Формула нормального напряжения при растяжении

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Таким образом, направление и знак напряжения в сечении сов­падают с направлением и знаком силы в сечении (рис. 20.3).

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по форму­ле

где Nz — продольная сила в сечении; А — площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а), а при сжатии к сечению (рис. 20.4б).

Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м2 (Па), од­нако это слишком малая единица, и практически напряжения рас­считывают в Н/мм2 (МПа):

1 МПа = 106 Па =1 Н/мм2.

При определении напряже­ний брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра про­дольных сил.

Рассмотрим брус, нагру­женный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5).

Обнаруживаем три уча­стка нагружения и определяем величины продольных сил.

Участок 1: N1 = 0. Внут­ренние продольные силы равны нулю.

Участок 2: N2 = 2F. Продольная сила на участке положительна.

Участок 3: N3 = 2F – 3F = — F. Продольная сила на участке отрицательна.

Брус – ступенчатый.

С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.

Примеры решения задач

Пример 1. Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус за­щемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

— Определяем участки нагружения, их два.

— Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.

— Строим эпюру.

— Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном мас­штабе.

1. Определяем продольные силы.

В обоих сечениях продольные силы положительны.

2. Определяем нормальные напряжения

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения пло­щади, видим, что образуется 4 участка напряжений.

Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.

Пример 2. Для заданного бруса (рис. 2.5, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

Заданный брус имеет четыре участка I, II, III, IV (рис. 2.5, а). Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения.

Пользуясь методом сечений, строим эпюру продольных сил (рис. 2.5, б).

Для построения эпюры нормальных напряжений определяем их в поперечных сечениях каждого из участков:

Эпюра σ представлена на рис. 2.5, в.

Пример 3. Определить количество деревянных стоек сечением 10×10 см, необходимых для поддержания, цистерны, вмещающей V = 40 м3 воды. Масса цистерны Мц = 7,2-103 кг. Допускаемое напряжение [σ] = 13 Н/мм3. При расчете считать, что усилия в стойках одинаковы.

Решение

Требуемая площадь поперечного сечения стоек

где (fст — площадь поперечного сечения одной стойки; i — число стоек);

N — усилие, передающееся на стойки.

где Gц — сила тяжести цистерны; Gц = gтц = 9,81 * 7,2*103 =70,7*103 Н; Gв — сила тяжести воды; Gв = уV = 10*40 = 400 кН (у = 10 кН/м3 — объемная сила тяжести воды). Подставляя числовые значения, получаем

Тогда

откуда находим требуемое число стоек:

Принимаем i = 4.

Пример 4. Для заданной стержневой системы (рис. 2.6, а) определить из расчета на прочность требуемые площади сечения стержней и подобрать по ГОСТ 8509—72 соответствующий номер угловой равнополочной стали, учитывая, что каждый стержень изготовлен из двух равнополочных уголков.

Для принятых сечений стержней определить расчет­ные напряжения н указать расхождения (в процентах) с допускаемым значением напряжения [σ] = 160 Н/мм3.

Решение

Здесь требуется подобрать сечения стержней исходя из условий:

где N1 и N2 — усилия, возникающие соответственно в стерж­нях 1 и 2.

1. Усилия N1 и N2 во всех поперечных сечениях стерж­ней одинаковы и площади этих сечений постоянны. Таким образом, все сечения каждого стержня равноопасны.

2. Определяем усилия в стержнях из рассмотрения равно­весия узла В, где приложены заданные силы Р1 и Р2 (рис. 2.6, б). Освобождаем эту точку от связей и прикла­дываем их реакции N1 и N2, равные усилиям в стерж­нях. Получаем плоскую систему сходящихся сил. Для упрощения уравнений равновесия координатные оси ху направляем вдоль неизвестных усилий N1 и N2. Состав­ляем уравнения равновесия:

Откуда

Тогда

По таблицам ГОСТ 8509—72 подбираем сечения стерж­ней:

для первого стержня угловую равнополочную сталь 36x36x4

для второго стержня угловую равнополочную сталь 28x28x3

Вычислим напряжения в поперечных сечениях стерж­ней при принятых площадях

что больше [σ] на

такое превышение допустимо;

что меньше [σ] на

Пример 5. Определить размеры поперечных сече­ний стержней (рис. 2.7, а), если допускаемые напря­жения для стали [σсх] = 140 Н/мм2, для дерева [σд] = 13 Н/мм2.

Решение

Рассматри­ваем равновесие шарни­ра А, так как к этому шарниру приложены за­данная нагрузка и иско­мые усилия в стержнях.

1. Освобождаем шарнир А от связей и заменяем их действие реакциями N1 и N2. Действующие на шарнир А нагрузка и ис­комые усилия показаны на рис. 2.7, б. Получили плоскую систему сходящихся сил, которая находится в равновесии.

2. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия:

откуда

Требуемые площади поперечных сечений стержней

Откуда

Пример 6. Однородная балка АВ поддерживается тремя стальными стержнями1, 2, 3 круглого поперечного сечения d = 20 мм (рис. 2.8). Сила тя­жести балки Q = 10 кН. Найти до­пускаемую интенсив­ность [q] равномерно распределенной на­грузки, если допус­каемое напряжение для материала стерж­ней [σ] =160 Н/мм2.

Решение

1. Определим усилия, возникающие в стержнях. Под действием силы Q, равномерно распределенной на­грузки q и усилий N1, N2 и N3в стержнях балка нахо­дится в равновесии.

2. Составляем уравнения равновесия:

3. Решая полученные уравнения, находим:

N3больше, чем N1 и N2. Следовательно, опасными являются поперечные сечения стержня 3.

4. Условие прочности для стержня 3:

Подставляем значение N3:

5. Решая относительно ц и подставляя числовые значе­ния, получаем:

где

Пример 7. Стальной стержень круглого сечения диаметром d = 20 мм растягивается силой Р = 65 кН. Проверить прочность стержня, если его предел текучести σ = σт = 300 Н/мм2 и требуемый коэффициент запаса [n] = 1,5.

Решение

Напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня,

Расчетный коэффициент запаса

Следовательно, можно считать, что прочность стержня достаточна, так как расчетный коэффициент запаса незначительно (на 3%) меньше требуемого.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бру­са при растяжении и сжатии?
2. Как распределяются по сечению силы упругости при растя­жении и сжатии? (Использовать гипотезу плоских сечений.)
3. Какого характера напряжения возникают в поперечном сече­нии при растяжении и сжатии: нормальные или касательные?
4. Как распределены напряжения по сечению при растяжении и сжатии?
5. Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при растяжении и сжатии.
6. Как назначаются знаки продольной силы и нормального на­пряжения?
7. Что показывает эпюра продольной силы?
8. Как изменится величина напряжения, если площадь попереч­ного сечения возрастет в 4 раза?
9. В каких единицах измеряется напряжение?

ЛЕКЦИЯ 21

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис.32.).

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжение при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. По этому напряжение можно рассчитать по формуле:

где Nz — продольная сила; А — площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 33а), а при сжатии к сечению (рис. 336).

Размерность (единица измерения) напряжений — (Па), однако это слишком малая единица, и практически напряжения рассчитывают в
При определении напряжений брус разбивают На участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений. Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчёт оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая же эпюра, как и эпюра продольных сил.

Пусть в результате деформации первоначальная длина стержня l станет равной. l1. Изменение длины

называется абсолютным удлинением стержня.

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением ( – эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.

Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:

.

Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах . Например, для пробки , для каучука , для стали , для золота .

5. Определение перемещений в стержне при растяжении-сжатии.

При растяжении — сжатии относительная продольная деформация в каждой

точке поперечного сечения стержня одна и та же и определяется как

где и — продольное перемещение поперечного сечения. Из

данного равенства du = zdx. Интегрируя его

(10)

где м0 — перемещение начального поперечного сечения стержня; и — перемещение рассматриваемого поперечного сечения, положение которого определяется координатой х ; л:0- координата начального поперечного сечения.

По закону Гука при растяжении-сжатии где Е — модуль упругости

1-го рода материала стержня. Обозначим — изменение длины

стержня для рассматриваемого поперечного сечения. Тогда (10) примет вид

Если свойства материала по длине стержня не изменяются и Е const, то

. (12)

Функция нормальных напряжений а, как правило, имеет разрывы при переходе с одного участка на другой (рис.7,6) и непрерывна в пределах каждого участка. Поэтому, если рассматриваемое сечение (рис. 7,в) находится в пределах первого участка 0<х<а (0<Jtj < я), то изменение длины стержня

в данном поперечном сечении равно (учитываем, что а, = const)

Если рассматриваемое сечение (рис. 7,г) находится в пределах 2-го участка , то изменение длины стержня в данном поперечном сечении равно (учитываем, что ст2 ~ const)

(14)

6. Диаграмма растяжения и механические характеристики материала.

Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.

Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).

Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.

Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах (например УММ-20 или МИ-40КУ) и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.

На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:

F — продольная растягивающая сила, [Н];

Δl — абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]

Рис. 1 Диаграмма растяжения стального образца

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I — участок пропорциональности;

II — участок текучести;

III — участок самоупрочнения;

IV — участок разрушения.

Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы.

В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а следовательно, и деформация Δl стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).

На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это говорит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня Δl растут пропорционально увеличивающейся нагрузке F.

После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на участке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси Δl, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки.

В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраивается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоупрочнения.

После повышения прочности материала образца, диаграмма снова «идет вверх» (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение (рис. 2), так называемая «шейка», вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).

Рис. 2 Стальной образец с «шейкой»

Вследствие утоньшения, и следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягиваещее усилие необходимое для его растяжения уменьшается, и кривая диаграммы «идет вниз».

В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец конечно же в сечении, где была образована «шейка»

Работа затраченная на разрыв образца W равна площади фигуры образованной диаграммой. Ее приближенно можно вычислить по формуле:

W=0,8Fmax⋅Δlmax

По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.

Для получения непосредственно механических характеристик металла образца диаграмму растяжения необходимо преобразовать в диаграмму напряжений.

7.

8. Понятия о допускаемых напряжениях и деформациях при растяжении и сжатии. Условия прочности и жёсткости. Три вида расчетов на прочность и жесткость.

Допускаемые напряжения – это наибольшие напряжения, которые можно допустить в конструкции при условии его безопасной, надежной и долговечной работы.

Как показывают механические испытания (испытания на растяжение и сжатие), разрушение хрупких материалов начинается, когда напряжения в сечении элемента конструкции превысят величину временного сопротивления (предела прочности) σв. Поэтому для хрупких материалов, деформация которых, как правило, незначительна, за опасное (предельное) напряжение следует принимать именно предел прочности σв:

σо = σв.

Для пластичных материалов за опасное (предельное) напряжение следует принимать предел текучести σт (или условный предел текучести σ0,2, если площадка текучести отсутствует), так как за пределом текучести в пластичных материалах возникают значительные пластические деформации, приводящие при сбросе нагрузки до нуля к появлению остаточных напряжений, следовательно:

σо = σт .

Естественно, что эти опасные напряжения не могут быть использованы в качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения гарантированно были меньше опасных, а деформации были упругими. Таким образом, допускаемое напряжение может быть определено по формуле σо

где σо – опасное напряжение; n – коэффициент запаса прочности.

Рассмотрим условия прочности и жесткости для случаев простого растяжения (сжатия). Опасность наступления разрушения характеризуется величинами наибольших нормальных и касательных напряжений, возникающих при нагружении в опасных (т. е. наиболее напряженных) точках сечения. Очевидно, что реальные материалы не могут выдерживать сколь угодно большие напряжения. Поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать некоторыми допустимыми значениями, такими, чтобы деталь испытывала только упругие деформации. Их называют допускаемыми напряжениями. При растяжении и сжатии допускаемые напряжения обозначают [σ+], [σ–] соответственно (принято также обозначение σadm).

Если из расчета известны максимальные и минимальные (по алгебраической величине) напряжения, возникающие в опасном сечении детали, то условия прочности могут быть записаны следующим образом:

Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, что характерно для пластичных материалов (более строго–для материалов в пластичном состоянии), а значит [σ+]=[σ–]=[σ], то

иусловие прочности при растяжении (сжатии) запишем в виде:

В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей нужно выбирать так, чтобы обеспечивалось условие жесткости, то есть ограничить предельные деформации (перемещения) элементов конструкции.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет следующий общий вид:

где∆l – изменение размеров детали; [∆l] – допускаемая величина этого изменения.

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин ∆l по участкам

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

Используя условие прочности, можно решать три типа задач:

1) проектировочный расчет – по известным нагрузкам для известного материала найти надежные с точки зрения прочности размеры поперечного сечения стержня (спроектировать прочную деталь);

2) проверочный расчет – по заданным размерам и материалу детали проверить, может ли она выдержать приложенную нагрузку;

3) расчет по несущей способности (грузоподъемности) – по известным размерам детали, материалу и схеме нагружения определить допустимую величину нагрузки на деталь.

9. Напряжения и деформации при сдвиге. Условие прочности.

Сдвиг (срез) – вид деформации, при котором одна часть стержня смещается относительно другой (скользит). Сдвиг, как вид нагружения, встречается редко и имеет место в заклепочных и сварных соединениях. Деформация сдвига происходит в случае, если к стержню приложены две равные по модулю противоположно направленные силы P , перпендикулярные к его продольной оси. Расстояние между этими силами должно быть малым, чтобы можно было пренебречь моментом, создаваемым силами.

Рис. 16. Расчетная схема при сдвиге

Используя метод сечений (разрезая стержень между силами P), можно установить, что в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – поперечная сила Q.

Такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила, называют чистым сдвигом.

Мера скольжения одного поперечного сечения относительно другого – касательные напряжения τ.

Принято, что касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения равномерно. Если в поперечном сечении стержня площадью A возникает внутренняя поперечная сила Q = P, то касательные напряжения в любой точке этого сечения будут равны: T = Q/A = P/A.

Рис. 17. Чистый сдвиг

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения τ, приведенные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Таким образом, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и они образуют с главными площадками углы, равные 45°.

При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Касательные напряжения τ измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения: мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры, килограммах силы на квадратный сантиметр (МПа, кН/см2, кгс/см2) и т.п.

В результате сдвига одно поперечное сечение стержня смещается относительно другого на величину δ, называемую абсолютным сдвигом.

Рис. 18. Углы сдвига

10. Напряженное состояние и закон гука при сдвиге

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s1= — s3 = t; s2= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d — абсолютный сдвиг,

g » — относительный сдвиг или угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G×g .

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а×F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

11. Определение напряжений при кручении круглых валов. Условие прочности.

Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряженийи записывается в виде

где — берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных