График параболы с растяжением

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

График параболы с растяжением

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

График параболы с растяжением

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

График параболы с растяжением

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

График параболы с растяжением

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

График параболы с растяжением

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

График параболы с растяжением

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

График параболы с растяжением

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

График параболы с растяжением

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

График параболы с растяжением

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

График параболы с растяжением

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

График параболы с растяжением

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

График параболы с растяжением

1) (y=-3x^2-4x+2) (;;;) 2)(y=-3x^2-4x-2) (;;;) 3)(y=3x^2-4x+2) (;;;) 4)(y=3x^2-4x-2)

Общее уравнение параболы имеет вид (y=ax^2+bx+c), где знак (a) зависит от направления ветвей параболы, (c) — точка пересечения графика с осью (y).

У данной функции (a>0) — ветви направленны вверх, поэтому варианты 1) и 2) точно не подходят.

Так как график пересекает ось (y) ниже нуля, то (c<0). Подходит вариант 4).

Ответ: 4

На каком рисунке изображен график функции (y=2x^2+5x+1)?

График параболы с растяжением

У данной функции (a>0) — ветви направленны вверх, поэтому варианты 2) и 3) точно не подходят.

Коэффициент (c) у функций 1) и 4) совпадает. Чтобы различить эти функции, используем формулу координаты вершины параболы (x_{text{верш} }= -frac{b}{2a}). По условию, (a=2, b=5), следовательно, (x_{text{верш}}=-frac{5}{4}<0). Подходит вариант 1).

Ответ: 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

График параболы с растяжением

Формулы:

1) (y=x^2+3x-2) (;;;) 2)(y=-x^2+3x-2) (;;;) 3)(y=x^2-3x-2)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

График параболы с растяжением

Только у графика B ветви направлены вниз, значит, только ему соответствует уравнение, где (a<0), то есть 2).

Рассмотрим графики A и C. Первый из них имеет отрицательную координату (x) вершины параболы, а второй — положительную.

Найдем координату вершины параболы, заданной уравнением 1).

[x_{text{верш} }= -frac{b}{2a}=-frac{3}{2}<0.]

Значит, графику A соответствует формула 1). Графику C соответствует формула 3).

Ответ: 123

Определите значение коэффициента (b) функции (y=ax^2+bx+c) по графику, если известно, что данный график пересекает ось ординат в точке с координатой (0;7).

График параболы с растяжением

Так как график пересекает ось ординат в точке с координатой (0;7), то коэффициент (c = 7).

Абсцисса вершины параболы (x_{text{верш} }= -frac{b}{2a}=2), значит, (b=-4a).

Ордината вершины параболы (y_{text{верш} }=-1). Но (y_{text{верш} }) можно определить, подставив значение (x=3) с исходное уравнение параболы:

[-1=a cdot 9 — 4a cdot 3 + 7.]

Откуда (a = 2), значит, (b=-4a cdot 2=-8).

Ответ: -8

Определите значение коэффициента (b) функции (y=ax^2+bx+c) по графику.

График параболы с растяжением

Выберем 3 точки, принадлежащие графику функции, и имеющие целые координаты: (1;0), (2;1) и (3;-4).

Поочередно подставим пары значений ((x;y)) в общее уравнение параболы. Затем решим полученную систему из трех уравнений относительно (a, b, c).

[begin{cases}
0 = a+b+c,\
1 =4a+2b+c,\
-4 =9a+3b+c.
end{cases}]

Выразим (c = -a-b) из первого уравнения и подставим в остальные.

[begin{cases}
1 =4a+2b-a-b, \
-4 =9a+3b-a-b.
end{cases}]

[Rightarrow] [begin{cases}
1 =3a+b,\
-4 =8a+2b.
end{cases}]

Умножим обе части первого уравнения на 2, а затем вычтем полученное уравнение из второго.

[begin{cases}
2 =6a+2b,\
-4 =8a+2b.
end{cases}]

Откуда (-6=2a) или (a=-3). Тогда (b=1-3a=10).

Ответ: 10

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

График параболы с растяжением

1) (y=-x^2-6x-5qquad) 2) (y=x^2+6x+5qquad ) 3) (y=x^2-6x+5qquad ) 4) (y=-x^2+6x-5)

Способ 1.

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент перед (x^2) в уравнении параболы положительный. Значит, выбираем между 2 и 3. Вершина параболы на рисунке имеет абсциссу (x_0=-3). У параболы 2 вершина (x_{0_2}=frac{-6}{2cdot 1}=-3), у параболы 3 (x_{0_3}=frac6{2cdot 1}=3). Следовательно, ответ 2.

Способ 2.

Парабола на рисунке пересекает ось (Oy) в точке (y=5) (то есть проходит через точку (x=0, y=5)). Среди данных формул точка (x=0,
y=5) удовлетворяет лишь формулам 2 и 3. Также парабола на рисунке проходит, например, через точку (x=-1, y=0). Среди формул 2 и 3 эта точка удовлетворяет лишь формуле 2.

Ответ: 2

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

График параболы с растяжением

1) (y=-2x^2-4x+4qquad) 2) (y=-2x^2+4x+4qquad ) 3) (y=4x^2-4x-4qquad ) 4) (y=2x^2+4x-4)

Способ 1.

Ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент перед (,x^2) в уравнении параболы отрицательный. Значит, выбираем между 1 и 2. Вершина параболы на рисунке имеет абсциссу (x_0=-1). У параболы 1 вершина (x_{0_1}=frac{4}{2cdot (-2)}=-1), у параболы 2 (x_{0_2}=frac{-4}{2cdot (-2)}=1). Следовательно, ответ 1.

Способ 2.

Парабола на рисунке пересекает ось (Oy) в точке (y=4) (то есть проходит через точку (x=0, y=4)). Среди данных формул точка (x=0,
y=4) удовлетворяет лишь формулам 1 и 2. Также парабола на рисунке проходит, например, через точку (x=1, y=-2). Среди формул 1 и 2 эта точка удовлетворяет лишь формуле 1.

Ответ: 1

Источник

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

$На главную страницу$ на главную

Найти репетитора $портфель$

Поддержать сайт $спасибо$

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
$!$

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция	Коэффициенты
y = 2×2 − 7x + 9	a = 2 b = −7 с = 9
y = 3×2 − 1	a = 3 b = 0 с = −1
y = −3×2 + 2x	a = −3 b = 2 с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
$!$

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

$парабола - график квадратичной функции$

Также парабола может быть перевернутой.

$перевернутая парабола$

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

Направление ветвей параболы
Запомните!
$!$
Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
$парабола маленькая$
Если «a », то ветви направлены вниз.
$перевернутая парабола маленькая$
В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
$перевернутая парабола мальнькая$
Координаты вершины параболы
Запомните!
$!$
Чтобы найти «x0»
(координата вершины по оси «Ox»)
нужно использовать формулу:
Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».
Теперь нам нужно найти «y0»
(координату вершины по оси «Oy»).
Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
«Как решать задачи на функцию» в подразделе
«Как получить значение функции».
y0(3,5) =
(3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =
−12,25 + 10 = −2,25
Выпишем полученные координаты вершины параболы.
(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.
Отметим вершину параболы на системе координат.
Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
относительно оси «Oy».
$вершина параболы$
Нули функции
Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.
Запомните!
$!$
Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
(осью абсцисс).
Наглядно нули функции на графике выглядят так:
$нули функции$
Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
по оси «Oy» равна нулю.
Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.
Запомните!
$!$
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
«y = 0».
Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
вместо «y = 0» и решим полученное
квадратное уравнение
относительно
«x» .
0 = x2 −7x + 10
x2 −7x + 10 = 0
x1;2 =
7 ±
√49 − 4 · 1 · 10
2 · 1
x1;2 =
x1;2 =
x1 =
x2 =
x1 =
x2 =
x1 = 5
x2 = 2
Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
с осью «Ox».
Назовем эти точки и выпишем их координаты.
- (·) B (5; 0)
- (·) C (2; 0)
Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.
$отмечаем нули функции на системе координат$
Дополнительные точки для построения графика
Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
которые наиболее близки к оси
симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.
Для каждого выбранного значения «x»
рассчитаем «y».
- y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
  4
- y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
  −2
- y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
  −2
- y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
  4
Запишем полученные результаты в таблицу.
Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).
$дополнительные точки для построения$
Теперь мы готовы построить график.
На забудьте после построения подписать график функции.
$график параболы$

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3×2 − 6x − 4».

Направление ветвей параболы

«a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
$перевернутая парабола маленькая$

Координаты вершины параболы
x0 =
x0 = =
= −1
y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
−3 · 1 + 6 − 4 = −1
(·) A (−1; −1)
— вершина параболы.
$вершина параболы -3x^2 - 6x - 4$
Нули функции
Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).
0 = −3×2 − 6x − 4
−3×2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)
3×2 + 6x + 4 = 0
x1;2 =
−6 ±
√62 − 4 · 3 · 4
2 · 1
x1;2 =
x1;2 =
Ответ: нет действительных корней.
Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
«Ox».
Вспомогательные точки для: «x = −3»;
«x = −2»;
«x = 0»;
«x = 1». Подставим в исходную функцию
«y = −3×2 − 6x − 4».
- y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
  = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
- y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
  = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4
- y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
  = −4
- y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
  = −3 −6 − 4 = −13
x −3 −2 0 1
y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

$график функции -3x^2 - 6x - 4$

Источник

x	−3	−2	0	1
y	−13	−4	−4	−13