Как найти работу растяжения

Работа внешних сил совершается на перемещениях, которые получают точки приложения сил к телу в результате деформации. Если деформации тела совершенно упруги, то после снятия нагрузки затраченная энергия возвращается телом в виде механической энергии.

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в деформированном объеме в процессе наложения системы нагрузок.

Рассмотрим потенциальную энергию деформации в пределах действия закона Гука. В области упругих деформаций можно считать, что работа внешних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации, т. е. w = U, где w — работа внешней силы, U — потенциальная энергия деформации.

Приложим к стержню (рис. 18, а) растягивающую силу F, медленно возрастающую от нуля до конечного значения. До определенных пределов нагружения между приложенной внешней нагрузкой и вызванным ею удлинением стержня существует линейная зависимость (рис. 18, б).

Рис. 18. Схема к определению потенциальной энергии деформации: а) расчетная схема энергии деформации; б) линейный закон сопротивления

Сила F будет производить работу на перемещении ебм, произведенную текущей силой F на элементарном перемещении

Для определения полной работы, которую совершает переменная сила F на перемещении Д/, проинтегрируем выражение (26):

Исходя из геометрического смысла интеграла, можно сказать, что применительно к рассматриваемому случаю, работа силы F на перемещении, равном А/, будет численно равна площади заштрихованного треугольника и определится по формуле

Выразим перемещение 6- Д/ через внешнюю силу F:

Подставив это выражение в (27), получим

Для однородного стержня N-F, тогда

В некоторых задачах, для того чтобы исключить влияние размеров, вводят понятие удельной потенциальной энергии и. Под удельной потенциальной энергией понимается энергия, отнесенная к единице первоначального объема стержня: и = U/V0, где Уо — начальный объем стержня.

Подставив в последнюю формулу V0 = А I и выражение (28) для потенциальной энергии, получим

Единицей энергии в системе СИ является джоуль (Дж), единицей удельной энергии деформации будет джоуль на кубический метр (Дж/м3).

Потенциальная энергия деформации широко применяется в расчетной практике.

Рассмотрим примеры решения задач на растяжение — сжатие.

Пример 3. Стальная тяга длиной / = 8 м и площадью поперечного сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение Д/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения о, если известно, что модуль продольной упругости материала тяги Е= 2-106 МПа.

Решение

Находим относительное удлинение:

Пользуясь законом Гука, определим величину напряжения:

Определим величину нагрузки:

Пример 4. Определить напряжение, возникающее в поперечном сечении стального стержня, его абсолютное Д/ и относительное в удлинения, если диаметр d= 40 мм, длина / = 1,5 м, растягиваемая сила F = 100 кН, модуль упругости материала стержня Е- 2-106 МПа.

Решение

Вычислим напряжение:

Находим абсолютное удлинение:

Определяем относительное удлинение:

Пример 5. Проверить прочность заданного стального стержня (рис. 19, а) площадью поперечного сечения А= 5 см2 и определить перемещения сечений С-С и D-D если F = 70 кН, /*2= 120 кН, [а]= 150 МПа.

Рис. 19. Расчет на прочность консольного стержня: а) расчетная схема стержня; б) эпюра продольных сил

Решение

Стержень имеет два участка длинами 5а и 2а, в пределах каждого из которых продольная сила постоянна; границей участков служит место приложения силы F2.

Применяя метод сечений, определяем значение продольной силы A^i в пределах первого (правого) участка:

ЛГ,= F,=70 кН .

Этот участок испытывает растяжение, и величину считаем положительной.

В сечениях второго участка

Этот участок испытывает сжатие, и величину Mi при построении эпюры N считаем отрицательной. Эпюра продольных сил показана на рис. 19, б.

Определяем нормальные напряжения на первом и втором участках:

В пределах каждого из участков напряжения постоянны.

Так как в нашем случае сечение стержня постоянно по всей длине, то эпюра а будет подобна эпюре N и будет отличаться от нее только масштабом, поэтому в данном случае имеет смысл построить лишь одну эпюру N.

Для расчета на прочность интерес представляет то сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, это сечение и подлежит проверке на прочность:

Таким образом, прочность данного стержня достаточная.

Теперь приступим к определению перемещений указанных сечений. Известно, что перемещение в заделке сечения В-В Д/В-в = 0. Перемещение какого-либо поперечного сечения стержня равно изменению длины (удлинению или укорочению) части стержня, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Так, в частности, перемещение сечения С-С относительно неподвижного сечения В-В равно укорочению участка стержня длиной 2а и сечение С-С, очевидно, переместится влево на величину

Для определения перемещения сечения D-D относительно неподвижного сечения В-В надо алгебраически просуммировать изменения длин первого и второго участков стержня. Условно примем перемещения вправо, соответствующие удлинению,

положительными, тогда

Перемещение сечения D-D, очевидно, равно полному изменению длины стержня. Таким образом стержень удлиняется, и сечение D-D перемещается вправо на 0,5 мм.

Любое тело перестает падать вниз, если его подвесить на крепкий шнурок. На него по-прежнему действует сила тяжести. Но она уравновешивается еще одной величиной – силой упругости шнурка. Как она действует на тело, что нужно для ее преодоления, — вопросы, ответы на которые найдете в материале.

Что такое сила упругости

Любое тело, совершающее заданный полет, в конце концов падает на землю под действием собственной силы тяжести. Исключение составляют предметы, подвешенные кверху либо располагающиеся на опоре. Их падение становится невозможным, поскольку силу тяжести компенсирует упругость подвеса. Опытным путем еще в школьной программе демонстрируется момент: когда две силы равны, предмет «замирает» в воздухе. При этом их направления действия строго противоположны. Явление, препятствующее падению подвешенных либо размещенных на опоре предметов, обусловлено проявлением силы упругости.

Сила упругости — сила, возникающая в теле при его деформации и стремящаяся вернуть его в прежнее состояние.

Чем сильнее растягивается нить, на которой подвешен предмет, и чем больше прогибается доска под грузом, тем значительнее сила упругости, которая в них возникает.

Источник: yaklass.ru

Нить стремится растягиваться до тех пор, пока две величины не уравновесятся.

Растяжение нити аналогично, например, следующим явлениям:

• изменению формы мяча при ударе по нему ногой (начинает действовать сила сжатия);
• противостоянию каната при закручивании его вокруг своей оси (сила кручения);
• сдвиганию частей одного предмета друг относительно друга (сила сдвига);
• сложностям согнуть прут в дугу или окружность (сила кручения).

Во всех случаях внешней силе, действующей в определенном направлении, начинает препятствовать другая величина, направленная противоположно и стремящаяся компенсировать ее абсолютное значение.

К такому выводу впервые пришел английский ученый Роберт Гук в 1660 году, отметив, что интенсивность изменения длины тел при их растягивании прямо пропорционально зависит от значения силы упругости.

Источник: questions-physics.ru

Его открытие приобрело статус закона Гука, формула которого выглядит следующим образом:

(Fупр=k*Δl)

(k) – коэффициент пропорциональности, имеющий специальное название «жесткость»;

(Δl) – величина, характеризующая изменение длины тела.

K зависит от свойств материала изготовления тела, его параметров и форм.

В физике закон Гука может применяться только для незначительных деформаций. Если наступает этап, когда предел пропорциональности превышен, взаимосвязь напряжения и изменения формы теряет свою линейность. Существуют среды, для которых закон Гука не работает.

Выражение закона Гука возможно и через другую формулу:

(xi;=;x⁄l)

где (xi;) — относительная деформация, 

(sigma=F⁄S)

где (sigma) — напряжение, возникающее в материале,

(S) — площадь поперечного сечения тела,

(varepsilon=1⁄Esigma)

Коэффициент жесткости и модель Юнга имеют существенное различие: если первый зависит от материала, формы и размеров тела, то второй — только от свойств материала.

В каких условиях применяется закон Гука

Универсальным вариантом для применения закона Гука является тонкий стержень. (F) в данном случае выражает ту силу, которая к нему прилагается. Зависит она от разницы длины до и после воздействия, а также коэффициента упругости материала.

(F=kastDelta l)

Как было сказано выше, (k) зависит от качества материала и габаритов. Выражая названую зависимость через площадь сечения и длину, формула для коэффициента получает следующий вид: (F=ES/L). Буквой (Е) здесь обозначается все тот же модуль Юнга – механические свойства материала. Далее следует ввести понятия относительного удлинения:

(xi=Delta l/L)

и напряжения в поперечном сечении:

(sigma=F/S)

Конечная формула закона Гука может выглядеть и так:

(triangle l=FL/ES)

Для понимания того, какие условия необходимы для функционирования закона Гука, достаточно рассмотреть два понятия: среда и сила. В таких средах, как газы, жидкости, особенно вязкие, механические особенности процессов упругости не действуют. В то же время даже очень интенсивная сила не будет работать в ряде сред.

Обязательные условия для ее проявления:

1. Незначительные изменения формы.
2. Достаточная упругость материала.
3. В материале ни при каком воздействии не происходит изменений линейного характера.

Рассмотрим график, отражающий зависимости:

Источник: uchim.guru

Нижний левый квадрат демонстрирует линейную зависимость при не интенсивных растяжениях. Затем пунктирная линия демонстрирует потерю этой «линейности». Визуально это проявляется «непослушанием» пружины: она перестает принимать свой первоначальный вид при интенсивном растяжении. Если его вовсе не прекращать, может нарушиться природная структура материала, произойдет полный излом.

Аналогичная картина наблюдается при процессе сжатия. В правом верхнем квадрате отражены следующие особенности:

При небольшом сжатии – связь прямая (красная линия).

При увеличении силы зависимость теряет «линейность» — см. пунктир.

Сильное сжатие заставляет пружину нагреваться, она теряет первичные свойства. Происходит слипание витков и разрушение структуры материала.

Примеры решения задач на силу упругости

 Задания по определению силы упругости часто встречаются в экзаменационных работах и олимпиадах.

Задача 1

Для растяжения пружины прикладывают силу 30 Н (F1). Тогда ее длина составляет 28 см. При ее сжатии с такой же F2, длина уменьшается до 22 см. Найти начальную длину пружины, а также коэффициент ее жесткости.

Решать задачу следует по схеме:

(F1=k(l1-l0))

(F2=k(l0-l2))

Из этих формул вытекает: (l1-l0=l0-l2)

(l0=(l1+l2)/2=(28+22)/2=25)

Определение жесткости пружины нужно произвести по формуле:

(k=F1/(l1-l0)=30/(28-25)*10^{-2 }=1000)

Ответ: 25 см, 1000 Н/м

Задача 2

Пружины соединены способом, изображенным на схеме:

Источник: easy-physic.ru

Жесткость каждой составляет 10 Н/м. Определить величину силы, которую нужно приложить ко всей системе, чтобы точка ее приложения стала ниже на 10 см.

Решение происходит по этапам:

1. Растяжение верхней и нижней пружин характеризуются формулой:

(triangle x2=F/k)

2. Поскольку средние пружины подсоединены параллельно, их растяжение происходит в соответствии с формулой:

(triangle x2=F/2k)

Каждая из пружин при этом растянется на: (triangle x1/2)

Следовательно, справедливо математическое выражение: (triangle x2=triangle x1/2)

 Через промежуточные формулы:

(2,5triangle x1=triangle x)

(triangle x1=triangle x/2,5)

(10/2,5=4)

находим конечную формулу для решения задачи:

(F=ktriangle x1=10ast0,04=0,4)

Ответ: сила равна 0,4 Н.

Задача 3

Один из тренажеров в спортивном зале высотой 2 м состоит из двух пружин, которые закреплены на потолке. Их длина одинакова (40 см), а жесткости обозначены k1, k2. При приложении к одной из пружин силы 360 Н (в точке А), нижняя ее часть пружина опустится до самого пола. Потянув в точке В и приложив силу 240 Н, коснется пола сама эта точка. Какова жесткость пружин?

Источник: easy-physic.ru

Прикладывая усилия к точке А, вызываем растяжение только пружины сверху. Когда ее длина достигнет 1,6 м, нижняя коснется пола. Таким образом, верхняя удлинилась на 1,2 м.

(L+triangle l1=H-L)

(triangle l1=H-2L=1,2)

(k1=F1/triangle l1=360/1,2=300)

Относительно точки В действуют формулы:

(F2/k1+F2/k2=H-2L)

(240/300+240/k2=1,2)

Значит (k2=240/0.4=600)

Ответ: коэффициенты пружин будут равны 300 и 600 Н/м.

Задача 4

Пружина массой 5 кг прикреплена к бруску, который лежит неподвижно на поверхности. Как изменится сила ее натяжения, если угол наклона будет увеличиваться от 30о до 60о?

Как видно из рисунка, брусок испытывает влияние трех сил: тяжести, натяжения пружины, реакции опоры.

Для равновесия бруска необходимо равенство величин:(mg=Fупр=N=0)

Откладывая величины на осях координат, выходим на формулы:

(mgsinalpha-;;Fупр=0)

(N;-;mg;cosalpha;=;0)

Из первого уравнения следует: 

(Fупр=mast gastsinalpha)

Учитывая, что угол наклона поверхности, на которой расположен брусок, меняется, ΔFyпp можно определить по формуле:

(Delta Fyпp;=;mg(sinalpha2;-;sinalpha1);)

Подставляя в формулу значения, высчитывают значение искомой силы:

ΔFyпp=5 * 10 * (0,866 — 0,5) = 18,3 Н

Те, кому нужна практическая или теоретическая помощь в освоении темы по силе упругости, могут обратиться на Феникс.Хелп. Вам всегда помогут.

Второй закон Ньютона в импульсной форме позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если в течение некоторого времени на него действует определенная сила:

Работа силы

В механике также важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещении тела на некоторый отрезок на него действует некоторая сила. Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений. Эту величину в механике называют работой силы.

Работа силы обозначается буквой А. Это скалярная физическая величина. Единица измерения — Джоуль (Дж).

Работа силы равна произведению модуля силы, модуля перемещения и косинусу угла между ними:

Важно!

Механическая работа совершается, если:

1. На тело действует сила.
2. Под действием этой силы тело перемещается.
3. Угол между вектором силы и вектором перемещения не равен 90 градусам (потому что косинус прямого угла равен нулю).

Внимание! Если к телу приложена сила, но под ее действием тело не начинает движение, механическая работа равна нулю.

Пример №1. Груз массой 1 кг под действием силы 30 Н, направленной вертикально вверх, поднимается на высоту 2 м. Определить работу, совершенной этой силой.

Так как перемещение и вектор силы имеют одно направление, косинус угла между ними равен единице. Отсюда:

Работа различных сил

Любая сила, под действием которой перемещается тело, совершает работу. Рассмотрим работу основных сил в таблице.

Работа силы упругости

Работа силы упругости не может быть определена стандартной формулой, так как она может применяться только для постоянной по модулю силы. Сила же упругости меняется по мере сжатия или растяжения пружины. Поэтому берется среднее значение, равное половине суммы сил упругости в начале и в конце сжатия (растяжения):

Нужно также учесть, что перемещение тела под действием силы упругости равно разности удлинения пружины в начале и конце:

s = x1 – x2

Перемещение и направление силы упругости всегда сонаправлены, поэтому угол между ними нулевой. А косинус нулевого угла равен 1. Отсюда работа силы упругости равна:

Работы силы трения покоя

Работы силы трения покоя всегда равна 0, так как под действием этой силы тело не сдвигается с места. Исключение составляет случай, когда покоящееся тело лежит на подвижном предмете, на который действует некоторая сила. Относительно системы координат, связанной с подвижным предметом, работа силы трения покоя будет нулевой. Но относительно системы отсчета, связанной с Землей, эта сила будет совершать работу, так как тело будет двигаться, оставаясь на поверхности движущегося предмета.

Пример №2. Груз массой 100 кг волоком перетащили на 10 м по плоскости, поверхность которой имеет коэффициент трения 0,4. Найти работу, совершенной силой трения скольжения.

A = μmgs cosα = 0,4∙100∙10∙10∙(–1) = –4000 (Дж) = –4 (кДж)

Знак работы силы

Знак работы силы определяется только косинусом угла между вектором силы и вектором перемещения:

1. Если α = 0о, то cosα = 1.
2. Если 0о < α < 90o, то cosα > 0.
3. Если α = 90о, то cosα = 0.
4. Если 90о < α < 180o, то cosα < 0.
5. Если α = 180о, то cosα = –1.

Работа силы трения скольжения всегда отрицательна, так как сила трения скольжения направлена противоположно перемещению тела (угол равен 180о). Но в геоцентрической системе отсчета работа силы трения покоя будет отличной от нуля и выше нуля, если оно будет покоиться на движущемся предмете (см. рис. выше). В таком случае сила трения покоя будет направлена с перемещением относительно Земли в одну сторону (угол равен 0о). Это объясняется тем, что тело по инерции будет пытаться сохранить покой относительно Земли. Это значит, что направление возможного движения противоположно движению предмета, на котором лежит это тело. А сила трения покоя направлена противоположно направлению возможного движения.

Геометрический смысл работы

Графическое определение

Механическая работа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком с осями OF и OX.

A = Sфиг

Мощность

Определение

Мощность — физическая величина, показывающая, какую работу совершает тело в единицу времени. Мощность обозначается буквой N. Единица измерения: Ватт (Вт). Численно мощность равна отношению работы A, совершенной телом за время t:

Рассмотрим частные случаи определения мощности в таблице.

Пример №3. Машина равномерно поднимает груз массой 10 кг на высоту 20 м за 40 с. Чему равна ее мощность?

Коэффициент полезного действия

Не вся работа, совершаемая телами, может быть полезной. В реальном мире на тела действует несколько сил, препятствующих совершению работы другой силой. К примеру, чтобы переместить груз на некоторое расстояние, нужно совершить работу гораздо большую, чем можно получить при расчете по формулам выше.

Определения:

• Работа затраченная — полная работа силы, совершенной над телом (или телом).
• Работа полезная — часть полной работы силы, которая вызывает непосредственно перемещение тела.
• Коэффициент полезного действия (КПД) — процентное отношение полезной работы к работе затраченной. КПД обозначается буквой «эта» — η. Единицы измерения эта величина не имеет. Она показывает эффективность работы механизма или другой системы, совершающей работу, в процентах.

КПД определяется формулой:

Работа может определяться как произведение мощности на время, в течение которого совершалась работа:

A = Nt

Поэтому формулу для вычисления КПД можно записать в следующем виде:

Частые случаи определения КПД рассмотрим в таблице ниже:

Пример №4. Определите полезную мощность двигателя, если его КПД равен 40%, а его мощность по паспорту равна 100 кВт.

В данном случае необязательно переводить единицы измерения в СИ. Но в таком случае ответ мы тоже получим в кВт. Из этой формулы выразим полезную мощность:

Алиса Никитина | ???? Скачать PDF |