых соответствует величине приложенной силы.

Например: в сечении, где приложена сила, F2 = 5F величина скачка равна 5F (2F + 3F), (рис. 2.6 а и б).

Используя правила определения величины продольной силы и правила контроля эпюры «N», можно, не прибегая к предварительным расчетам, построить эпюру продольных сил (рис. 2.7).

В нижнем сечении скачок вправо (т. к. сила F1 растягивает брус) на величину 2 кН, дальше – прямая параллельная оси эпюры до сечения, где действуют сила F2. Скачок вправо на 3 кН и прямая II – е оси до сечения с нагрузкой F3; скачок на 9 кН влево (в минус), т. к. сила F3 сжимает брус и прямая, параллельная оси эпюры.

2.3. Напряжения в поперечных сечениях

Продольной силе соответствуют нормальные напряжения s, величина которых определяется по формуле:

,

где N – продольная сила в рассматриваемом сечении;

А – площадь поперечного сечения.

Продольная сила есть статический эквивалент нормальных напряжений (равнодействующая внутренних нормальных к сечению, сил упругости).

Величина нормального напряжения одинакова во всех точках поперечного сечения (рис. 2.8).

Эпюру s строят аналогично эпюре N, предварительно определив значения s на каждом участке.

Единицы измерения напряжения в системе СИ: 1МПа = 106 Па (н/м2);

.

Наиболее удобной для использования является интерпретация

1 МПа = 1 Н/мм2; т. к. большинство деталей машин, элементов строительных конструкций имеют размеры, соизмеримые с миллиметрами.

2.4. Определение деформаций и перемещений

при осевом растяжении (сжатии)

Перемещение произвольного поперечного сечения стержня – есть изменение положения сечения по отношению к его первоначальному положению или по отношению к сечению, принятому за неподвижное.

Перемещение поперечных сечений является следствием абсолютной деформации (удлинения или укорочения) части бруса, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением.

Абсолютная деформация Dl отдельных участков бруса определяется по формуле Гука:

или ,

где N – продольная сила, Н;

l – длина рассматриваемого участка стержня, мм;

Е – модуль упругости первого рода, МПа;

А – площадь поперечного сечения, мм2;

s – нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях рассматриваемого участка, МПа.

Перемещение произвольного сечения равно алгебраической сумме абсолютных деформаций участков стержня, расположенных между неподвижным и рассматриваемым сечением:

.

Для построения эпюры перемещений необходимо отложить от нулевой линии величины перемещений характерных (граничных) сечений (точек) в соответствии с их знаком, вверх «+», вниз «–» при горизонтальном расположении бруса, и вправо «+», влево «–» при вертикальном расположении бруса и полученные точки соединить отрезками прямых.

В отличие от эпюр «N» и «s» эпюра «d» изображается ломаной линией, т. к. величина перемещения каждого сечения зависит от длины, .

2.5. Расчет на прочность

Условие прочности при центральном растяжении (сжатии) имеет вид:

.

где [s] – допускаемое напряжение.

,

где sоп – опасное напряжение для материала стержня, равное пределу прочности sпч. для хрупкого материала и пределу текучести sт для пластичного материала;

k – коэффициент запаса прочности.

Условие прочности позволяет решить три типа задач:

·  проверочный расчет;

·  проектный расчет;

·  определение несущей способности.

2.5.1. Проверочный расчет

Известно: расчетная схема, величина нагрузки, размеры стержней (стержня), допускаемое напряжение.

Требуется проверить прочность стержней.

Порядок расчета

·  Определяют усилия N в стержнях в соответствии с расчетной схемой.

·  Определяют площадь А поперечных сечений стержней, пользуясь соответствующими формулами или по таблицам сортамента для проката.

·  Определяют напряжения в стержнях, пользуясь формулой:

.

·  Делают вывод о прочности стержней, сравнивая рабочее и допускаемое напряжения,

если s £ [s], прочность стержня обеспечивается;

если s > [s], прочность не обеспечивается.

Примечание: допускается перегрузка на 5 %.

2.5.2. Проектный расчет (подбор сечения)

Известно: расчетная схема, величина нагрузок, допускаемое напряжение.

Требуется определить поперечные размеры стержней.

Порядок расчета

·  Определяют усилия в стержнях.

·  Определяют площади поперечных сечений стержней, используя формулу:

.

·  Определяют требуемые размеры поперечных сечений стержней.

Для сечений, имеющих форму круга, кольца, прямоугольника и т. д. пользуясь известными формулами, определяют соответствующие размер сечения например, для круга:

,

Откуда:

.

Для прокатных профилей указывают номер профиля, предварительно определив его по таблице сортамента в соответствии со значением площади, полученной расчетом.

2.5.3. Определение несущей способности

Известно: расчетная схема, размеры стержней, допускаемые напряжения.

Требуется определить величину нагрузок.

Порядок расчета

·  Определяют площади поперечных сечений стержней.

·  Определяют несущую способность стержней, пользуясь формулой:

.

·  Составляют уравнение равновесия в соответствии с расчетной схемой, из которого и определяют величину нагрузки.

3.  ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ Задания и пример

расчетА СТУПЕНЧАТОГО БРУСА

Для заданной расчетной схемы ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определить перемещение заданного сечения.

Таблица исходных данных

Таблица 1