Кручение с растяжением или сжатием
Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.
При расчете валов мы будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не будем принимать во внимание поперечные силы, так как соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.
Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам, причем для
круглых валов Wp = 2 W.
При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.
Применив третью теорию прочности, получим
Выражение, стоящее в числителе, назовем эквивалентным моментом и обозначим через Мэкв. Тогда расчетная формула для круглых валов принимает вид аэкв = Мэкв/W [а] (валы обычно изготовляют из материала, у которого [crp J = [сгс ] = [а]).
По этой формуле расчет круглых валов ведут так же, как при расчете на изгиб, но не по изгибающему, а по эквивалентному моменту. Применив энергетическую теорию прочности, получим
и тогда
Для расчетов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения необходимо, как правило, составить расчетную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего, применив одну из теорий прочности, произвести необходимые расчеты.
На рис. 7.6 в прямоугольных проекциях представлены: ведущий вал цилиндрической прямозубой передачи, расчетная схема вала и эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Эпюры построены на основании следующих данных:
передаваемая мощность Р = 40 кВт;
частота вращения вала п = 1000 об/мин;
диаметр делительной окружности зубчатого колеса D = 300 мм;
расстояние между опорами вала / = 400 мм;
радиальная нагрузка на зуб колеса Ту = 0,36 F„ где /у — окружная сила на колесе.
Проведем проверку прочности вала, изображенного на рис. 7.6, если дано: диаметр вала в опасном сечении d = 35 мм; допускаемое напряжение для вала [стр] = 70 МПа.
Прежде всего определим вращающий момент Т
Далее определим окружное и радиальное усилия F, и /у:
По этим данным строим эпюры Мк и Ми. Из эпюр видно, что опасное сечение расположено в месте закрепления зубчатого колеса.
Рис. 7.6
Применим третью теорию прочности:
учитывая, что
Взяв значения моментов из эпюр на рис. 7.6, получим
Следовательно, прочность вала недостаточна, поэтому нужно увеличить диаметр вала примерно в два раза.
На рис. 7.7 в аксонометрической проекции представлены трансмиссионный вал ременной передачи, расчетная схема вала и эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Данные для расчетов на изгиб и кручение приведены на рисунке.
Рис. 7.7
Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и крепежные винты, а сочетание деформаций кручения и сжатия — винты домкратов и винтовых прессов, сверла и шпиндели сверлильных станков. Эти детали обычно изготовляют из материалов, у которых [ар] = [стс] = [ст].
Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях вычисляют по формулам
Применив третью теорию прочности, получим расчетную формулу
Применив энергетическую теорию прочности, получим
Источник
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и крепежные винты, а сочетание деформаций кручения и сжатия — винты домкратов и винтовых прессов, сверла и шпиндели сверлильных станков. Эти детали обычно изготовляют из материалов, у которых
Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях вычисляют по формулам
Применив третью теорию прочности, получим расчетную формулу
Применив энергетическую теорию прочности, получим
Глава 25
ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
Сопротивление усталости материалов
Ранее было установлено, что динамические нагрузки подразделяются на повторно-переменные, ударные, внезапно приложенные и инерционные.
В этом параграфе рассматриваются повторно-переменные нагрузки, которые вызывают в деталях машин периодически изменяющиеся напряжения и деформации. Сопротивление деталей действию таких нагрузок существенно отличается от их сопротивления при статическом нагружении.
Повторно-переменным нагрузкам подвергаются, например, вращающиеся оси, валы, зубчатые колеса и т. п. При вращении вала одни и те же волокна оказываются то в растянутой, то в сжатой зоне, т. е. подвергаются деформациям растяжения—сжатия.
Анализ поломок деталей машин показывает, что материалы длительное время подвергавшиеся действию переменных нагрузок, могут разрушаться при напряжениях более низких, чем предел прочности и даже предел текучести. Разрушение при этом происходит вследствие усталости материала.
277
Дальнейшее изложение материала ведется в соответствии с ГОСТ 23207—78 «Сопротивление усталости. Основные термины, определения и обозначения». Используем стандартное определение усталости
Усталостью называется процесс постепенного накопления повреждений материала под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.
Причины усталостного разрушения заключаются в появлении микротрещин из-за неоднородности строения материала, следов механической обработки и повреждений поверхности детали (волосовины, раковины, газовые и шлаковые включения, следы резца или шлифовального камня и т. п.), а также результатом концентрации напряжений, о чем будет идти речь в следующем параграфе.
Способность материалов противостоять усталости называется сопротивлением усталости. Изучение этого вопроса имеет очень большое значение, поскольку такие ответственные детали, как валы, поршневые пальцы, оси железнодорожных вагонов и многие другие, выходят из строя в результате усталости.
Введем основные стандартные понятия, необходимые в дальнейшем. Циклом напряжений называется совокупность всех значений напряжений за период их изменения (рис. 25.1). Периодом цикла Т называется продолжительность одного цикла.
Цикл напряжений (рис. 25.2) характеризуется следующими параметрами:
1) максимальное
напряжение ;
2) минимальное
напряжение ;
3) среднее напряжение
;
4) амплитуда цикла
;
5) коэффициент асим
метрии цикла .
278
Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии, называются подобными.
В случае равенства и по абсолютной величине имеем симметричный цикл напряжений (рис. 25.2, б), при котором = 0, = ± , R = -1:
Цикл напряжений, изображенный на рис.25.2, а, является примером асимметричного знакопеременного цикла.
На рис. 25.2, в показан отнулевой цикл напряжений, для которого
R = 0, так как = 0.
В случае действия касательных напряжений необходимо в обозначениях и формулах заменить на .
Число циклов напряжений до начала усталостного разрушения называется циклической долговечностью, обозначаемой N.
Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором материал может сопротивляться усталости при заданной циклической долговечности, называется пределом выносливости.
Предел выносливости для нормальных напряжений при симметричном цикле обозначают при отнулевом цикле — , при цикле с коэффициентом асимметрии .
Для определения предела выносливости производят испытания образцов на усталость на специальных машинах. Наибольшее распространение имеют испытания на усталость при изгибе и симметричном цикле напряжений. Предварительно устанавливаемая наибольшая продолжительность испытаний называется базой испытаний, обычно задаваемая числом циклов, обозначаемым N0.Для стали N0 = 5 миллионов циклов.
Для испытания на усталость изготовляют серию одинаковых тщательно отполированных образцов, имеющих в рабочей части цилиндрическую форму диаметром 5—10 мм. Образцы доводят до разрушения при различной нагрузке и напряжениях, устанавливая при этом циклическую долговечность образца. По полученным данным строят кривую усталости (рис. 25.3). На кривой усталости имеется участок, стремящийся к горизонтальной асимптоте. Ордината этой асимптоты и дает значение предела выносливости .
Опыт показывает, что стальной образец, выдержавший 5 миллионов циклов, может выдержать и неограниченное число циклов. Экспериментально установлено, что при любом асим-
279
метричном цикле предел выносливости для того же материала будет выше, чем при симметричном цикле. Это означает, что симметричный цикл является наиболее опасным.
Для цветных металлов предел выносливости определяют при базе испытаний N0 = 107 и более циклов.
Величина предела выносливости зависит от вида деформации. Испытания на усталость при растяжении-сжатии и кручении проводятся реже, поэтому пределы выносливости при растяжении и кручении определяют из эмпирических формул по известному пределу выносливости при симметричном цикле изгиба:
Пределы выносливости для симметричного цикла изгиба могут быть вычислены с помощью характеристик статической прочности (например, временного сопротивления ) по следующим эмпирическим соотношениям:
для углеродистой стали
для легированной стали
для серого чугуна
При расчетах деталей, не предназначенных для длительной эксплуатации, вместо предела выносливости учитывается предел ограниченной выносливости — максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, соответствующее задаваемой циклической долговечности N (см. рис. 25.3).
Источник
При этом
виде сложного сопротивления также
возникает в опасных точках сечения
элементов конструкций сложное напряженное
состояние. В связи с этим этот вид
деформации можно также отнести ко второй
группе видов сложного сопротивления.
Так же, как и при изгибе с кручением
оценку прочности производят с применением
теорий прочности. Однако, в отличие от
изгиба с кручением при кручении с
растяжением приведенный момент не
вычисляют, так как нормальные напряжения,
возникающие в сечении элемента
конструкции, вычисляются по иной формуле
(
).
В связи с этим несколько меняется
методика определения расчетных
напряжений. Так же, как при изгибе с
кручением, сложный вид деформации
раскладывается на ряд простых –
растяжение и кручение. Для каждого из
этих видов деформации строятся эпюры
распределения внутренних силовых
факторов, отыскивается опасное сечение
и для опасных точек сечения находятся
нормальные и касательные напряжения
от каждого внутреннего силового фактора
в отдельности и подставляютсянепосредственно
в выражения для расчетных напряжений.
Например, при использовании теории
наибольших касательных напряжений
формула для расчетных напряжений
принимает вид:
.
(12.41)
По четвертой теории
прочности эта формула имеет вид:
. (12.41)
Приведенные
выше формулы удобно использовать при
решении задачи проверки напряжений,
когда известны значения внутренних
силовых факторов
и
.
Решение задачи проектировочного расчета,
когда размеры поперечного сечения
неизвестны, приходится либо заранее
задаваться значениями размеров сечения
при известной его форме, либо поступать
так, как поступают при внецентренном
растяжении или сжатии: пренебрегают
влиянием одного из внутренних силовых
факторов, например, продольной силы.
Затем вычисляют размеры поперечного
сечения, берут несколько завышенные
результаты, а затем по формулам (12.40),
(12.41) выполняют проверку напряжений.
Еще сложнее является
задача определение величины допускаемой
нагрузки, так как в отличие от изгиба
с кручением при этом виде деформации
внутренние силовые факторы вызываются
разными внешними силами.
Таким образом, мы
рассмотрели расчет элементов конструкций
и деталей машин, испытывающих сложное
сопротивление различных видов,
принадлежащих двум группам: первой
группе, когда в опасных точках поперечного
сечения возникает линейное напряженное
состояние и применим принцип прямого
суммирования напряжений, вызванных
разными силовыми факторами (пространственный
и косой изгиб, изгиб с растяжением и
сжатием, внецентренное растяжение и
сжатие), и второй, когда в опасных точках
сечения возникает сложное напряженное
состояние, и для оценки прочности
необходимо применять теории прочности
(изгиб с кручением, кручение с растяжением).
В обоих случаях сложный вид деформации
раскладывается на ряд простых, в обоих
случаях строятся эпюры распределения
внутренних силовых факторов и находится
опасное сечение, определяются опасные
точки и напряжения в этих точках от
каждого из внутренних силовых факторов
в отдельности. И только на последнем
этапе получения расчетных напряжений
методики расчета отличаются способом
оценки прочности.
Кроме рассмотренных
выше видов сложного сопротивления
существует общийслучай совместного
действия изгиба, растяжения и кручения,
когда в поперечных сечениях элемента
конструкции возникают все шесть
внутренних силовых факторов. Опасных
точек в этом случае может быть несколько
(Рис.12.32).
Рис.12.32
На рис.12.32,а приведен
общий случай изгиба, растяжения и
кручения стержня прямоугольного
поперечного сечения. Опасных точек
здесь две: точка А и точка С. В точке А
возникает линейное напряженное
состояние(Рис.12.32,б). Условие прочности
принимает вид (12.6).
В точке С возникают
плоское напряженное состояние(Рис.12.32,в). Максимальные касательные
напряжения действуют в точке С и могут
быть найдены с помощью формулы (11.44),
нормальные напряжения в точке С можно
определить с помощью формулы (12.2). Оценку
прочности в точке С можно выполнить с
применением теории наибольших касательных
напряжений и энергетической теории,
подставляя найденные в точке С нормальные
и касательные напряжения непосредственно
в формулы (12.41) или (12.42).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник