Изменение длины стержня при растяжении

Для того, чтобы иметь полную картину работы растянутого или сжатого стержня, необходимо уметь вычислять то, как будут под нагрузкой меняться его размеры:

• Продольный размер/изменение длины (удлинение при растяжении, укорочение при сжатии)
• Поперечный размер/изменение толщины (сужение при растяжении, утолщение при сжатии)

Сначала проанализируем изменение длины.

От чего же зависит удлинение стержня?

Снова вернёмся к диаграммам из опытов на растяжение. Напомню, нас интересует только начальная (линейная) часть графика.

Так как мы рассматриваем только прямой отрезок на графике, то его можно описать с помощью линейной функции:

Здесь в качестве y выступает приложенная сила P (размерность в Н), а в качестве x – удлинение ∆L (размерность в мм). Получаем:

Перезаписав эту формулу относительно удлинения, получим:

k — это коэффициент жёсткости стержня. Как видно из формулы, чем больше k, тем меньше стержень удлинится.

Допустим, перед нами стоит задача определить удлинение стержня при заданной растягивающей нагрузке. Но откуда взять коэффициент жёсткости k?

Для ответа на этот вопрос следует провести серию сравнительных опытов. Суть их такова, что надо прикладывать одну и ту же силу к почти одинаковым образцам и через различия в удлинениях сделать вывод о влиянии (или отсутствии такового) на коэффициент жёсткости тех факторов, которые были выбраны разными.

Допустим, что коэффициент жёсткости зависит от длины стержня L. Берём два почти идентичных стержня одинаковой толщины из одного и того же материала, только один, например, в два раза длиннее другого. Растягиваем их одинаковой силой. Так как длинный стержень, по сути, «содержит в себе» два коротких, то его удлинение также будет в два раза больше удлинения короткого стержня. Вывод из этого опыта: коэффициент жёсткости стержня зависит от его длины. Чем короче стержень, тем он жёстче.

Или другой опыт: возьмём два стержня одинаковой длины из одного и того же материала, только один стержень будет толще другого так, что площадь его поперечного сечения F будет в два раза больше площади поперечного сечения другого стержня. После растяжения их одной и той же силой можно заметить, что более тонкий стержень удлинится в два раза больше, чем более толстый. Отсюда вывод, что коэффициент жёсткости стержня зависит от площади поперечного сечения. Чем толще стержень, тем он жёстче.

Эти два опыта исчерпывающе показывают зависимость коэффициента жёсткости стержня от его геометрии. Однако коэффициент жёсткости зависит также и от материала этого стержня. Два одинаковых по форме стержня из стали и из дерева будут иметь совершенно разные коэффициенты жёсткости. Что именно в материалах создаёт такие различия – неизвестно.

Мы всё неизвестное в материале, что так или иначе вызывает различия в коэффициентах k, заключим в одну величину и обозначим её буквой E.

В итоге получим экспериментальную зависимость для коэффициента жёсткости :

Зная размерность жёсткости [k]=Н/мм, можно найти размерность E:

Эту величину впервые ввёл английский физик Томас Юнг.

Эта величина E называется модулем упругости материала при растяжении (или модулем Юнга), и она характеризует способность твёрдого тела упруго деформироваться при приложении к нему растягивающей силы.

По сути же, она является макроскопическим следствием микроскопических связей в веществе. Как же определить модуль упругости для того или иного материала?

Для начала запишем итоговую формулу для удлинения стержня:

Выразим отсюда модуль упругости:

Для определения модуля Юнга необходимо:

1. провести опыт на растяжение,
2. выбрать произвольную точку на начальном линейном участке,
3. определить удлинение в ней и соответствующую силу,
4. зная площадь поперечного сечения и длину стержня, вычислить модуль Юнга

Величины модулей упругости и плотности некоторых материалов:

Что касается сжатия, то при сравнении модулей Юнга при растяжении и сжатии большинства материалов, можно заметить незначительные различия в их величинах. Этими различиями часто пренебрегают.

Так как рассматривается только линейный участок, то и значения модулей Юнга соответствуют жёсткости материала на линейном участке.

Однако в инженерной практике бывают случаи, когда, например, напряжения в металле выходят за предел пропорциональности. Когда это происходит, то значения модуля Юнга начинают уменьшаться по сравнению со значением в упругой зоне.

В итоге мы имеем формулу для нахождения изменения длины при растяжении или сжатии:

Это – экспериментальный закон Гука. По этой формуле можно находить изменения длины в стержнях или колоннах, испытывающих осевое растяжение или сжатие. Однако, хотя данная формула и позволяет считать изменения длины для элементов под осевой нагрузкой, она является упрощением реальной картины происходящего. Что это означает? Поясню на примере:

Желая растянуть стержень, например, 100 килограммами, мы эти 100 килограмм будем прикладывать очень медленно. То есть сначала приложим только килограмм, потом два, три и т.д. вплоть до ста. Но ведь проблема в том, что при нагружении одним килограммом, стержень уже удлинится. То есть чтобы подсчитать удлинение при действии двух килограммов, придётся брать изначальную длину стержня, которая будет соответствовать длине растянутого одним килограммом стержня. И так далее. Но если вы проведёте точный расчёт даже для относительно мягкого алюминия, вы обнаружите, что различие между точным и приближённым расчётом будет ничтожно мало. Потому, на практике применяется приближённый расчёт.

То же самое и с площадью поперечного сечения. Стержень сужается не только в пластической зоне (где это сужение видно невооружённым глазом), но и в линейной (упругой), где это изменение можно отследить только с помощью точных приборов. А так как мы имеем дело в основном с линейной частью графика, то потому берётся изначальная площадь поперечного сечения. Это явление (сужение при удлинении) будет рассмотрено чуть позже.

Формулу для нахождения удлинений можно видоизменить, перейдя к относительным величинам.

Сила, приходящаяся на единицу площади – это напряжение, с которым уже имели дело:

Удлинение, приходящееся на единицу длины – это относительное удлинение. Обозначим эту величину греческой буквой ε:

В итоге получим:

Или

Это – закон Гука в относительной форме. Можно заметить, что размерность модуля Юнга – паскали, как и размерность напряжения. Исходя из этого, можно дать определение модулю Юнга, как фиктивному напряжению, при котором стержень удлинится на величину своей исходной длины. Но так как удлинения в конструкционных металлах просто ничтожны по сравнению с исходными длинами, то и модуль Юнга в разы больше, чем действующие напряжения.

Рассмотренные случаи являются лишь частными случаями осевого нагружения тела. Очень часто бывает так, что

• нужно учесть собственный вес вертикально расположенного тела (например, при очень большой длине);
• или тело может иметь переменное сечение по длине;
• или оно может быть составленным из нескольких разных тел вдоль оси;
• или же внешнее нагружение может меняться по длине;
• и так далее, случаев может быть множество

В качестве немного более общего примера решим задачу.

Задача: Определить удлинение конического бруса при действии собственного веса, если высота конуса равна L, диаметр основания равен D, вес единицы объёма материала равен γ (плотность тела с размерностью силы (ньютоны) поделённые на объём (кубические метры, миллиметры и т.п.)), модуль упругости материала равен E. Известно, что материал конуса при растяжении от собственного веса работает в пределах упругости и к нему применим закон Гука.

Решение:

Объём конуса определяется по формуле:

Вес конуса равен удельному весу материала, умноженному на объём конуса:

Введём систему координат и выделим элемент бесконечно малой длины dx на расстоянии x от вершины конуса

По свойству бесконечно малых величин, усилия и напряжения на верхней и нижней поверхности элемента от действия нижележащей массы будут равны.

При небольшом угле конуса можно сделать допущение, что растягивающие напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (в реальности напряжения будут выше на краях). Нужно вывести выражение для растягивающего усилия для любого сечения на расстоянии x от вершины конуса. Диаметр любого сечения, отстоящего от вершины конуса на x можно найти из подобия треугольников.

Элемент длиной dx, площадью F(x) растягивается силой P(x). Требуется найти удлинение элемента dx:

Теперь нужно просуммировать удлинения всех элементов dx по высоте конуса L:

В итоговом выражении для удлинения отсутствует диаметр основания из-за сделанного нами допущения, которое справедливо только для конусов с малым углом (т.е. очень острых конусов). Для всех остальных конусов решение будет иметь более сложный вид.

В целом, суть решения всех задач по осевому растяжению/сжатию тел сводится к определению удлинений отдельных его частей/частиц и к итоговому их суммированию для получения общего удлинения. Для получения напряжения в любом поперечном сечении нужно найти силу, действующую в нём, и поделить её на площадь этого сечения.

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.