Какие деформации возникают при осевом растяжении

Напряжения и деформации. Коэффициент Пуассона. Закон Гука

Осевое растяжение (рис. 2.1, а) и сжатие (рис. 2.1, б) возникают под действием сил, направленных вдоль оси бруса (стержня). При растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила N. На растяжение (сжатие) работают канаты, стержни ферм и т.п. Растяжение (сжатие) могут вызвать сосредоточенные силы и продольная распределенная нагрузка (рис. 2.2). Здесь q — интенсивность продольной распределенной нагрузки, сила, приходящаяся на единицу длины, Н/м, кН/м.

Рис. 2.1. Осевое растяжение (а) и сжатие (б)

Рис. 2.2. Элемент, работающий на растяжение

Изобразим стержень, который подвергается центральному растяжению (рис. 2.3). Для определения внутренних сил применим метод сечений. В произвольном сечении стержня покажем внутренние усилия, которые при данном виде нагружения будут совпадать с направлением нормальных напряжений.

Рис. 2.3. Дефрмации при осевом растяжении (а) и равнодействующая внутренних сил (б): / — исходное состояние; 2 — деформационное состояние

Равнодействующая внутренних усилий будет состоять только из продольной составляющей:

Она будет приложена в центре тяжести сечения стержня, который совпадает с продольной осью.

При расчетах по методу сечений будем всегда продольную силу направлять наружу. Если N > 0, то она направлена верно, а если получается, что jV

Составим уравнение равновесия отсеченной части:

Из гипотезы плоских сечений, высказанной голландским ученым Д. Бернулли, следует, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими (рис. 2.3, б). Это возможно лишь в случае, если нормальные напряжения во всех точках сечения одинаковы, т.е. О = const. Отсюда следует:

Под действием осевых растягивающих сил стержень постоянного сечения площадью А удлиняется на величину

где /j и /0 — длины стержня в деформированном и начальном состояниях;

А/ — абсолютное или полное удлинение.

Относительное удлинение

При растяжении и сжатии возникает также и поперечная деформация стержня

где и а — ширина стержня в деформированном и первоначальном состояниях; А а — абсолютная поперечная деформация.

Относительная поперечная деформация

Знак (-) показывает, что при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются.

Коэффициент Пуассона. Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона:

Значение V для всех материалов находится в пределах 0

Закон Гука. Для подавляющего большинства конструкционных материалов с достаточной для практики точностью можно считать, что в известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует пропорциональная (линейная) зависимость. Эта зависимость носит название закона Гука и записывается в виде

где Е — коэффициент пропорциональности, именуемый модулем упругости первого рода (модуль Юнга).

По физическому смыслу модуль упругости — напряжение, которое вызывает деформацию ? = 1 (удлинение стержня, равное первоначальной длине).

Для статей по данным экспериментов Е = (2…2,2)105 МПа для ста-

N А/

леи. Учитывая, что О = —, ? = —, закон Гука для растянутого стержня можно записать

где X] =— — коэффициент податливости стержня, показывающий уд-

is • А

линение (укорочение) стержня, вызываемое растягивающей силой F= 1 Н.

Произведение ЕА называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии). Для стержней переменного (ступенчатого) сечения удлинения определяют по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:

где i — номер участка (i = 1, 2,…,«).

При расчете упругих перемещений стержня от нескольких сил часто применяют принцип независимости действия сил: перемещение стержня от действия группы сил может быть получено как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности.

Пример 2.1. Определить полное удлинение стержня (рис. 2.4).

Решение

Рис. 2.4. Определение внутренних сил и построение их эпюры

Определим с помощью метода сечений значения продольной силы на каждом участке. Для этого сделаем три сечения. Рассмотрим равновесие отсеченных частей:

Изобразим графически распределение продольных сил по длине стержня. График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Каждая ордината эпюры равна значению N в данном сечении. Эпюру строят на линии, проведенной параллельно оси стержня. Подставив найденные значения N, N2, N3 в формулу, определим общее удлинение стержня

Пример 2.2. Определить величину напряжения О. возникающего в поперечном сечении, абсолютное удлинение Д/ и относительное укорочение ? стального стержня диаметром d = 40 мм, длиной / = 1,5 м, растягиваемого силой F = 100 кН, если Е = 2,1 • 105 Н/мм2 (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К примеру 2.2

Решение

Площадь сечения
Напряжение

Абсолютное удлинение
Относительное удлинение

Пример 2.3. Стальная штанга длиной / = 8 м и площадью сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение А/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения G, если известно, что модуль упругости материала тяги Е = 2,МО5 МПа (рис. 2.6).

Решение

Относительное удлинение
Величина напряжения

Величина нагрузки

Рис. 2.6. К примеру 2.3

Как отмечалось ранее, в поперечном сечении бруса, под действием внешних сил возникают внутренние силовые факторы. В зависимости от того, какие силовые факторы имеют место в данном сечении бруса, определяется вид нагружения: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, изгиб или сложное сопротивление.

Растяжение (сжатие) – вид нагружения бруса, при котором в его продольном сечении возникает только продольная сила N, а остальные силовые факторы отсутствуют. При растяжении на брус действуют силы, приложенные к его торцам, равные по величине и противоположные по направлению (от сечения). При действии тех же сил в направлении к сечению возникает сжатие. Поскольку при растяжении длина бруса удлиняется, а при сжатии укорачивается, то его укорочение можно рассматривать как отрицательное удлинение.

Растягивающая сила вызывает абсолютное удлинение бруса на величину Dl и и уменьшение его поперечных размеров, сжимающая сила наоборот вызывает уменьшение длины и увеличение поперечного размера. Абсолютное удлинение или укорочение, измеренное в единицах длины (м), не дает общего представления о значительности продольной деформации. Поэтому за характеристику деформации растяжения и сжатия принимают относительное удлинение (линейная деформация) ε=Dl/l, где l – первоначальная длина. Величина ε получается в результате деления двух величин, имеющих одинаковую размерность, а следовательно сама не имеет размерности и является отвлеченным числом. Величина ε может быть выражена в %.

Для решения практических задач сопротивления материалов, важно установить взаимную связь, между линейными перемещениями, и вызвавшими их силами.

Закон Гука, устанавливает связь между нагрузкой, размерными характеристиками бруса и свойством материала из которого он изготовлен. Абсолютное удлинение (укорочение) прямо пропорционально величине силы и длине бруса и обратно пропорционально модулю продольной упругости и площади поперечного сечения.

Разделим обе части выражения на длину бруса l, получим:

Ввиду того, что сила направлена к сечению под углом 90º, можно утверждать, что полное напряжение будет иметь только нормальную составляющую. Тогда σ=р, или σ=F/S, откуда можно записать другое математическое выражение закона Гука:

т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Выразив Е через σ и ε, получим:

т.е. модуль продольной упругости представляет собой отношение нормального напряжения к соответствующему ему относительному удлинению (укорочению). Величина ε – отвлеченное число, следовательно размерность модуля упругости выражается в н/м2, или кГ/см2. Величина его определяется опытным путем. Приведем примеры для некоторых материалов.

Закон Гука можно выразить графически. Для этого по оси Х отложим в некотором масштабе величину относительной деформации ε, а по оси Y – соответствующее ей напряжение. Тогда tgα=σ/ε, но имея выражение Е=σ/ε, получим tgα=Е. Однако закон Гука действует только до предельного значения напряжения (предела пропорциональности), а далее зависимость становиться нелинейной.

Как уже отмечалось, при растяжении (сжатии) наблюдается не только осевая деформация, но и поперечная. Опытным путем установлено, что поперечные деформации при растяжении и сжатии прямо пропорциональны продольным деформациям. По аналогии с продольной деформацией введем понятие относительной поперечной деформации.

Тогда, частное от деления относительной поперечной деформации на относительную продольную деформацию при осевом растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона и обозначается μ:

Установлено, что величина μ постоянна лишь в пределах закона Гука. Приведем несколько значений коэффициента Пуассона: