Конспект параллельный перенос растяжение сжатие

Урок  по алгебре  и началам анализа

Автор:  Шенцева Татьяна Александровна

Предмет: алгебра и начала анализа, урок-закрепление

Тема: « Геометрические преобразования графиков»

Продолжительность: 45минут

Класс: 10

Цель урока: 1. образовательная:

систематизация теоретических знаний по теме, формирование умений выполнять преобразования графиков

2. воспитательная:

воспитание активности, самостоятельности в поиске решения задач

3. развивающая:

развитие навыков анализа и синтеза

Тип урока: урок-закрепление

Оборудование: ПК, интерактивная доска, карточки-задания, презентация,

учебник: Алгебра и начала математического  анализа. 10 класс. В2ч.

Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(профильный уровень). А.Г.Мордкович и др. 5-еизд. М.Мнемозина. 2008 год.

Ч.2.Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г.Мордкович и др. 5-еизд. М.Мнемозина. 2008 год.

Ход урока.

1. Организационный момент (сообщение темы,  цели и хода  урока).

2. Актуализация:

(фронтальная беседа, с использованием презентации  по теории преобразования графиков)

Вопросы обучающимся:

Учитель:

1. Что называется графиком?  (слайд №4)
2. Какие виды графиков вы знаете?   (слайд №10-11)
3. Как производится построение графика функции?
4. Какие преобразования графиков вам известны?
5. Каков механизм выполнения этих преобразований? (слайд №5-9)
6. Можно ли с помощью ПК построить график? Каким образом?

3.Закрепление:

Демонстрируются преобразования графиков тригонометрических функций (учитель показывает на интерактивной доске происходящие изменения с графиком),  по каждому из них  отвечают на вопросы:

1. Какое  преобразование графика   вы видите?

2. Что происходит с графиком функции на периоде?

3. Как образом выполнить такое преобразование

Преобразование 1

Преобразование2

Преобразование 3

Преобразование 4

          Вопросы учителя:

1.Какова закономерность в построенных графиках?

2. Какую особенность вы заметили?

(после анализа всех преобразований по листам)

    3.Какие особенности при параллельном переносе вдоль оси Ох, Оу? При  растяжении вдоль осей Ох, Оу?

4.Каков механизм построения графиков, содержащих несколько преобразований?

Правило:

1. Построение основной функции

2. Преобразование относительно оси Ох: сначала растяжение или сжатие  вдоль оси (в зависимости от коэффициента); затем – параллельный перенос влево или право (в зависимости от знака)

3. Преобразование относительно оси Оу: растяжение или сжатие, затем параллельный перенос вдоль оси вверх или вниз (в зависимости от знака)

• Выполнение построения графика функции:

 у = | 2sinх( 2х — π/4) — 1|

Цепочка преобразований:

у = sinх     →     у = sin 2х    →       у = sin( 2х — π/4)   →    у = 2sinх( 2х — π/4)                   →   у =  2sinх( 2х — π/4) — 1     →      у = | 2sinх( 2х — π/4) — 1|

Физкультминутка для глаз

Дополнительное задание:

                    а)  у = — 2cos(2х — π/4) + 1

                    б)  у = | — 0,25sin( 3х +   2π/3 ) -2  |

4.Домашнее задание: §§16-18,19, № 16.60(б,г), 17.10(б,г18.116(б,г) [1]

5.Итог урока:

— Какие преобразования графиков  вы сегодня выполняли?

— В чем особенность параллельного переноса вдоль осей координат? Растяжения и сжатия? Построение с модулем?

— Какими знаниями необходимо обладать, чтобы выполнять построения графиков?

            (Выставление оценок с комментированием)

Список использованных источников

Учебник: Алгебра и начала математического  анализа. 10 класс. В2ч.Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович и др. ; 5-еизд. М.: Мнемозина. 2008 год. Ч.2.Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/А.Г.Мордкович и др. 5-еизд. М.Мнемозина. 2008 год.-С.97-108

Приложения к уроку:

1. Проект « Графики в математике» (можно использовать полностью или частично)
2. Построение преобразований через Excel
3. Карточки-задания (на каждую парту)

Карточка-задание:

Построить в одной системе координат графики функций, выполнив предварительно цепочку преобразований:

• у = | 2sinх( 2х — π/4) — 1|
•   у = — 2cos(2х — π/4) + 1
• у = | — 0,25sin( 3х +   2π/3 ) -2  |

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида ( pm {k_1} cdot f( pm {k_2} cdot (x + a)) + b,) где ({k_1},{k_2} > 0) — коэффициенты сжатия или растяжения (в зависимости от их значений) вдоль осей oy и ox соответственно. Знаки «минус» перед коэффициентами указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

1. Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2, отличные от единицы, если (0 < {k_1} < 1,0 < {k_2} < 1) , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если ({k_1},{k_2} > 1) , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

2. Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

3. Третий вид — параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.

Это преобразование производится в последнюю очередь при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а — вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b — вниз на |b| единиц.

Рассмотрим примеры

Пример1

Построить графики функции (y = {x^2} — 10) и (y = {x^2} + 10) в одной координатной плоскости.

Построим для начала график функции (y = {x^2}) , это парабола с вершиной в точке (0;0) и ветвями вверх.

Для построения искомого графика функции (y = {x^2} — 10) необходимо параболу параллельно перенести в отрицательном направлении по У, т.е. вниз. Для построения искомого графика функции (y = {x^2} + 10) необходимо параболу параллельно перенести в положительном направлении по У, т.е. вверх.

Пример2

Построить графики функций (y = {left( {x + 2} right)^2}) и (y = {left( {x — 2} right)^2}) .

За основу возьмем тот же график параболы, но параллельный перенос будем осуществлять вдоль оси Ох. По правилу переноса график сдвинется влево на 2 единицы для функции (y = {left( {x + 2} right)^2}) . А для функции (y = {left( {x — 2} right)^2}) сдвиг произойдет вправо.

Пример3

Построить график функции (y = — {x^2}) .

За основу возьмем тот же график параболы. Производимое изменение графика носит название -отображение. Картинка получится симметричной исходной параболе, симметрия относительно Ох.

Пример4

Построить графики функций (y = left( {3{x^2}} right)) и (y = left( {frac{1}{3}{x^2}} right)) .

Для построения этих графиков произведем сжатие графика (y = {x^2}) для первой функции и растяжение – для второй.

Если известен график функции y = f(x), то с его помощью легко получить график функции вида y = kf(ax + b) + l. Опишем это построение по этапам. Из графика функции f(x):
1) график функции f(ax), a > 0, получается сжатием графика f(x) вдоль оси x в a раз («сжатие» с коэффициентом a, 0 < a < 1, является растяжением в 1/a раз);
2) график функции f(-x) — преобразованием симметрии относительно оси y;
3) график функции f(x + b) — переносом параллельно оси x на отрезок длины |b| влево, если b > 0, и вправо, если b < 0;
4) график функции kf(x), k > 0, — растяжением вдоль оси y в k раз («растяжение» с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/k раз);
5) график функции —f(x) — преобразованием симметрии относительно оси x;
6) график функции f(x) + l — переносом параллельно оси y на отрезок длины |l| вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0. Применив эти операции, из графика функции f(x) можно получить график функции

kf(ax + b) + l + l, a 0.

Для этого согласно указанному выше надо последовательно построить графики функций

f(ax), = f(ax + b), kf(ax + b), kf(ax + b) + l

(на рис. 42 схематически изображено построение графика функции kf(ax + b) + l в случае, когда a > 0, b > 0, k > 0, l > 0).

Рис. 42

Рис. 43

Вместо последовательного построения этих графиков можно сделать преобразование координат: соответствующий параллельный перенос, изменение масштабов, а если надо, и ориентации координатных осей. Именно, график самой функции f(x) станет графиком функции kf(ax + b) + l, a 0, k 0, если перенести начало координат в точку (b, —l/k), увеличив масштаб по оси x в |a| раз, уменьшить его по оси y в |k| раз и при a < 0, соответственно при k < 0, изменить ориентацию оси x соответственно оси y (рис. 43).

Показательная функция, ее свойства и график

Цель изучения параграфа — введение понятия показательной функции; демонстрация применения знаний о свойствах показательной функции к решению прикладных задач.

Для обоснования свойств показательной функции необходимо знание материала IV главы учебника о свойствах степени. Поэтому повторение этих свойств, компактно сформулированных в начале параграфа, можно провести в ходе устного выполнения следующих упражнений:

1. Представьте в виде степени числа a > 0:

1) a 3 a −5 a 1 2 ; 2) a 3 2 : a 2 ; 3) a 1 3 ⋅a a 2 3 ; 4) ( a 3 ) 3 ; 5) ( a 6 ) 1 3 ⋅ a −2 .

2. Найти значение выражения: 1) (2π) 7 2 8 π 7 ; 2) ( 2 3 ) 6 ⋅ 2 −4 ⋅ 3 5 .

3. Сравнить с единицей: 1) 1,3 3 ; 2) 0,7−5.

4. Сравнить: 1) 0,97 и 0,96; 2) π 1 2 и π 1 3 .

Полезно повторить с учащимися выявление свойств функции по ее графику. С этой целью можно, например, используя график функции на рисунке 13, найти:

1) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

2) координаты точки пересечения графика с осью ординат;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения;

4) промежутки возрастания (убывания) функции.

Введение понятия показательной функции, обоснование ее свойств, построение графиков и исследование поведения графиков, их особые точки рассматриваются в последовательности, предложенной учебником. После этого решается задача 1.

Разбор решения этой задачи позволит учащимся выполнить упражнения 6 и 7 без построения графиков функции.

Задачу 2 желательно рассмотреть и с учащимися общеобразовательных классов. Они могут не производить вычисления на микрокалькуляторах, а принять на веру расчеты, предложенные в учебнике.

Задачу 3, носящую исследовательско-прикладной характер, рекомендуется внимательно рассмотреть с учащимися профильных классов. Они должны использовать микрокалькуляторы для выполнения расчетов при решении задачи 2, а также при выполнении упражнений 17—20.

При желании учитель в профильных классах может давать учащимся задание по написанию программы вычислений значений выражений на микрокалькуляторе. Так, например, для решения задачи 2 вычисления на инженерном микрокалькуляторе МК-51 можно провести по следующей программе:

365 ÷  14 =   х→Π  0,5  y x   Π→х  =  ×  8 =

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2.  Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

3.  Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции 

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».