Изменение объема при одноосном растяжение

Частное судейство.

Мини-процесс.

Посредничество.

Фигура посредника согласовывается сторонами. Посредническую процедуру можно предусмотреть в контракте. Посредник принимает активное участие. Решение, которое принято при проведении посреднической процедуры не является обязательным. Могут обратить ся в суд. Как правило во всех торговых палатах есть правила в отношении посредничества.

В странах общего права появился

Чаще всего используется я в Австралии. Должно быть письменное соглашение сторон. Если письменного соглашения нет, то одна из сторрон может обрутиься в торговую палату, палата обращается к конрагенту и спршивает согласие. В соответсвии с правилами формируется соответствующий состав. Прежде всего в отличии от арбитражного разбирательства, стороны направляются сотрудников, которые составляют комиссию. Возглавляет комиссию посредник в правила цюрихского мини-траила предусмотрено что спор должен быть рассмотрен в течении 30 дней. Обсуждается комиссией и они пытаются достигнуть разрешения спора. Решение выполняется добровольно.

Приблизительно такие же правила в бельгийском мини-траил.

В РФ такого способа разрешения спора вообще не предусмотрено.

Так же характерно для системы общего права. Для разрешения спора как правило избирается судья в отставке. Решение такого судьи носит обязательный характер для сторон. Он рассматривает по каким-то процессуальным правилам. Разница в том, что сами выбирают судью, а не назначается.

Иногда для разрешения споров могут создаваться экспертные комиссии, которые дают заключение как спор должен быть разрешен и сторон уже сами определяют, что им делать. Решение такой комиссии не обязательно для сторон.

В РФ среди альтернативных способов разрешения спора используют МКАС, но туда можно обратить ся только если одна из сторон спора- иностранное лицо. Российские ЮЛ могут обратиться в третейский суд.

В контракте при ответственности лучше предусмотреть убытки. В лизинге не забыть про то, что происходит с имуществом, переходит и выкупается, то необходимо предусмотреть как, в какой срок.

1. Деформации

1.1 Деформации и смещения

Следствием действия внешних сил может быть либо перемещение тела в пространстве как целого, либо его формы. Изменение формы – это, в сущности, изменение расстояния между различными точками в объеме тела, и именно такой феномен называется деформацией.

Деформацию, как изменение расстояния между двумя точками можно описать, рассматривая перемещение в пространстве двух соседних точек, отстоящих друг от друга на бесконечно малое расстояние.

Рассмотрим смещение любой точки в теле, имевшей в декартовой системе фиксированные начальные координаты , , . После деформации новые координаты точки будут . Смешение точки , расположенной бесконечно близко к точке и имевшей до деформации координаты , будет . Следовательно, величинами относительных смешений являются , , . Учитывая, что , , бесконечно малы, получаем

(19)

Тензор деформации определяется как

(20)

или

(21)

1.2 Специальные случаи деформации – одноосное растяжение и простой сдвиг

Одноосное растяжение и коэффициент Пуассона

Эксперименты показывают, что при одноосном растяжении образец пертерпевают изменения в продольном направлении. Связь между изменениями размеров в продольном и поперечном направлении может бытьустановлена исходя из простых геометрических соображений. Эта связь отражает некоторые внутренние свойства материалов. Количественным отражением этой связи служитотношение поперечного сжатия к продольной деформаци, и это свойство материала называют коэффициэнтом Пуассона.

Пусть радиус поперечного сечения растягиваемого стержня в исходном состоянии равняется r0, а длина l0. В результате растяжения длина стрежня увеличилась на Δl, а радиус уменьшился на Δr. Тогда, согласно определению, коэффициент Пуассона μ вычисляется следующим образом:

(22)

Теперь нетрудно подсчитать, каким образом изменяется объем тела вследствии деформации. Относительное изменение объема ΔV/V0 равно

(23)

где V0 =πr02l0 – начальный объем образца (в недеформированном состоянии).

Для малых деформаций, когда Δl << l0 соответственно r << r0 выполняется следующее оотношение:

(24)

Последнее соотношение ясно показывает, что коэфициент Пуассона представляет собой меру объемных изменений при малых деформациях. Видно также, что что деформация происходит без изменения объема тела ир только тогда, когда μ = 0,5. Для реальных твердых тел μ < 5, а во многих случаях коэффициент Пуассона лежит в диапазоне 0,3-0,35. Это означает, что одноосное ратяжение сопровождается увеличением объема тела. Только для резин μ ≈ 0,5, то есть они деформируются без изменения объема.

Коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5, так как в противном случае гидростатическое сжатие приводило бы к увеличению объема, что физически абсурдно. В то же время отрицательные значения коэффициента Пуассона не противоресят никаким фундаментальным принципам. Значения μ < 0 показывает, что при одноосном растяжении поперечные размеры образца увеличиваются. Такая ситуация действительно возможна для пен.

Использование коэффициента Пуассона позволяет предложить следующий общий метод разложения тензора малых деформаций dij на сферническую и девиаторную части. Если λ << 1 и деформация при одноосном растяжении равна ε*, то тензор dij, определяемый формулой (23), может быть представлен следующим образом:

Структура этой суммы подобна структуре тензора напряжений, разлагаемого на две составляющие.

Более детальный анализ формулы (23) показывает однако, что для больших деформаций уравнение (24) неприменимо, и правило μ = 0,5 в общем случае не соответствует условию постоянства объема. Действительно, если сохранить неизменным определение коэффициента Пуассона по формуле (22), то исходя из уравнения (23), условие неизменности объема ΔV=0 при одноосном растяжении запишется следующим образом:

1-2μ(1+ε)+ μ2ε(1+ε) =0 (26)

Если ε << 1, то туравнение (26) сводиться к обычному условию μ = 0,5, но в общем случае это не так.

Простой сдвиг и чистый сдвиг

Движение любых жидкостей представляет собой скольжение соседних слоев относительно друг друга. Это случай простого сдвига. Простой сдвиг также может осуществляться при некоторых схемах деформирования твердых тел, например при кручении длинных труб и проволоки.

Двумерный (плоский) сдвиг элемента тела в области малых деформаций и в общем случае произвольных деформаций показан на рисунке 6 a и b. Смещение u1 происходит вдоль направления, обозначенного стрелкой. Градиент смещения du1/dx2 определяется величиной угла наклона γ.

(27)

Рис.6 Малые (a) и большие (b) деформации припростом сдвиге

Длина линейного элемента ориентированного до начала деформации в направлении x2 изменяется при сдвиге. Пэтому имеет место еще одно смещение u2. Оно обусловлено изменением длины сегмента ОА. В результате длина сегмента становиться равной ОА*. Относительное изменение длины равно

(28)

Величина γ = du1/dx2 при простом сдвиге определяет все компоненты тензора деформаций εij. Согласно определению εij его компоненты выражаются следующим образом:

ε12 = ε21 = 1/2γ; ε22 = 1/2γ2 (29)

Этот тензор играфически иллюстрируется на рис 6 (b).Компоненты тензора εij обозначены стрелками.

2.3. Скорость деформации

Рассмотрим кинематику процесса деформирования, т.е. скорость перехода из одного состояния в другое. Иными словами, производную тензоре деформация необходимо рассматривать по времени Компоненты тензора скорости деформации выражаются через производные компонент скорости по координатам , , :

(30)

Совокупность производных компонент скорости vi по координатным осям есть градиент скорости :

(31)

Тогда связь между тензором и может быть представлена следующим образом:

(32)

Второе слагаемое в правой части этого равенства отвечает вращательному движению элементов среды без деформации. Отсюда следует, что наличие градиента скорости в материале еще не означает его деформации, поскольку определенные комбинации компонент приводят к вращению среды как целого без ее деформации. Возможны случаи, когда и численно равны. Так, при одноосном растяжении . При простом сдвиге и различаются на величину 1/2:

, (33)

Инварианты тензора скорости деформации строятся аналогичноинвариантам тензора напряжений. Так, для плосконапряженного деформирования

, (34)

Источник

Возьмём однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия (рис.7.1). Пусть — длина недеформированного стрежня, а S — его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение D и делается равной . Отношение

, (7.1)

называется относительным удлинением стержня.

В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми одна часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Такие силы действуют в любом поперечном сечении. Внешняя сила, приложенная к каждой из этих двух частей, уравновешивается упругой силой Fупр, действующей на рассматриваемую часть со стороны другой. Силу, перпендикулярную поперечному сечению стержня и отнесенную к единице его площади, называют нормальным упругим напряжением

. (7.2)

В системе СИ упругое напряжение измеряется в Н/м2 .

Опыт показывает, что при малых деформациях, возникающие в теле нормальные упругие напряжения пропорциональны относительной деформации, т.е.

, (7.3)

где Е — постоянная, называемая модулем Юнга и зависящая только от материала стержня и его физического состояния..

Формула (7.3) выражает закон Гука для деформации растяжения и сжатия. Из нее следует, что модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице. Длина стержня в этом случае увеличилась бы в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако, при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и либо образец разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие (растяжение)

, (7.4)

где d — поперечный размер образца.

При растяжении e i < 0, при сжатии e i>0. Отношение

, (7.5)

называется коэффициентом Пуассона.

Для большинства изотропных материалов, к которым относятся, например, металлы, имеющие поликристаллическую структуру, он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии.Эта энергия называетсяупругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела.

Приложим к стержню растягивающую силу ƒ(x) и будем непрерывно увеличивать ее от начального значения ƒ=0 до конечного значения ƒ=F. При этом удлинение будет меняться от x = 0 до конечного значения x = Dl. По закону Гука

. (7.6)

Вся работа, совершаемая при деформации, запасается в виде упругой энергии, поэтому

. (7.7)

Эта энергия распределена по всему объему деформированного тела, что дает основание ввести плотность энергии упругой деформации, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема стержня,

. (7.8)

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.7.2). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АD, параллельная ВС, закреплена неподвижно. При малом сдвиге:

, (7.9)

где D х = — абсолютный сдвиг, а g — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.

В любом сечении образца, параллельном плоскости сдвига, возникают уже не нормальные, а касательные упругие напряжения, определяемые по формуле

. (7.10)

По закону Гука касательные напряжения пропорциональны относительному сдвигу,т.е.

, (7.11)

где G — модуль сдвига.

Модуль сдвига численно равен тому касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует следующее соотношение

. (7.12)

Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении (7.8), прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:

. (7.13)

Кручение

Возьмем однородный стержень, закрепим его верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент. В результате этого каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на некоторый угол. Такая деформация называется кручением.

Деформация кручения является неоднородной. Это значит, что деформация внутри образца меняется от точки к точке. Чем дальше от оси вращения, тем больше деформация.

Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

, (7.14)

где ƒ – постоянная для данного образца величина, называемая модулем кручения, — угол кручения, — крутящий момент.

Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить стержень на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига он зависит не только от материала, но и от геометрических размеров образца.

Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Выведем выражение для модуля кручения.

Стержень (рис.7.3) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок) радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки

dS = 2p rdr , (7.15)

а момент упругих сил, действующих на это основание:

dM = 2 p r dr τ r , (7.16)

где τ — тангенциальное напряжение в этом основании.

С учетом того, что каждый элемент цилиндрической трубки сдвигается на угол:

, (7.17)

то по закону Гука для деформации сдвига получим

. (7.18)

Таким образом, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен

. (7.19)

Полный момент сил, действующих на стержень радиуса R, найдется интегрированием:

. (7.20)

Сопоставляя (7.20) с законом Гука для деформации кручения (7.14), получим выражение для модуля кручения:

. (7.21)

Экспериментально модуль кручения можно измерить. С этой целью подвесим на проволоке массивное симметричное телои возбудим крутильные колебания. Эти колебания будут гармоническими с периодом

, (7.22)

где I – момент инерции тела, f – модуль кручения проволоки. Если момент инерции тела известен, то, определив период колебаний, можно вычислить по формуле (9.22) модуль кручения проволоки.

Примеры решения задач

1. Нижнее основание стального цилиндра диаметром d=20 см и высотой h=20 см закреплено неподвижно. На верхнее основание действует горизонтальная сила F=20 кН. Найти: 1) тангенциальное напряжение в материале цилиндра, 2) смещение верхнего основания цилиндра, 3) потенциальную энергию и объемную плотность деформированного образца.

Решение

1) Тангенциальное напряжение материала деформированного образца выражается формулой

В данном случае , поэтому получим

Сделав вычисления, найдем

2) Смещение верхнего основания цилиндра будет равно

где — угол сдвига.

В соответствии с законом Гука

где = 8,1.1010 Па — модуль сдвига стали.

Произведя подстановку, получим

Выполнив вычисления, найдем

1,6 мкм.

3. Потенциальная энергия и объемная плотность энергии деформированного образца определятся по формулам

и .

Сделав вычисления, получим, U=159 мДж, w= 2,5 Дж/м3.

2. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа А=6,9 Дж. Длина стержня l=1 м, площадь поперечного сечения S=1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа.

Решение

Работа, затраченная при растяжении стержня, переходит в его упругую потенциальную энергию

где — нормальное напряжение деформированного образца, V =Sl – его объем.

В соответствии с законом Гука

После подстановки и преобразований, найдем

Вычисления дают

Основные положения

1. Упругое напряжение – физическая величина, равная упругой силе, приходящейся на единицу площади:

— нормальное напряжение, сила направлена по нормали к площадке

;

— тангенциальное напряжение, сила направлена по касательной к площадке

2. Закон Гука – напряжение упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации:

— деформация растяжения (сжатия)

;

— деформация сдвига

3. Коэффициент Пуассона – отношение поперечного сужения к продольному удлинению:

4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:

— деформация растяжения (сжатия)

;

— деформация сдвига

Контрольные вопросы

1. Что такое упругие напряжения? Как определяются нормальные и тангенциальные напряжения?

2. Как формулируется закон Гука для различных видов деформации?

3. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

4. Как определяется коэффициент Пуассона?

5. От чего зависит объемная плотность энергии упруго деформированного тела?

Механика жидкостей и газов

Источник

Возьмём однородный стержень (рис.1.12) и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия.

Пусть lo — длина недеформированного стрежня, а S — его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение Dl и делается равной l = l o + Dl. Отношение

, (1.68)

называется относительным удлинением стержня. В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Рис.1.12

В любом поперечном сечении деформированного стержня возникнут нормальные упругие напряжения, численно равные упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения тела, т.е.

. (1.69)

Закон Гука для деформации растяжения (сжатия) имеет вид

, (1.70) где Е — модуль Юнга.

Модуль Юнга зависит только от материала стержня и его физического состояния. При D l = l – l0 = l0 и ε = 1 Е = σn. Поэтому, модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и образец либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры

стержня. Характеристикой этого изменения является относи- тельное поперечное сжатие (растяжение)

, (1.71)

где d — поперечный размер образца.

При растяжении e < 0, при сжатии e >0. Отношение

, (1.72)

называется коэффициентом Пуассона.

Для больших изотропных материалов он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела,

. (1.73)

Объемная плотность упругой энергии W, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема растянутого (сжатого) стержня, равна

. (1.74)

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.1.13,а). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД параллельная ВС, закреплена неподвижно (рис.1.13,б). При малом сдвиге:

, (1.75)

где D х = СС’ — абсолютный сдвиг, а g — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвигаимеет вид

, (1.76)

где =F/S– скалывающее или тангенциальное напряжение, G — модуль сдвига.

а) б)

Модуль сдвига численно равен касательному напряже- нию, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует cоотношение

. (1.77)

Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении, прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:

. (1.78)

Источник