Энергия упругой деформации растяжения

Считая процесс нагружения квазистатическим и учитывая линейную связь Al(N), для потенциальной энергии деформации имеем

Если брус неоднородный, то

Удельная потенциальная энергия деформации, соответственно, равна

Статически неопределимые системы. Перемещение систем в пространстве ограничено связями. Если число связей, наложенных на систему, больше, чем необходимое для ее решения число уравнений статики, то такие системы называют статически неопределимыми. Для их решения используют дополнительные уравнения совместности деформаций. Характерной особенностью статически неопределимых систем является возникновение в них температурных напряжений, образующихся без внешних усилий под воздействием температуры.

При испытании на растяжение обеспечивается однородность напряженного состояния всех точек образца на рабочей длине. Испытание на растяжение достаточно просто, а его результаты в меньшой степени зависят от формы и размеров образца, чем испытания других видов. Наконец, испытание на растяжение позволяет получить достоверные характеристики прочности, упругости и пластичности материала, которые можно также использовать в расчетах деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния.

Характерный вид диаграммы растяжения образца из пластичного материала представлен на рис. 14.3. На этой диаграмме можно выделить четыре основных участка (зоны).

Рис. 143. Диаграммы растяжения образцов

На участке ОЛ материал подчиняется закону Гука. Деформации образца очень малы и при разгрузке исчезают. Участок ОЛ называют зоной упругости. За пределами этого участка деформация образца складывается из упругой и пластической (остаточной) составляющих.

Участок ВС характеризуется нарастанием пластической деформации без увеличения осевой нагрузки (Р = Рт) и называется зоной общей текучести. При нагрузке Рт во всем объеме рабочей части образца происходят необратимые деформации сдвига между кристаллическими слоями. В результате текучести происходит перестройка кристаллической решетки, несущая способность образца увеличивается и для его дальнейшего деформирования требуется повышение нагрузки.

Участок CD называют зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но гораздо более медленным, чем на участке ОЛ. В точке D диаграммы осевая растягивающая нагрузка достигает максимального значения (Р = Ртах). К этому моменту на образце наметилось место будущего разрыва — образовалось местное сужение, называемое шейкой (или пластический шарнир).

Дальнейший ход испытания связан с прогрессирующим утонением шейки и сосредоточением деформации образца в районе шейки. Участок DFдиаграммы носит название зоны местной текучести. Здесь нагрузка плавно уменьшается (Р тах) вплоть до разрушения образца в шейке.

Если образец нагрузить до точки L диаграммы, а затем плавно уменьшить нагрузку, то зависимость между силой и деформацией изобразится отрезком LM, параллельным прямой О А При полной разгрузке образца его удлинение уменьшится, но не исчезнет. Таким образом, полное удлинение образца в точке L складывается из двух составляющих — упругой А/у и остаточной — Д/(кт. При повторном нагружении такого образца материал будет деформироваться упруго до точки L (см. рис. 14.3, б). В результате предварительной вытяжки материал приобрел способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Исчезла площадка текучести, материал стал более хрупким. Подобное явление, называемое наклепом (или нагартовкой), широко используют в технике.

Параметры диаграммы растяжения в координатах А/—Р зависят не только от свойств материала образца, но и от его размеров. Чтобы получить характеристики материала, машинную диаграмму А/—Р перестраивают в координатах е —а (относительная деформация — напряжение). Связь между координатами определяется зависимостями

где А() — начальная площадь поперечного сечения образца; /() — начальная расчетная длина образца.

Поскольку А0 и /() — константы, диаграмма деформаций при растяжении имеет ту же форму (рис. 14.4, кривая 1). Обработка диаграммы деформаций позволяет определить следующие основные характеристики материала:

• • физический предел текучести от = Рт/Л();
• • предел прочности (временное сопротивление) овр = Ртах/Л0;

• относительное удлинение после разрыва

• относительное сужение после разрыва

Рис. 14.4. Диаграммы деформаций пластичного материала:

1 — условная для испытания на растяжение; 2 — истинная; 3 — условная для испытания

на сжатие

Первые две характеристики относятся к характеристикам прочности, две другие — к характеристикам пластичности. Здесь /к — конечная расчетная длина образца; Ак — площадь поперечного сечения образца в месте его разрыва.

По величине относительного удлинения после разрыва 5 материалы условно разделяют на следующие группы:

• • 8
• • 5%
• • 8 > 15% — пластичные материалы.

Более тщательная обработка диаграммы деформаций при растяжении позволяет определить дополнительные характеристики материала. Предел пропорциональности стм определяют как условное напряжение, при котором отступление от прямой пропорциональной зависимости между нагрузкой и удлинением составляет 50% (рис. 14.5). Для получения величины ап к кривой диаграммы деформаций проводится касательная под углом ап = = arctg(tga/l,5).

Под пределом упругости ау понимается наибольшее напряжение, до которого образец не получает остаточных деформаций. Поскольку определить это значение практически невозможно, условным пределом упругости называют то напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,01% (см. рис. 14.5, б). Для материалов без четко выраженной площадки текучести определяют условный предел текучести а0 2, который соответствует остаточной деформации 0,2% (рис. 14.5, в).

Рис. 14.5. Диаграммы a — е

Следует заметить, что рассмотренная диаграмма деформаций является условной, поскольку в процессе испытания площадь поперечного сечения образца А0 не остается постоянной, а постепенно уменьшается. Напряжение в шейке ак существенно отличается от рассчитанного но формуле a = = Р/А0 Продольная деформация в шейке ?к также значительно превосходит среднюю деформацию образца, характеризуемую величиной 8 (рис. 14.6). Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией в шейке носит название истинной диаграммы деформаций (см. рис. 14.4, кривая 2). На участках упругости, текучести и упрочнения она практически совпадает с условной диаграммой деформаций. Последний участок истинной диаграммы деформаций строится как касательная к условной диаграмме,

Рис. 14.6. Характер деформации и эпюра остаточных деформаций в месте разрыва образца пластичного материала

проведенная из точки FK, координаты которой рассчитываются по формулам:

Рис. 14.7. Диаграммы деформации хрупкого материала:

• 1 — при растяжении:
• 2 — при сжатии

Диаграмма деформаций при растяжении образца хрупкого материала не имеет площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 14.7). Разрушение образца происходит при наибольшей величине нагрузки (Р = РП1ах) и весьма малой остаточной деформации без образования шейки. Здесь определяется только одна характеристика предела прочности при растяжении ствр = PmJA0.

Испытание на сжатие применяется в основном для определения характеристик малопластичных и хрупких материалов. Его можно рассматривать как обратное испытанию на растяжение (растяжение с обратным знаком).

При малых деформациях пластичные материалы имеют весьма близкие характеристики растяжения и сжатия. Диаграммы деформаций при растяжении и сжатии (в последней напряжения и деформации условно считают положительными) практически совпадают на участках упругости, текучести и упрочнения. Однако по мере нарастания пластических деформаций при сжатии все больше сказывается влияние трения на торнах и увеличение размеров поперечного сечения образца. В результате нагрузка резко возрастает (см. рис. 14.4, кривая 3), а образец сжимается в тонкий диск (рис. 14.8). Пластичный образец довести до разрушения практически не удается — испытание ограничивается силовыми возможностями испытательной машины.

Диаграмма деформаций при сжатии хрупкого образца подобна диаграмме при растяжении (см. рис. 14.7, кривая 2), однако прочность хрупких материалов при сжатии выше, чем при растяжении. Отношение соответству-

Ж 3 и

Рис. 14.8. Испытание на сжатие:

а — сферическая опора нижнего захвата; 6, в — формы выточек на торцах образца; г—е — стадии деформирования пластичного образца; ж—и — характер разрушения хрупкого образца

ющих пределов прочности а]к./а1ф характеризует степень хрупкости материала и составляет:

• • 2,5—3 — для текстолита;
• • 3—5 — для чугунов;
• • 8—14 — для керамики;
• • 12—150 — для вакуумных стекол.

Испытание на сжатие имеет некоторые особенности по сравнению с испытанием на растяжение. Для устранения перекоса образца при непараллель- ности его торцов в одном из захватов испытательной машины предусмотрена установка сферической опоры (см. рис. 14.8, а). Силы трения между торцами образца и плоскими элементами испытательной машины сдерживают поперечную деформацию образца вблизи его торцов.

В результате образец приобретает характерную бочкообразную форму, в его объеме создается сложное неоднородное напряженное состояние, не соответствующее расчетной схеме. Для уменьшения влияния внешнего трения применяют смазки (вазелин, солидол), прокладки (бумага, пропитанная парафином, тефлон), цилиндрические или конические выточки на торцах (рис. 14.8, б, в). Разрушение хрупкого образца при испытании на сжатие происходит вследствие сколов по плоскостям, наклоненным под углом 45° к оси образца (рис. 14.8, ж, з). Если удается устранить влияние сил внешнего трения на образце, при его разрушении возникают продольные трещины (рис. 14.8, и).

Для испытания на растяжение чаще всего используют образцы с цилиндрической рабочей частью (рис. 14.9). Начальный диаметр d0 выбирается из стандартного ряда в пределах d{) = (3 — 25) мм. Начальное значение расчетной длины образца /() = 11,3~ 10d() («длинный» образец) или /() = 5,65~ ~ 5d0 («короткий» образец). Длина цилиндрического участка 1{ > 1,1 /0.

Концы образца оформляются в виде утолщений (головок), форма и размеры которых определяются захватными устройствами испытательной машин. Между рабочей частью и головками предусмотрены переходные уча-

Рис. 14.9. Стандартные образцы для испытания на растяжение:

а, б — цилиндрические; в — плоский

стки, которые служат для уменьшения концентрации напряжений. Для получения характеристик листового материала с толщиной менее 5 мм применяют плоские образцы (см. рис. 14.9, в). Размер s0 равен толщине листа, ширина Ь0 составляет КНЗО мм, расчетная длина /0 =11,3yjs0b0.

Испытание на сжатие проводят на образцах цилиндрической или кубической формы (рис. 14.10). Для предотвращения потери устойчивости цилиндрического образца во время испытания его высота ограничена: А0 = (1-^3)с70

Рис. 14.10. Образцы для испытания на сжатие:

а — цилиндрический; б — кубический

Для решения сложных задач расчета на прочность успешно применяется энергетический подход, в основе которого лежит определение работы внешних и внутренних сил, определение потенциальной энергии упругой деформации.

Рассмотрим один подход к определению потенциальной энергии упругой деформации.

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K

При действии статических нагрузок (или если сила прикладывается достаточно медленно, т. е. ее скорость приложения стремится к нулю) К = 0, следовательно,

А = U

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. То есть, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в луке и т.д. Для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим простейший случай — растяжение стержня.

На рисунке изображен растягиваемый силой F стержень, удлинение которого соответствует отрезку Δl, а ниже показан график изменения величины удлинения стержня Δl в зависимости от силы F. В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер (стержень растягивается в пределах упругих деформаций).

Пусть некоторому значению силы F соответствует удлинение стержня Δl. Дадим некоторое приращение силе dF. Соответствующее приращение удлинения составит d (Δl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (F + dF)·d (Δl ) = F·d (Δl ) + dF· d (Δl )

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = F·d (Δl) 

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка — перемещение”, работа внешней силы F на перемещении Δl будет равна площади треугольника ОСВ

A = U = 1/2·F·Δl 

Для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при F = const, зная из закона Гука что Δl = FL/EA (здесь и далее_A_ – площадь сечения), получим:

$$ U={1over2} F Delta l = {1over2} F {FLover EA} = {F^2 Lover 2EA}$$

Здесь
U – потенциальная энергия упругой деформации
F – нагрузка
E – Модуль Юнга
L – длина
A – площадь сечения

Для оценки энергоемкости материала используют удельную потенциальную энергию, накапливаемую в единице объема: u= U/V, где V— объем стержня (V=L·A). Зная, что σ=F/A= Eε, для стержня (напряжения σ и деформации ε распределены по объему тела V равномерно) можем записать

$$u={Uover V}= {{{F^2 Lover 2EA}{1over LA}}}
= {sigma^2over 2E}={sigmaepsilonover 2}$$

Потенциальную энергию упругой деформации можем выразить через удельную потенциальную энергию:
$$U=int_{V}udV$$

Связанные статьи

• Теория прочности Мора
• Теории прочности
• Правило знаков
• Концентрация напряжений
• Статически определимые и неопределимые конструкции
• Общие принципы расчета конструкции и условия прочности
• Напряжения

метки: деформация,
потенциальная энергия деформации