График квадратичной функции сжатие и растяжение
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Тема «Преобразование графика квадратичной функции».
- иметь наглядные представления об основных свойствах квадратичной функции,
- иллюстрировать их с помощью графических изображений,
- уметь строить графики квадратичной функции,
- находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения.
Цель урока: рассмотреть виды преобразований графика квадратичной функции.
Задачи урока:
Образовательные:
• расширить сведения о свойствах квадратичной функции;
•ознакомить учащихся с графиками частных видов квадратичной функции – функций у = ах2 , у = ах2 + n, y = a (x – m)2; у=a (x – m)2 +n.
• научить строить и выполнять преобразования графиков квадратичной функции.
Развивающие:
- развитие у учащихся аналитического мышления;
- развитие речи (расширение математического словаря).
Воспитательные:
- привитие практических умений и навыков по построению графиков;
- воспитание познавательной активности;
- воспитание ответственности;
- воспитание культуры диалога.
Тип урока: формирование новых знаний и умений.
Оборудование: компьютер, мультимедийная презентация, доска и мел.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
1.Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач, если они есть).
2.Контроль усвоения материала:
- Определение квадратичной функции; (слайд №2)
- Заполни пропуски…(слайд №3)
- Функция у=ах2+вх+с, где а, в, с – заданные действительные числа, а ≠0, х- действительная переменная, называется … функцией. (квадратичной)
- График функции у=ах2 при любом а≠0 называют… .( параболой).
- Функция у=ах2 является … (возрастающей, убывающей) на промежутке х ≤ 0. (убывающей).
- Значения х , при которых квадратичная функция равна нулю, называют… функции.
(нулями функции)
- Точку пересечения параболы с осью симметрии называют… параболы. (вершиной параболы)
- При а>0 ветви параболы у=ах2 направлены… . (вверх)
- Если а< 0 и х ≠0, то функция у=ах2 принимает …(положительные, отрицательные ) значения. (отрицательные)
3. Изучение нового материала. (Работа в группах)
1).Построить графики функций в одной системе координат и сделать выводы об их расположении.
1 группа: у=х2, у=2х2, у= х2. (слайд № 4,5)
2 группа: у=х2, у=х2+1, у=х2-1. (слайд № 6,7)
3 группа: у=х2, у=(х+1)2, у=(х-1)2. (слайд № 8,9)
2).Каждая группа представляет результаты работы и делает выводы.
3).Обобщение полученных сведений.(слайды № 10,11)
f(x + n) | n > 0 | n < 0 |
Сдвиг влево вдоль оси ОХ на n единиц | Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на n единиц | |
f(x ) + m | m > 0 | m < 0 |
Сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц | Сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц | |
f(x + n) + m | n > 0, m > 0 | n < 0, m < 0 |
Сдвиг влево вдоль оси ОХ на n единиц, затем сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц | Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на n единиц, затем сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц | |
n > 0, m < 0 | n < 0, m > 0 | |
Сдвиг влево вдоль оси ОХ на n единиц, затем сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц | Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на n единиц, затем сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц |
4.Закрепление полученных знаний. (слайд№ 12)
1) График какой функции, изображенной на рисунках соответствует указанной формуле у=3х2+1. (слайд№ 13)
2) График какой функции, изображенной на рисунках соответствует указанной формуле у= -0,5х2-3. (слайд№ 14)
3) График какой функции, изображенной на рисунках соответствует указанной формуле у= -2(х-2)2 .(слайд№ 15)
4).График какой функции изображенной, на рисунках соответствует указанной формуле у= (х+2)2 – 4. (слайд№ 16)
5).Какой формулой задается график функции, изображенной на рисунке:
- у = (х+2)2 – 2,
- у = 2 — (х+2)2,
- у = 2+ (х+2)2,
- у = (х+2)2. (слайд№ 17)
6).Какой формулой задается график функции, изображенной на рисунке:
- у = 2(х+3)2 +4,
- у = 2(х-4)2 -3,
- у = 3-2 (х+4)2,
- у = -2(х-3)2 +4 (слайд№ 18)
Вывод. В заданиях 4), 5), 6) выполняются два преобразования графика функции: сдвиг вдоль осей Ох и Оу.
5.Итоги урока. Виды преобразований и способы построения графиков квадратичной функции.
6.Рефлексия. (слайд№ 19)
Лист рефлексии
Подчеркните, пожалуйста, те состояния, которые Вы испытывали в процессе сегодняшнего урока: | |
интерес беспокойство эмоциональный подъем | скука удовольствие раздражение |
7.Домашнее задание. (слайд№ 20)
1.Построить в одной системе координат графики функций:
а) у=1/2х2 ; б) у=-1/2(х-3)2 ; в) у=1/2(х+3)2-2.
2. Укажите координаты вершины параболы и направление ветвей: а)y = -3×2+5;
б)y = (x+5)2+2; в)y = -0,5(x-2)2+3; г)y = 2(x-3)2.
Источник
(сжатия) графика функции от оси с коэффициентом и последующим преобразованием симметрии относительно оси задачи 1 и 2).
На рисунке 53, а изображены графики функций
На рисунке 53, б изображены графики функций
111. Графики функции …
Графиком функции является парабола, Чтобы построить график функции нужно осуществить растяжение (сжатие) параболы от оси с коэффициентом при этом если то график функции нужно еще подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х (см. п. 110).
На рисуике 54, а изображены графики функции для с, равного Все эти графики называют параболами. При 0 ветви параболы, служащей графиком функции направлены вверх, а при вниз.
Аналогично, зная график функция можно построить график функции вида . На рисунке 54, б изображены эти графики для случаев с, равного 1; —1; 3.
112. Построение графика функции …
Пусть известен график функции а построить нужно график функции
Положим . Тогда формулу или, что то же самое, можно переписать в виде . Таким образом, график функции — построенный в координатной плоскости совпадает с графиком функции , построенным в координатной плоскости
Формулы или, что то же самое, надают параллельный перенос, при котором любая точка переходит в точку и, в частности, начало координат переходит в точку .
Чтобы построить график функции нужно:
1) выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат точку
2) в плоскости построить график фушщии
(см. п. 113), Для ее построения на практике используются три способа.
Первый способ — отыскание координат вершины параболы по формулам.
Пример 1. Построить график функции Решение. Здесь . Значит, Итак, (1; —1) — вершина параболы. Для построения графика надо знать координаты еще нескольких точек:
Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 59, а). Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если абсцисса вершины параболы, то в этой точке (см. п. 217). На уравнения находим абсцисса вершины параболы.
Второй способ — построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена .
Пример 2. Построить график функции .
Решение, Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение Имеем:
Итак, мы нашли две точки графика и . Отметим их на координатной плоскости (рис. 59, б). Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы: Подставив значение формулу получим Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты Отметив на координатной плоскости точку построим параболу, проходящую через три точки
А, В, С. Это и будет график функции (рис. 59, б). (Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.)
Третий способ — построение параболы по корням квадратного трехчлена.
Пусть корни квадратного трехчлена решении уравнения см. п. 137). Тогда парабола, служащая графиком функции пересекает ось абсцисс в точках , а ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Зная абсциссу вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии параболы, поэтому , найдем по формуле ординату, а затем построим параболу по трем точкам А, В, С.
Пример 3. Построить график функции
Решение. Из уравнения находим Значит, мы знаем две точки искомой параболы: Уравнение оси симметрии параболы таково: Подставив значение 3 вместо в формулу находим Значит, вершиной параболы служит точка По трем точкам строим параболу — график функции ).
115. Построение графика функции y=f(kx).
Решим несколько задач.
Задача 1. Построить график функции где если задан график функции
полученного графика от оси с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси . В результате мы получим график функции . На рисунке 64, а показана одна полуволна графика, а на рисунке 64, б — весь график.
117. График гармонического колебания.
Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой
Эта формула называется формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величина А называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина называется частотой колебания. Чем больше , тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Наконец, а называется начальной фазой колебания. 21
Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, величина тока меняется по закону гармонических колебаний (1).
Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.
1) Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку .
2) В системе построим график функции этом можно ограничиться одной полуволной).
3) Осуществив сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом 6), получим график
Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом А, получим требуемый график.
Пример 1. Построить график функции
Решение. Имеем Построение графика выполним в несколько этапов.
1) Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку .
В системе нам нужно построить график функции
2) Строим график функции
3) Выполним сжатие графика к оси у с коэффициентом т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции
4) Осуществим растяжение последнего графика от оси с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции (рис. 65).
На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее наименьшее значения. Далее строят график по точкам.
Пример 2. Построить график гармонического колебания
Решение. Решим сначала уравнение
Имеем (см. п. 154) . Дадим
Источник
Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :
Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.
Пример 6
Построить график функции
Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:
«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .
Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.
Вот ещё один характерный случай:
Пример 7
Построить график функции
Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:
Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере , и уравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).
Вернёмся к тригонометрическим функциям:
Пример 8
Построить график функции
График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси вдоль оси на влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равеннулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:
Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).
2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на (!!!) единиц, в результате чего будет построен искомый график .
Пример 9
Построить график функции
Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):
1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на(!!!) влево: (красный цвет):
Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .
Продолжаем расправляться с функциями начала урока:
Пример 10
Построить график функции
Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :
1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на(!!!) вправо: :
Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.
В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Структура второй части статьи будет очень похожа.
1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходитрастяжение её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.
2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.
Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)
Пример 11
Построить графики функций .
Берём синусоиду за макушку/пятки:
И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:
Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .
Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .
Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!
И, конечно же, классический пример растяжения/сжатия параболы:
Пример 12
Построить графики функций .
Возьмём рога молодого оленя и вытянем их вверх вдоль оси в два раза: . Затем сожмём вдоль оси ординат в 2 раза:
И снова заметьте, что значения функции увеличиваются в 2 раза, а значения уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка ).
Отпустим в тундру удивлённое животное и продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :
Если ФУНКЦИЯ меняет знакна противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.
Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Пример 13
Построить график функции
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :
Ещё более наглядно симметрия просматривается у следующей типовой функции:
Пример 14
Построить график функции
График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси абсцисс:
Функции задают две ветви параболы, которая «лежит на боку». Обратная функция задаёт параболу целиком. С подобными графиками часто приходится иметь дело при нахождении площадей фигур, построении областей интегрирования двойных интегралов и в некоторых других задачах.
При умножении функции на отрицательное число , , построение графика следует выполнить в два этапа: сжатие (или растяжение) вдоль оси ординат, а потом – симметричное отображение относительно оси абсцисс. Конкретные примеры увидим в следующем топике.
Источник