Коэффициент растяжения к при

102. Процесс вычисления можно значительно упростить, если вместо результирующих усилий в стержнях ввести

в уравнения коэффициенты растяжения. Коэффициент растяжения любого стержня определяется как результирующее усилие в этом стержне, разделенное на его длину Предположим, что рассматриваемый стержень соединяет два узла А и В. Декартовы координаты узлов обозначим через

Составляющая вдоль оси х силы, приложенной в узле очевидно, будет

Последнее равенство имеет место в силу определения коэффициентов растяжения.

Сила, действующая на узел В в том же направлении оси X, будет

скалярная величина. Как легко видеть по двум полученным равенствам, мы ввели обозначение, которое не противоречит самому себе. Если — узлы, связанные с А стержнями, то условие равновесия А запишется:

и два аналогичных уравнения для проекций на оси Через обозначены составляющие внешней силы, приложенной в А.

Уравнения такого типа можно очень легко написать для каждого из узлов данной фермы. Пользоваться декартовыми координатами удобно, потому что величины можно легко снять с обычного чертежа.

После того как уравнения написаны, задача становится чисто алгебраической. Надо решать систему не более чем трех линейных уравнений. Для того чтобы можно было получить коэффициенты растяжения из сил растяжения, или наоборот, мы

должны знать действительные длины стержней. Очевидно, что, например, длина стержня выразится через декартовы координаты узлов следующим образом:

Пример

14. (Camb. M.S.T. 1931) Рис. 34 в общих чертах воспроизводит конструкцию экскаватора. Основание, имеющее форму круга может с помощью шестерни и рейки поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр круга А. Цепь поднимающая ковш, проходит через точку и через свободно вращающийся блок, помещенный в Диаметр основания Точка находится на вертикали над А. Направление отвесно. В заданных условиях ковш в таком положении, что часть цепи наклоненная к вертикали, пересекает горизонтальную плоскость в точке на расстояниях соответственно от прямых и Сила растяжения в цепи всюду Найти силы в стержнях конструкции и крутящий момент в основании Диамстрэм блока в можно пренебречь.

Рис. 34.

[Начало координат поместим в А. Ось проведем в направлении ось в направлении Ось —вверх по вертикали (т. е. параллельно направлению Взяв в качестве единицы длины дециметр, мы имеем:

Части и цепи можно рассматривать как стержни, растягиваемые силой в Воспользовавшись (21), мы получим

так что

Теперь для узла мы можем записать три уравнения типа (20). Стержни, соединенные в суть и так что мы имеем первое уравнение

или

Аналогично получаются два другие уравнения. Они суть:

Из найдем, что

а из (IV) и второго (V) мы получаем

откуда, воспользовавшись (VI),

Наконец, из (IV)

Теперь мы можем записать уравнения для узла известно

и эти уравнения будут системой трех уравнений с тремя неизвестными. Из них мы найдем:

Выражения (VI) — (IX) дают коэффициенты растяжения всех стержней. Из уравнений типа (21) мы получим, что

Теперь силы, возникшие в стержнях, имеют (приближенно) следующие значения:

Далее нужно найти крутящий момент, действующий в основании. Мы заметим, что при этом мы должны рассматривать как внешнюю только силу растяжения в потому что проходит через центр А круга-основания. Составляющие этой силы не дают крутящего момента, потому что лежит в плоскости Составляющая по оси X силы растяжения в будет:

Она действует на плече в Итак, крутящий момент, действующий в основании, равен:

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.


Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Таблица 1

Модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Таблица 2

Коэффициент Пуассона.

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки