Как построить эпюру растяжение сжатие

Растяжение (сжатие) — деформация, вызванная силами или системами сил, равнодействующая которых или сами силы приложены в центре тяжести сечения и перпендикулярны сечению.

При растяжении (сжатии) в каждом сечении стержня действует только один внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Продольная сила представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении стержня, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е.

При растяжении продольную силу принято считать положительной, а при сжатии — отрицательной (рис. 1.3).

Рисунок 1.3

Внешние нагрузки, действующие на стержень могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредоточенные нагрузки передают свое действие через относительно небольшие участки стержня. Распределенные нагрузки действуют на все сечения стержня (силы веса, инерции — объемные нагрузки), либо на достаточно большие участки стержня (силы трения — поверхностные нагрузки).

Интенсивность распределенной нагрузки — нагрузка, приходящаяся на единицу длины стержня (выражается в Н/м):

.

При учете собственного веса стержня определяется интенсивность распределенной нагрузки от собственного веса (вес единицы длины стержня) (Н/м):

q = G/l = Fl/l = F,

где G — вес стержня; F — площадь поперечного сечения стержня; l — длина стержня; — удельный вес материала стержня.

Задача 1.1. Для стержня, рисунок 1.4, построить эпюру продольных сил.

1. В данной задаче не обязательно определять реакцию в заделке, так как, рассматривая нагрузки от свободного конца стержня, можно определить во всех сечениях продольную силу. Продольная сила, полученная для крайнего левого сечения стержня (т.е. для заделки), и будет представлять собой реакцию в заделке.

Однако для контроля правильности расчета продольных сил полезно в начале определить реакцию R из условия равновесия т. е. сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должка быть равна нулю:

=R-3P+2P-P=0 R=2P.

Рисунок 1.4

Полученный знак плюс для реакции свидетельствует о правильности выбранного направления вектора R. Если бы реакция получалась отрицательной, то следовало бы изменить направление вектора R на противоположное.

2. Разбиваем стержень на три участка. Проводим произвольные сечения, задаем координату сечения на каждом участке (рис.1.4, а). В данной задаче на каждом участке начало координат взято в крайнем правом сечении участка.

Задание координаты сечения на участке однозначно определяет, с какой стороны от сечения суммировать внешние силы при определении внутреннего силового фактора. Если начало координат находится справа, то рассматриваются все внешние нагрузки, лежащие справа от сечения, и наоборот.

Составляем уравнения для продольной силы по участкам.

I участок: пределы изменения координаты сечения 0х1a. Мысленно отбрасываем часть стержня слева от сечения. Согласно определению, продольная сила равна сумме всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону (справа) от сечения. Справа от сечения имеется только одна сила, которая действует на данное сечение, вызывая сжатие левой от сечения части стержня, поэтому (рис.1.4, б)

N = -P.

II участок: 0х2a. Продольная сила в сечении равна сумме всех внешних сил, действующих справа от сечения. Справа от сечения действуют сила P, вызывая сжатие, и сила 2P, вызывая растяжение оставшейся левой части стержня, поэтому (рис. 1.4, в)

N = -P + 2P = P.

III участок: 0х3a. Рассуждая аналогично, получим (рис. 1.4, г)

N=-P+2P-3P=-2P.

Продольная сила N в заделке совпала по величине и направлению с реакцией Д (знак минус для N на III участке говорит о том, что на этом участке действует сжимающая сила), причем рассмотрение внешних сил справа от сечения позволяет определить продольную силу в каждом сечении, не определяя реакцию в заделке.

4. По полученным уравнениям строим эпюру продольных сил. Так как на каждом участке продольная сила — величина постоянная, то графики продольных сил — прямые, параллельные координатной оси х. Откладываем в произвольном масштабе значения N на каждом участке и строим эпюру (рис.1.4, д).

Как видно из эпюры, в каждом сечении, в котором к стержню приложена сосредоточенная сила, продольная сила меняется скачком. Таким образом, на эпюре N в сечении, где приложена сосредоточенная сила, должен быть скачок на значение этой силы. В данной задач на эпюре имеем четыре скачка N, каждый скачок соответствует сосредоточенной силе.

Эпюры принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными продольной оси х. Каждая ордината эпюры в принятом масштабе дает значение продольной силы в поперечном сечении бруса с данной координатой. На эпюре иногда указываются знаки продольных сил (плюс — для положительных, минус- для отрицательных сил).

Эпюра показывает, что брус под действием внешних сил на I и Ш участках испытывает сжатие, на II — растяжение с усилиями, известными из расчета.

Задача 1.2. Построить эпюру N для стержня, нагруженного сосредоточенной и распределенной нагрузками (рис.1.5), если известны величины a, b, c, P1 = P, P2 = 3P, q = P/b

Рисунок 1.5

• 1. Разбиваем стержень на три участка, проводим произвольные сечения на каждом участке, задаем координаты этих сечений.
• 2. Определяем уравнения для N по участкам, рассматривая внешние нагрузки вниз от сечения:

I участок: 0х1a; N =P1=P;

II участок: 0х2b; N = P1+ qX2 = P + P/b X2;

III участок: 0х3c; N = P1+ qb- P2= P + P/b b — 3P = -P.

3. Строим эпюру N по полученным уравнениям.

На II участке функция N от х представляет собой линейную зависимость, график которой есть наклонная прямая. Строим график по двум крайним значениям в начале и в конце участка:

при х2=0 N = P;

при х2=b N = P + P/b * b = 2P.

Соединяя эти точки примой, получим график искомой линейной зависимости.

Как видно из эпюры, при действии на стержень распределенной осевой нагрузки продольная сила на участке, на котором такая нагрузка приложена, меняется непрерывно. Если интенсивность нагрузки на участке постоянная (q = const), то на эпюре будет наклонная прямая. На участках, где нет распределенной нагрузки, на эпюре — прямые, параллельные оси х. Эпюра показывает, что участки I н II испытывают растяжение, участок III — сжатие, наиболее нагруженным является сечение с координатой x2=b.

В этом сечении действует растягивающее усилие, равное 2P. На эпюре три скачка, один соответствует реакции в заделке, второй — силе P2, третий — силе P1.

Задача 1.3. Построить эпюру N для стержня (рис. 1.6) с учетом собственного веса, если заданы a, , F, P = 10 Fa.

Рисунок 1.6

• 1. Разбиваем стержень на три участка.
• 2. Определяем N по участкам.

I участок: 0х1a.

Продольное усилие в произвольном сечении на I участке равно сумме всех сил, лежащих вниз от сечения. Но вниз от сечения действует только вес вышележащей части стержня, который равен произведению удельного веса на объем нижележащей части: 2Fх1. Определяем значение N в начале и в конце участка: при х1=0 N=, при х1=a N=2Fa.

II участок: 0х2a.

Продольное усилие в произвольном сечении II участка равно весу I участка плюс вес вышележащей части стержня II участка:

N = 2Fa + FX2.

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х2=0 N = 2Fa;

при х2=a N = 3Fa.

III участок: 0 х3 а. Продольное усилие в произвольном сечении III участка равно сумме весов I и II участков, внешней силе и весу нижележащей части III участка:

N = 2Fa + Fa — P+ Fх3 = — 7Fа + Fх3.

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х3=0 N = —7Fa;

при х3=a N = —6Fa.

3. Строим эпюру N. На всех участках это наклонные прямые, причем наклон прямых (коэффициент при х) определяется площадью сечения и удельным весом материала стержня. Наиболее нагруженным является сечение х3=0, оно испытывает сжатие с усилием 7Fa.

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.