Коэффициент растяжения сжатия сетки
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Испытание на растяжение
Испытание на растяжение производится на образцах двух типов:
цилиндрических и плоских.
Цилиндрические образцы могут быть нормальные (с расчетной
длиной lрасч=10d) и
укороченные (с lрасч=5d).
Для плоских образцов при вычислении расчетной длины образца используется
диаметр круга, равновеликого поперечному сечению рабочей части образца.
В процессе растяжения, реализуемого на специальных
испытательных машинах, автоматически записывается диаграмма испытания в
координатах сила – удлинение (рабочая, или индикаторная диаграмма). Для
малоуглеродистой стали эта диаграмма выглядит следующим образом:
Рассмотрим основные участки диаграммы.
OB – участок упругости.
После нагружения в пределах этого участка образец
возвращается в исходное состояние. Такая деформация, полностью исчезающая после
разгрузки, называется упругой. Механизм упругой деформации – изменение
расстояния между атомами.
BC – участок общей текучести (площадка текучести).
На этом участке на поверхности образца появляется сетка линий,
направленных под углом приблизительно 45° к оси растяжения – линии
Чернова-Людерса. Эти линии свидетельствуют о появлении нового механизма
деформации, заключающегося в сдвиге атомных слоев друг относительно друга.
Из-за этих сдвигов после разгрузки образец не возвращается в исходное
состояние, приобретая остаточную, или пластическую, деформацию. Пластическая
деформация сопровождается нагревом образца, изменением его электропроводности и
магнитных свойств, а также акустическим излучением.
CD – участок упрочнения.
Пластическая деформация изменяет внутреннюю структуру
материала, в результате чего образец снова проявляет сопротивление
деформированию, и растягивающая сила повышается.
DK – участок местной текучести.
Точка D диаграммы соответствует появлению на образце
локального сужения – шейки. Дальнейшая деформация локализуется в этой области,
и за счет уменьшения площади поперечного сечения необходимая для растяжения
сила снижается. Точка K соответствует разделению образца на части. Разрыв
происходит в самом тонком месте шейки.
Чтобы исключить влияние геометрических размеров образца,
рабочая диаграмма перестраивается в условную (в координатах напряжение –
деформация:
Полученная диаграмма называется условной потому, что при
вычислении напряжения и деформации сила и удлинение относятся не к
действительным, а к начальным значениям соответственно площади поперечного
сечения и длины образца.
На условной диаграмме выделяют следующие характерные точки:
sпц
– предел пропорциональности: максимальное напряжение, до которого справедлив
закон Гука (т.е. наблюдается прямая пропорциональная зависимость между
напряжением и деформацией);
sу
– предел упругости: максимальное напряжение, до которого в материале не
возникает пластических деформаций;
sт
– предел текучести: напряжение, при котором наблюдается рост деформации при
постоянном напряжении;
sв
– предел прочности (или временное сопротивление разрыву): максимальное
напряжение, которое может выдержать образец без разрушения.
В момент разрыва истинное напряжение, отнесенное к
действительной площади сечения, существенно выше предела прочности.
За пределами участка упругости в любой точке диаграммы
полная деформация εполн состоит из упругой εупр
и пластической εпл составляющих:
Если прекратить нагружение в точке G и снять нагрузку, то
разгрузка произойдет по закону Гука, т.е. по линии, параллельной участку
упругости (отрезок GO1). Таким образом, отрезок OO1
определяет величину остаточной деформации образца, а отрезок O1O2 – величину
упругой деформации на момент разрыва.
Механические характеристики материалов
Механические характеристики материалов, определяемые при
растяжении, можно разделить на три группы.
1. Характеристики упругих свойств.
Модуль упругости первого рода (модуль Юнга).
Модуль Юнга характеризует жесткость материала (физический
смысл) и равен тангенсу угла наклона участка упругости OB условной диаграммы к
оси абсцисс E = tga
(геометрический смысл). Для основных марок стали E = 2·105 МПа, для
меди E = 1,2·105 МПа, для алюминия E = 0,7·105 МПа.
Коэффициент Пуассона.
Удлинению стержня при растяжении в продольном направлении
сопутствует сжатие в поперечном направлении:
При этом относительная линейная деформация определяется как
,
а относительная поперечная
деформация –
.
За коэффициент Пуассона принимают модуль отношения
поперечной деформации к продольной:
.
Коэффициент Пуассона изменяется от 0 (для пробки) до 0,5
(для резины). Для основных марок стали .
Иногда к характеристикам упругости относят также предел
пропорциональности sпц и
предел упругости sу.
2. Характеристики прочности:
– предел текучести sт,
– предел прочности sв.
Если диаграмма растяжения не имеет площадки текучести, то
определяют условный предел текучести s0,2
– напряжение, соответствующее величине остаточной деформации 0,2%.
Для некоторых материалов величину условного предела
текучести определяют при остаточной деформации 0,5% (s0,5). Используется также понятие условного предела
упругости s0,001 или s0,005 – напряжение,
соответствующее величине остаточной деформации 0,001 или 0,005%.
3. Характеристики пластичности.
Относительное остаточное удлинение при разрыве:
,
где l0 – начальная
длина образца (до испытания), lк – конечная длина образца
(после разрушения).
Относительное остаточное удлинение при разрыве можно
определить непосредственно по диаграмме растяжения, проведя из точки разрыва
линию, параллельную участку упругости, до пересечения с осью абсцисс (отрезок
OL):
Относительное остаточное сужение при разрыве:
,
где A0 и Aш –
площадь поперечного сечения рабочей части соответственно до и после испытания
(в месте образования шейки).
Испытание на сжатие
При испытании на сжатие металлов используются цилиндрические
образцы с отношением высоты к диаметру 1…3:
Для строительных материалов используются кубические образцы
с длиной грани 100 или 150 мм.
Испытание на сжатие используется редко в силу того, что
между плитами испытательной машины и торцевыми поверхностями образца возникает
сила трения, нарушающая одноосное напряженно-деформированное состояние, в
результате чего определяемые характеристики прочности не могут использоваться в
расчетах на прочность. Для устранения силы трения используются следующие
приемы:
- нанесение парафинового слоя на
торцевые поверхности образца; - использование плиты
специальной конструкции.
Угол конуса рассчитывают таким, чтобы расклинивающая сила
компенсировала силу трения.
Пластичные и хрупкие материалы
По величине относительного остаточного удлинения при разрыве
принято различать:
— пластичные материалы – способные получать без
разрушения большие остаточные деформации (d > 10%);
— хрупкие материалы – способные разрушаться без
образования заметных остаточных деформаций (d < 5%).
При испытаниях на растяжение:
1 –
пластичный материал;
2 –
хрупкий материал.
Пластичные и хрупкие материалы отличаются также по характеру
разрушения. Пластичные материалы перед разрывом образуют заметную шейку, а
разрушение происходит под углом примерно 45° к оси растяжения (последнее хорошо
видно на плоских образцах). Хрупкие материалы разрушаются по плоскости,
нормальной оси растяжения, практически без образования шейки.
Сравним результаты испытаний на растяжение и сжатие для
пластичных материалов:
1 –
растяжение;
2 –
сжатие.
Считается, что для пластичных материалов пределы текучести
при растяжении и сжатии равны друг другу: sтр»sтс.
Другой особенностью испытания на сжатие пластичных
материалов является то, что их не удается довести до разрушения, т.к. они
сплющиваются в тонкий диск. По этим причинам пластичные материалы на сжатие
практически не испытывают.
Для хрупких материалов диаграммы испытаний на растяжение и
сжатие подобны друг другу:
1 –
растяжение;
2 –
сжатие.
Хрупкие материалы при испытании на сжатие разрушаются, при
этом оказывается, что предел прочности при растяжении меньше, чем при сжатии: sвр<sвс.
Существует также группа материалов, которые способны при
растяжении воспринимать большие нагрузки, чем при сжатии. Это в основном
волокнистые материалы, а из металлов – магний.
Для волокнистых материалов характерна анизотропия
механических свойств. Например, при испытаниях на сжатие дерева:
1 –
дерево вдоль волокон;
2 –
дерево поперек волокон.
Наклеп. Эффект Баушингера. Гистерезис
Если нагрузить образец до точки G, а затем произвести
разгрузку, то при повторном нагружении диаграмма растяжения пойдет по пути O1GK:
Явление повышения прочностных свойств материала (sпц, sу и sт)
и снижения пластических (d) в
результате предварительного нагружения выше предела текучести называется
наклепом (или деформационным упрочнением). Если после такого нагружения
выдержать образец в течение 100 и более часов, то при этом повышается и предел
прочности. Это явление называется естественным старением.
Наклеп может быть частично или полностью устранен
термической обработкой.
При сжатии нагружение выше предела текучести, так же, как и
при растяжении, вызывает явление наклепа. Однако наклеп, вызванный растяжением,
снижает sпц и sт при сжатии. Это явление
называется эффектом Баушингера.
Если рассмотреть диаграмму растяжения при большом разрешении
по оси деформаций, то станет заметно, что линии разгрузки GO1 и
нагрузки O1G образуют петлю – петлю гистерезиса:
Явление гистерезиса можно определить как необратимую потерю
энергии деформации в результате несовпадения кривой нагружения с кривой
разгрузки. При свободных колебаниях гистерезис является причиной постепенного
затухания колебательного процесса.
При анализе диаграмм растяжения и сжатия явлением
гистерезиса пренебрегают.
Источник