Эпюра перемещений при растяжении

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.

При центральном растяжении и сжатии прямого стержня поперечные сечения, оставаясь плоскими, получают осевые перемещения и (см. рис. 3.7). Они считаются положительными, если их направление совпадает с положительным направлением оси Ох.

Рассмотрим осевые перемещения двух произвольных сечений, отстоящих на расстоянии Ах друг от друга (рис. 3.11). После приложения нагрузки эти сечения получают перемещения соответственно ии и + А и. Длина отрезка Ах после деформации составляет Ах1 = Ах + (и + А и) — и = Ах + А и, а величина удлинения равна Ах, — Ах = Аи.

Рис. З.п

Относительная продольная деформация волокон стержня в сечении х представляет собой предел отношения удлинения А и к первоначальной длине Ах при стремлении последней к нулю:

Проинтегрировав это соотношение в пределах от 0 до х, получим формулу для определения осевого перемещения произвольного сечения:

Обозначив в начальном сечении х = 0 и(0) = и0, получим, что постоянная интегрирования С равна и0. В результате имеем

Учитывая, что на основании (3.6) и (3.5) линейная деформация равна

получим следующую формулу:

Величина ЕЕ называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Формула (3.11) позволяет установить характер изменения и(х). Для частного случая, когда жесткость EF и продольная сила N являются постоянными величинами, осевые перемещения изменяются по линейному закону:

На участке, где EF = const, а N является линейной функцией, осевые перемещения изменяются по закону квадратной параболы.

Если начальное сечение х = 0 закреплено, то и0 = 0. Из соотношения (3.10) следует, что в сечении, где е равно нулю (N = 0), и(х) может иметь экстремум.

Удлинение или укорочение стержня длиной / (см. рис. 3.7) равно разности осевых перемещений его концов х = 0 и х = /: А/ = и([) — и(). Согласно формуле (3.11) получим

Для частного случая ЕЕ = const и N = const получим

Для стержня с постоянной жесткостью ЕЕ и линейным законом изменения продольной силы N при определении Д/ удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла и привести формулу (3.12) к следующему виду:

где Qn — площадь эпюры N на участке от 0 до /.

Пример 3.2. Для стержня ступенчато-постоянного сечения (рис. 3.12, а) построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1 • 105 МПа.

Рис. 3.12

В данном примере вычисление значений N но производим в характерных сечениях, начиная со свободного конца. При этом мысленно отбрасывается часть стержня, содержащая закрепленное сечение.

Участок 0,8

Сечение х = 2 м, N = 0, о = 0.

Сечение х = 0,8 м, N = 20 • 1,2 = 24 кН (растяжение),

о = = 1,2 кН/см2 = -12 МПа.

Участок 0

Сечение х = 0,8 м, N= 24 — 40 = —16 кН (сжатие), о = —у = -2 кН/см2 = -20 МПа.

Сечение x =0, N — — 16 кН, о = —20 МПа.

Опорная реакция в месте закрепления равна R = 16 кН. Ее направление показано на рис. 3.12, а.

В соответствии с соотношением (3.1) продольная сила и нормальные напряжения в пределах первого участка являются постоянными по величине, а в пределах второго участка изменяются по линейному закону. Эпюры N и с приведены на рис. 3.12, б, в.

Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня:

Величина А/ всего стержня равна

В целом стержень укорачивается. Определим величины осевых перемещений характерных сечений:

Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох. В пределах первого участка и(х) изменяется по линейному закону, а в пределах второго участка — по закону квадратной параболы. В сечении вблизи свободного конца касательная к эпюре и параллельна оси стержня, поскольку в этом сечении N= 0. Эпюра и приведена на рис. 3.12, г.

Пример 3.3. Для стержневой системы, состоящей из жесткой балки АВ, поддерживаемой тремя стальными стержнями указанного сечения (рис. 3.13), определим усилия и напряжения в стержнях и величины их удлинений. В расчетах примем Е= 2,1 • 105 МПа.

Для определения усилий Nx, N2 и N3 в стержнях системы используем три уравнения равновесия:

Рис. 3.13

Все три стержня испытывают растяжение. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений.

Стержни CD и DE (_||_63х63х4)

где /j = /2 = V22 + 22 = 2,83 м и /3 = 2 м — длины стержней.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #