Как найти коэффициент растяжения в точке при отображении

Если функция Аналитична в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости (Z) на плоскость (w). Аргумент производной геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости (Z), проходящей через точку , чтобы получить направление касательной в точке .

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

Решение. Имеем , так что . Перейдя от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, получим:, то есть , угол поворота .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

52. Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими, хотя бы в одной точке, какие — нет.
а) ; б) ; в) ; г) ; д);
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .

53. Показать, что в области — аналитическая функция.

54. Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид ; . Проверить выполнение этих условий для функций
а) ; б) .

55. Доказать, что если и — аналитические в области D функции, то функции , также аналитичны в области D, а частное -аналитическая функция во всех точках области D, в которых . При этом имеют место формулы ; ; .

56. Используя утверждение задачи 4, найти области аналитичности функций и их производные: а) ; б) ; в) ;
г); д) ; е) ; ж) ;
з).

57. Показать, что нижеследующие функции являются гармоническими:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .

58. В следующих примерах даны пары , гармонических функций. Найти среди них сопряженные пары гармонических функций: а) , ; б) , ; в) , ; г) , .

59. Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: а) , , ; б) , ; в) , , ; г) ,; д) , , ; е) , , ;
ж) , ; з) , ; и) , , ; к) , , .

60. Можно ли найти аналитическую функцию, у которой действительная часть равна а); б) ; в) ?

61. Найти коэффициент растяжения K и угол поворота для заданных отображений в указанных точках:
а) , ; б) , ; в) , ;
г) , ; д) , ; е) , .

62. Выяснить, какая часть плоскости растягивается, а какая сжимается при следующих отображениях а) ; б) ; в) ; г) .

63. Найти множество всех тех точек , в которых при следующих отображениях коэффициент растяжения : а) ; б) ; в) ;
г) .

1. Регулярное отображение непрерывно в обе стороны, т.е. достаточно близким точкам при отображении в одну сторону и в другую соответствуют сколь угодно близкие точки.

2. При регулярном отображении внутренние точки области D переходят во внутренние точки области G; граничные точки области D – в граничные точки области G и, наоборот, при обратном отображении.

3. При регулярном отображении кривая отображается в кривую.

4. Абсолютная величина якобиана при регулярном отображении равна пределу отношения меры отображенной области и первоначальной при стягивании их в точку:

d – диаметр области.

Таким образом, – коэффициент растяжения областей или величина искажения масштаба в точке z при отображении с помощью функции

Выведем формулу для нахождения коэффициента:

(по КРЭДу) или .

Тогда, коэффициент растяжения будет равен . (14)

Определение 36.Регулярное отображение области D плоскости (Oxy) на область G плоскости (Оuv) посредством гармонической пары или, что то же самое, аналитической функции, называется конформным, если в каждой точке оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Если представить себе плоскости (z) и совмещенными, то каждый малый вектор с вершиной в точке z0 при отображении будет перенесен вершиной в , растянут в k0 раз и повернут на угол α0. Поэтому и вся малая окрестность точки z0 при рассматриваемом отображении испытает поступательный перенос, всестороннее растяжение и поворот. Образ каждой малой фигуры, расположенной в области G, будет, с точностью до малых высшего порядка, геометрически подобен прообразу, т.е. малый круг переходит в круг, а углы между пересекающимися линиями сохраняются.

Лемма. При аналитическом отображении ориентация плоскости сохраняется, т.е. если обходить малый замкнутый контур плоскости (z) в некотором направлении, то и образ будет обходиться в том же направлении. И обратно, если некоторое отображение плоскости сохраняет подобие бесконечно малых фигур (или даже только углы между пересекающимися линиями) и ориентацию плоскости, то это отображение аналитическое.

В связи со сказанным можно дать другое определение конформности:

Определение 37.Взаимно однозначное отображение некоторой плоской области, при котором сохраняются подобие бесконечно малых фигур и ориентация плоскости, называется конформным; если подобие сохраняется, но ориентация меняется на противоположную, то отображение называется антиконформным.

Теорема 8.Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан .

Рассмотрим подробнее сказанное о сохранении углов и постоянстве растяжений при конформных отображениях.

Пусть – аналитическая функция в области D. Пусть задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости посредством данной аналитической функции. Если точка (x,y) на плоскости (Oxy) описывает некоторую линию Г, расположенную в области D, то соответствующая точка (u,v) на плоскости (Оuv) опишет линию Г /, расположенную в области G (рис. 15).

Линию Г / называют отображением или образом линии Г на плоскость (Оuv) с помощью аналитической функции.

1) О сохранении углов.

Возьмем на линии Г точку (см. рис. 15). Этой точке на линии Г / соответствует точка Проведем к линии Г касательную L в точке (x0, y0), а к линии Г / – касательную в точке

Пусть α – угол, на который нужно повернуть касательную L, чтобы ее направление совпало с направлением прямой , т.е. это угол между касательными к первоначальной и отображенной кривым: .

Можно доказать, что .

Пусть – угол между осью (Ох) и касательной L к кривой Г, тогда /– угол между осью (Оu) и касательной к кривой Г/, угол между L и . Если поворот от L к происходит против часовой стрелки, если поворот от L к происходит по часовой стрелке.

Геометрический смысл аргумента производной:

– (15)

аргумент производной функции в точке геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω0 к образу этой кривой Г/.

Рассмотрим другую линию γ, также проходящую через точку (x0, y0), и ее отображение – линию , проходящую через точку (рис. 15). Пусть l – касательная к кривой γ в точке (x0, y0), – касательная к кривой в точке

Для того чтобы направление прямой l совпало с направлением прямой надо и в этом случае прямую l повернуть на угол α, т.к. α зависит только от значения производной и не зависит от уравнения кривой.

Вывод 1. Две произвольные линии, пересекающиеся в точке (x0, y0), отображаются посредством функции в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке так, что угол β между касательными к данным и между касательными к отображенным линиям один и тот же.

Замечание. Из свойства сохранения углов вытекает, в частности, что линии и плоскости (x,y) образуют два взаимно ортогональных семейства линий. Это дает возможность, задаваясь различными аналитическими функциями , получать разнообразные ортогональные системы координат на плоскости.

2) О постоянстве растяжений.

Рассмотрим коэффициент растяжения k. Пусть аналитическая функция отображает кривую Г1 в кривую γ1, кривую Г2 в кривую γ2, причем точка отображается в точку ω0, , (рис. 16).

Тогда – предел отношения растяжений или .

Замечание. При конформном отображении сохраняется подобие лишь бесконечно малых фигур, тогда как форма конечных фигур может существенно измениться. Например, квадрат плоскости (z), разбитый на 4 квадратика, может отобразиться на криволинейную фигуру с прямыми углами на плоскости (рис. 17). Дело в том, что хотя каждый малый участок плоскости (z) при отображении испытывает всестороннее растяжение и поворот, но для разных участков коэффициенты растяжения и углы поворота различны, что и приводит к такому искажению.

Пусть отрезок АВ посредством аналитической функции отображается в кривую (рис. 18). Тогда коэффициент растяжения – предел отношения длины дуги к длине отрезка. Следовательно, и любой другой отрезок растягивается ровно в k раз в плоскости (Оuv) при этом отображении.

При k > 1 имеет место растяжение, при k < 1 – сжатие.

Ранее вывели, что коэффициент растяжения может быть найден по формуле (14): .

Из теоремы 5 известно, что производная аналитической функции в точке z0 находится по формуле (11): Найдем модуль полученной после дифференцирования ФКП : и сравним полученное выражение с выражением (14). Видно, что . Для существования отображения должно быть , что гарантирует теорема 8, так как .

Геометрический смысл модуля производной:

– (16)

модуль производной функции в точке геометрически равен коэффициенту растяжения в точке при отображении .

Вывод 2. При отображении аналитической функцией наблюдается постоянство растяжений (сжатий), следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно.

Определение 38.Функция называется однолистной в области D, если любым различным значениям , взятым из области D, соответствуют различные значения функции . Другими словами, если функция, обратная к , однозначная, то отображение называется однолистным.

Однолистность означает, что при отображении плоскость (z) покрывает плоскость только один раз.

Критерий конформности отображения:Для того чтобы отображение области D, задаваемое функцией , было конформным, необходимо и достаточно, чтобы была однолистной и аналитической в области D функцией, причем всюду в D.

Общий вывод из 1) и 2).Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции состоит в том, что при отображении, осуществляемом этой функцией, удовлетворяющей условию , коэффициент растяжения k определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке z0 , а α – угол поворота этого элемента.

Пример 26.Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке для отображения

Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда функции u, v являются дифференцируемыми в точке (x; y) и выполняются соотношения:

(29.4)

Последние два равенства называют условиями Д’Аламбера–Эйлера (Коши–Римана).

Если все частные производные функций u, v непрерывны в точке (x, y) и удовлетворяют условиям Д’Аламбера–Эйлера, то функция является дифференцируемой в точке

Если функция f(z) является дифференцируемой в точке то для вычисления ее производной в этой точке справедливы формулы:

(29.5)

Геометрический смысл модуля производной: модуль производной в точке можно рассматривать как коэффициент растяжения в точке при отображении

Геометрический смысл аргумента производной: аргумент производной в точке есть угол поворота касательной к кривой в точке при отображении

Взаимно-однозначное отображение, которое сохраняет углы между кривыми, проходящими через некоторую точку, и дает одинаковый коэффициент их растяжения, называется конформным в этой точке.

Функция называется аналитической в области D, если она однозначна и дифференцируема в каждой точке этой области. Функция f(z) называется аналитической в замкнутой области если существует область в которой функция аналитична. Функция называется аналитической в точке, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция аналитична.

Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции в области D являются дифференцируемость в области D функций u, v и выполнение в этой области условий Д’Аламбера–Эйлера (29.4).

Однозначная функция u(x; y) двух действительных переменных называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:

(29.6)

Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. Условие гармоничности функций u(x; y) и v(x; y) является необходимым условием аналитичности функции но не является достаточным.

Пусть D – произвольная область плоскости Ĉ. Если для любой замкнутой линии которая принадлежит множеству D, внутренняя или внешняя область кривой целиком принадлежит D, то область D называется односвязной.

Область, границей которой является объединение конечного числа замкнутых непрерывных непересекающихся кривых без точек самопересечения, называется многосвязной. Если граница области состоит из n указанных кривых, то область называется n—связной.

Любая гармоническая в односвязной области D функция является действительной (мнимой) частью некоторой аналитической в области D функции. При этом вторая неизвестная часть этой функции находится с точностью до постоянного слагаемого по ее известной части.

Пример 1.Выяснить, дифференцируема ли функция

Решение. Находим т. е. Проверим, выполняются ли условия (29.4) дифференцируемости функции.

Вычисляем

Видим, что условие выполняется при а условие – при Таким образом, сразу оба условия Д’Aламбера–Эйлера не выполняются ни в одной точке комплексной плоскости, т. е. функция не является дифференцируемой ни в одной точке.

Пример 2.Выяснить дифференцируемость функции f(z) и найти ее производную, если:

1) 2)

Решение. 1) 1-й способ. Функция определена в каждой точке плоскости C. Найдем ее действительную часть u, а также мнимую часть v.

т. е. Проверим, имеет ли эта функция непрерывные частные производные. Найдем их:

Видим, что все производные непрерывны на плоскости C и удовлетворяют на ней условиям Коши–Римана (29.4). Значит, функция f(z) является дифференцируемой на всей комплексной плоскости. Для вычисления ее производной можно использовать, например, формулу (29.5):

2-й способ. Используя формулу и правила дифференцирования (29.3), получим Очевидно, что этот способ нахождения производной рациональнее, чем первый.

2) Функция определена на всей плоскости C. Найдем ее действительную и мнимую части, преобразовав выражение, которым она задается (при условии ):

Тогда

Частные производные непрерывны всюду на множестве C, но нельзя утверждать, что условия Коши–Римана выполняются для всех Найдем те точки, где они справедливы, т. е. где имеет решение система

Поскольку она равносильна системе

то видим, что условия Коши–Римана выполняются только в точке (0; 0). Для этой точки все частные производные равны нулю, значит,

Пример 3. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке

Решение.

Откуда получаем коэффициент растяжения в заданной точке:

Находим угол поворота для заданного отображения:

Пример 4.Найти область аналитичности функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Поскольку то

Тогда

Условия Д’Аламбера–Эйлера (29.4) выполняются в единственной точке В этой точке функция является дифференцируемой, но не является аналитической. Таким образом, функция не является аналитической ни в одной точке комплексной плоскости.

2) Найдем действительную и мнимую части заданной функции:

т. е.

Находим частные производные:

Условия Д’Aламбера–Эйлера (29.4) выполняются во всех точках, кроме точки Функция аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точки

3) Для нахождения действительной и мнимой частей заданной функции используем формулы Эйлера:

Поэтому

Вычисляем

Замечаем, что условия дифференцируемости (29.4) выполняются для всех т. е. функция аналитична на всей комплексной плоскости.

Пример 5.Восстановить аналитическую функцию f(z) по ее известной части (если это возможно): 1) действительной 2) мнимой 3) действительной

Решение. 1) Убедимся, что функция u(x, y) является гармонической. Поскольку

и то справедливо равенство (29.6). Первое равенство из условий Коши–Римана (т. е. ) приобретает вид откуда после интегрирования имеем

Таким образом, приходим к выражению

Из второго равенства Коши–Римана имеем: или, то же самое,

Из последнего равенства получаем и соответственно В результате найдена функция и восстановлена аналитическая функция

которую можно записать иначе:

Это то же самое, что

2) Нетрудно убедиться, что функция v(x, y) является гармонической, так как

Равенство из условий Коши–Римана принимает вид Интегрируя его, находим

Второе равенство из тех же условий дает

Значит,

Из последнего равенства получаем и соответственно

Таким образом, и

Функцию f(z) можно записать в виде зависимости от z. Действительно,

что приводит к виду

3) Проверим, является ли функция гармонической. Вычислим соответствующие частные производные:

Уравнение Лапласа (29.6) для этой функции приобретает вид откуда видим, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа только в точках прямой Приходим к заключению, что она не является гармонической, так как не существует области, в которой справедливо равенство (29.6). По этой причине не существует аналитической функции, у которой действительная часть есть

Date: 2015-07-24; view: 481; Нарушение авторских прав