Деформация растяжения модуль юнга
Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.
Модуль Юнга
Основные сведения
Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м2 или в Па.
Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (1012Па)
Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.
Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.
График теста на растяжение
E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.
E=α/ε
Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.
Физический смысл модуля Юнга
Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.
Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.
Виды деформации
Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.
В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:
Δl = α * (lF) / S
Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:
1/α = E
Относительная деформация:
ε = (Δl) / l = α * (F/S)
Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:
ε=α σ
Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:
σ = ε/α = E ε
Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.
В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.
Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l
Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.
Значения модуля юнга для некоторых материалов
В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.
| Материал | модуль Юнга E, ГПа |
| Алюминий | 70 |
| Бронза | 75-125 |
| Вольфрам | 350 |
| Графен | 1000 |
| Латунь | 95 |
| Лёд | 3 |
| Медь | 110 |
| Свинец | 18 |
| Серебро | 80 |
| Серый чугун | 110 |
| Сталь | 200/210 |
| Стекло | 70 |
Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.
Предел прочности материала
Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.
Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.
Инструмент для определения предела прочности
Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.
Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении
Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.
Испытание на растяжение
Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.
Значения σраст в МПа:
| Материалы | σраст | |
| Бор | 5700 | 0,083 |
| Графит | 2390 | 0,023 |
| Сапфир | 1495 | 0,030 |
| Стальная проволока | 415 | 0,01 |
| Стекловолокно | 350 | 0,034 |
| Конструкционная сталь | 60 | 0,003 |
| Нейлон | 48 | 0,0025 |
Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.
Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.
Коэффициент запаса прочности
Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.
Запас прочности
Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.
Связь с другими модулями упругости
Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:
E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.
Источник
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА
Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФМ-19, микрометр.
Цель работы: изучение упругих деформаций различных материалов, определение модуля Юнга по деформации изгиба.
Краткая теория
Напряжением (механическим) называют векторную величину, равную отношению силы упругости, действующей на данной площадке внутри тела, к ее площади.
Модулями упругости называются величины, характеризующие упругие свойства материалов. В зависимости от типа деформации различают:
1. Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е – в случае деформации растяжения.
2. Модуль сдвига G – в случае деформации сдвига.
3. Модуль кручения D – в случае деформации кручения.
Для первых двух типов деформации (в случае малых деформаций) зависимость между упругим напряжением и соответствующей деформацией определяется простой формулой: напряжение равно произведению деформации на соответствующий модуль упругости (закон Гука). Так, закон Гука для деформации растяжения (сжатия) (рис. 20.1) имеет вид
(20.1)
где s − нормальное напряжение, равное отношению растягивающей образец силы к площади его поперечного сечения ; Е − модуль Юнга; e − относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения к первоначальной длине образца
Рис. 20.1
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения. Модуль сдвига G характеризует способность материалов сопротивляться деформации сдвига. Отличие модуля кручения D от модулей Юнга и сдвига состоит в том, что он зависит не только от свойств материала, но и от геометрических размеров тела.
В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.
Деформация изгиба сводится к растяжениям и сжатиям в различных частях тела. Если прямой упругий стержень обоими концами свободно положить на твердые опоры и нагрузить в середине грузом весом P, то середина стержня опустится, т. е. стержень согнется (рис. 20.2). Верхние слои стержня при изгибе будут сжиматься, нижние – растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление. Перемещение d, которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна зависеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости (модуля Юнга).
Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами l (длина), h (высота), b (ширина), которая устанавливается на две неподвижные призмы с расстоянием L между острыми верхними гранями. Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией y(x) (см. рис. 20.3). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной . Условие равновесия имеет вид:
(20.2)
где E – модуль Юнга; − коэффициент, определяемый геометрией пластины; − изгибающий момент.
Рис. 20.2 Деформация изгиба
Рис. 20.3 Изгиб пластины под нагрузкой
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины: интегрируя которое, находим:
(20.3)
где L – расстояние между призмами. Стрела прогиба d по модулю равна смещению середины пластины: откуда окончательно модуль Юнга:
(20.4)
Описание лабораторной установки
Для определения модуля Юнга методом изгиба предназначена экспериментальная установка ФМ-19 (рис. 20.4). Установка позволяет также определять модуль сдвига с помощью пружинного маятника (лабораторная работа № 21). Установка состоит из основания 1, на котором закреплена вертикальная стойка 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне 5 закреплены часовой индикатор 6 и две призматические опоры 7 для установки исследуемого образца 8 (пластины). Положение часового индикатора 6 относительно верхнего кронштейна 5 фиксируется винтом 14. Положение круговой шкалы часового индикатора относительно корпуса часового индикатора 6 фиксируется винтом 15. На пластину 8 устанавливается устройство нагружения образца, представляющее собой скобу 9 с призматической опорой 10, внизу скобы 9 подвешивается наборный груз 11.
На среднем кронштейне 4 установлен узел крепления вертикально подвешиваемых сменных пружин (в данной работе не используется). На нижнем кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 12 (в данной работе не используется), который подключается к блоку электронному 13 (в данной работе не используется).
Рис. 20.4
Порядок выполнения работы
1. Установите одну из исследуемых пластин 8 на призматические опоры 7. Установите часовой индикатор 6 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины 8 (для этого нужно повернуть против часовой стрелки винт 14 на верхнем кронштейне 5, сдвинуть часовой индикатор 6 вверх или вниз до положения, в котором его наконечник касается пластины 8, и зафиксировать часовой индикатор в этом положении, завернув обратно винт 14).
2. Проверьте настройку на ноль часового индикатора 6. Если при отсутствии нагрузки большая стрелка часового индикатора не показывает ноль, то поверните против часовой стрелки винт 15 на часовом индикаторе, затем поверните круговую шкалу часового индикатора до совпадения большой стрелки с нулем круговой шкалы, и зафиксируйте это положение круговой шкалы, завернув обратно винт 15.
3. Подвесьте на скобу 9 груз 11 массой m и установите скобу 9 на пластину 8 так, чтобы призматическая опора 10 была посередине пластины 8. Занесите в табл. 20.1 показание d часового индикатора 6 (значение стрелы прогиба). Для повышения точности повторите измерения 5 раз при одной и той же массе груза. Результаты измерений занесите в табл. 20.1.
Таблица 20.1
m, г ® | h, мм | b, мм |
d, мм | 1. | |
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
мм | ||
E, Па |
4. Повторите задание п. 3, увеличив массу груза 11. Всего проведите измерения для трех значений m. Результаты измерений занесите в табл. 20.1.
5. Измерьте микрометром размеры поперечного сечения пластины (высоту h и ширину b). Каждый размер измерьте по 5 раз в разных местах пластины. Результаты измерений занесите в табл. 20.1. Подойдите к преподавателю на проверку.
6. Для каждой массы груза вычислите среднее значение показаний часового индикатора (среднее значение стрелы прогиба).
7. Рассчитайте средние значения высоты и ширины пластины.
8. Для одного из значений массы груза вычислите модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (20.4), взяв в которой расстояние между призмами L=0,114 м. Подойдите к преподавателю на проверку.
9. При оформлении отчета вычислите модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (20.4) для каждой массы груза, затем найдите среднее значение модуля Юнга.
10. Рассчитайте относительную погрешность определения модуля Юнга при одном из значений массы груза:
где g=9,8 м/с2, P=mg; DL=0,5 мм, =114 мм; Dd, Db, Dh – находятся как погрешности прямых измерений (по методу Стьюдента).
Контрольные вопросы
1. Что называется напряжением? Напишите формулу для модуля нормального напряжения.
2. Перечислите модули упругости.
3. Что характеризует модуль Юнга материала?
4. Напишите закон Гука для деформации растяжения (сжатия).
5. Перечислите виды деформаций.
6. Что называется изгибом?
7. Что такое нейтральный слой?
8. Что называется стрелой прогиба?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 21, с. 42-45.
2. А., Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 1.1, п. 1, с. 8; § 29.3, п. 2, с. 391; § 29.1, п. 3, с. 386.
3. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / ; под общ. ред. . – М.: КНОРУС, 2009. § 2.9, с. 73-77.
Составил преп.
20.06.2013
Источник
1. Силы упругости. Виды деформации: растяжение, изгиб, сдвиг, кручение. Механическое напряжение. Закон Гука, модуль Юнга, коэффициент Пуассона
Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.
Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.
Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга.
Наиболее простые виды деформации тела в целом:
· растяжение-сжатие,
· сдвиг,
· изгиб,
· кручение.
В большинстве практических случаев наблюдаемая деформация представляет собой совмещение нескольких одновременных простых деформаций. В конечном счёте, однако, любую деформацию можно свести к двум наиболее простым: растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Растяжение-сжатие — вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, когда нагрузка прикладывается по продольной оси стержня и проходит через его центр масс.
Сдвиг — вид продольной деформации бруса, возникающий в том случае, если сила прикладывается касательно его поверхности (при этом нижняя часть бруска закреплена неподвижно).
Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.
Кручение —вид деформации тела, возникающий в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор —крутящий момент.
Упругая деформация — деформация, исчезающая после прекращения действий внешних сил. При этом тело принимает первоначальные размеры и форму.
Пластическая деформация — деформация, не исчезающая или исчезающая не полностью после прекращения действий внешних сил.
Механическое напряжение — это векторная физическая величина, мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов.
Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Коэффициент упругости (размерность L0MT-2) зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как
Модуль Юнга (модуль упругости) — физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал среды и процесса. В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на метр в квадрате или в паскалях.
Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:
Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука для относительных величин запишется как
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме
Область пропор- циональности
Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — абсолютная величина отношения поперечной и продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
,
где
— коэффициент Пуассона;
— деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);
— продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).
При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть продольная длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз поперечная деформация деформируемого тела больше продольной деформации, при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5.
Источник