Что такое жесткость сечения бруса при растяжении и сжатии
Деформации продольные и поперечные. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Закон Гука. Модуль упругости.
При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате растяжения брус удлинился на величину Δl, которая называется абсолютным удлинением,и получим абсолютное поперечное сужение Δа.
Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией. В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона: (3.1)
Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .
В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:
, (3.2)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости.
Если мы в формулу закона Гука подставим выражение и , тo получим формулу для определения удлинения или укорочения при растяжении и сжатии:
, (3.3)
где произведение ЕF называется жесткостью при растяжении, сжатии.
Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела(материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:
{displaystyle E {stackrel {text{def}}{=}} {frac {dsigma }{dvarepsilon }}}
где:
· E — модуль упругости;
· {displaystyle sigma } — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
· {displaystyle varepsilon } — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).
Определение осевых перемещений поперечных сечений. Жесткость при растяжении и сжатии.
Растяжениемилисжатиемназывают такой вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает только продольная сила N.
Продольной силойв поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил , возникающих в этом сечении.
При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная форма его равновесия может оказаться неустойчивой.
жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии) — Произведение модуля продольной упругости иплощади поперечного сечения. Характеризует жесткость бруса при растяжении (сжатии).
3. Диаграммы растяжения и ее характерные параметры: пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности. Истинная диаграмма растяжения.
Диаграмма растяжения
Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.
Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).
Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.
Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.
Диаграмму ~ условно делят на четыре области:
I – зона упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука.
II – зона общей текучести. Здесь происходит существенное удлинение образца без заметного увеличения нагрузки. Кривая АВ называется площадкой текучести.
III – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным, чем на упругом участке.
Процесс предварительного деформирования называют наклепом.
IV – зона местной текучести (зона разрушения). Здесь начинает появляться место сужения – шейка.
На диаграмме растяжения отмечают характерные напряжения:
– предел пропорциональности – напряжение, до которого выполняется закон Гука;
– предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточной деформации;
– предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.
– предел прочности – отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.
Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 1905 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Стоящее в знаменателе произведение АЕ называется жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии), а выражение АЕИ — жесткостью бруса при растяжении.
[c.164]
Легко видеть, что эта формула в принципе аналогична формуле (2.21) для удлинения А/. Произведение GJp называется жесткостью сечения бруса при кручении.
[c.186]
По этой формуле определяется кривизна изогнутой оси бруса, характеризующая деформацию изгиба. Здесь величина Е] называется жесткостью сечения бруса при изгибе.
[c.214]
В случае если жесткость сечения бруса по всей длине постоянна, формула (2.91) имеет вид
[c.224]
Произведение ЕР обычно называют жесткостью сечения бруса (стержня) при растяжении (сжатии).
[c.214]
При расчетах на растяжение роль геометрической характеристики прочности и жесткости сечения бруса играет его площадь. При расчетах на кручение, изгиб и сложное сопротивление прочность и жесткость зависят от других, более сложных геометрических характеристик сечений, ознакомлению со свойствами и методами вычислений которых посвящена данная глава книги.
[c.248]
В той и в другой формуле числитель дроби представляет собой произведение величины внутреннего силового фактора на длину бруса или его участка, знаменатель же является жесткостью сечения бруса при соответствующем виде деформации.
[c.233]
Эта формула читается так абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
[c.190]
Произведение ЕЕ обычно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии), а жесткостью бруса (участка бруса)
[c.13]
Произведение GJp условно называют жесткостью сечения бруса при кручении.
[c.138]
Обозначения ds — элемент длины бруса (интегрирование ведется по длине всех брусьев) 1 А, N, Q—ординаты эпюр усилий в заданном (фактическом) состоянии системы fJ,/ Я, GF—изгибная, продольная и поперечная жесткости сечений брусьев, в общем случае пере- генные по длине й—коэффициент, вводимый для учета неравномерности распределения касательных напряжений по высоте бруса при изгибе.
[c.151]
GJ — жесткость сечения бруса при кручении
[c.344]
Брус нагружен вертикальной равномерно распределенной нагрузкой [c.522]
Произведение условно называют жесткостью сечения бруса при изгибе. Модуль Е характеризует жесткость материала, а момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса при изгибе.
[c.250]
Определить прогиб бруса малой кривизны в месте приложения силы Р. На сколько и в какую сторону перемещается по горизонтали правая опора Жесткость сечения бруса /.
[c.133]
Определить величину и направление (угол, образуемый с горизонталью) перемещения свободного конца бруса малой кривизны. Жесткость сечения бруса
[c.133]
Следовательно, чем больше растягивающая или сжимающая сила и длина бруса, тем больше его абсолютное удлинение или укорочение. Однако чем больше жесткость сечения бруса, тем меньше его абсолютное удлинение или укорочение.
[c.23]
Выражение (2.9) часто называют формулой Гука, а произведение ЕА условно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии).
[c.35]
А = EJ — изгибная и —сдвиговая жесткости сечения бруса
[c.405]
В отличие от простых видов деформации на практике нередки случаи, когда в поперечных сечениях бруса возникают сразу несколько внутренних силовых факторов. Такие случаи принято называть сложным сопротивлением. Расчеты на прочность и жесткость при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил. Необходимо заметить, что иногда указанные виды расчетов можно упростить, если пренебречь (в пределах требуемой степени точности) второстепенными деформациями и привести, таким образом, сложную деформацию к более простой.
[c.195]
Произведение GJ называют жесткостью сечения круглого бруса при кручении.
[c.265]
Угол закручивания рассматриваемого бруса при постоянных крутящем моменте и жесткости сечения определяется по формуле
[c.240]
В том случае, когда по длине бруса продольная сила N2. или жесткость сечения изменяются, удлинение,бруса надо находить путем алгебраического суммирования удлинений отдельных участков бруса, в пределах каждого из которых п продольная сила, и жесткость сечения не изменяются..
[c.214]
Заметим, что по длине бруса изменяется не только продольная сила, но и жесткость сечения.
[c.215]
В общем случае, когда по длине вала крутящий момент или жесткость сечения не постоянны, а постоянны лишь в пределах отдельных участков бруса, то формулу (4.13) можно использовать только по участкам, аналогично определению линейных перемещений при растяжении и сжатии (см. 3.4).
[c.235]
Для того, чтобы найти угол поворота сечения, воспользуемся эпюрой крутящих моментов. Обратим внимание на то, что по длине бруса вменяются и крутящий момент, и жесткость сечения.
[c.237]
Произведение ЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.
[c.190]
Коэффициент пропорциональности С называется жесткостью при кручении. Жесткость при кручении равна произведению модуля сдвига G на величину зависящую только от геометрии поперечного сечения бруса
[c.144]
При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используются геометрические характеристики поперечного сечения бруса площадь, осевые и полярный моменты инерции, осевые и полярный моменты сопротивления. Кроме того, при их определении вспомогательную роль играют статические моменты и центробежные моменты инерции сечения.
[c.80]
Произведение ЕЕ называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии. В приложении I приведены значения мо,дулей упругости Е для различных материалов.
[c.32]
При продольной нагрузке, распределенной по длине оси бруса, продольная сила N в поперечных сечениях его непрерывно изменяется. В этих случаях, а также в случае, когда жесткость ЕР бруса переменна по длине его оси, для определения продольной деформации по формуле (2.12) необходимо рассматривать брус, состоящий из бесчисленного множества бесконечно малых участков длиной б/. Продольная деформация каждого такого участка определяется выражением Дс1/ = Аб//( /), а полная деформация участка бруса длиной /
[c.45]
Брус нагружен вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 11.27). Жесткость сечения бруса Е1 постоянна. При расчете ввиду пологости бруса длину (1л оси элемента бруса приближенно приняпь равной ее горизонтальной проекции йх. Влиянием продольных и поперечных сил пренебречь.
[c.451]
В связи с этим ниже нами дано приближенное теоретическое определение собственной частоты бруса батана, рассматриваемого как система с распределенными параметрами в плоскости поводков. При этом мы предполагаем, что одна из главных осей жесткости сечения бруса лежит в этой плоскости. Такое предположение, как показывает детальный анализ, близкой действительности. Бруе батана рассматриваем как балку переменного сечения с двумя консолями, опирающимися на две упруго податливые опо-
[c.196]
Для случая кручения бруеа постоянного сечения коэффициент жесткости равен отношению приложенного к брусу крутящего момента М р к вызываемому этим моментом углу ср [рад] поворота сечений бруса на длине I [мм]
[c.204]
Если размеры поперечного сечения бруса плавно изменяются вдоль его оси, то перемещения определяют либо интегрированием дифференциального уравнения упругой линии, либо с помощью интеграла Мора, учитывая при этом, что жесткость является функцией координаты про-и,эвольного сечения.
[c.219]
Продольная деформация бруса определяется по формуле (2.12) А1 = ЫЩЕР). Эта формула применима лишь когда в пределах всего участка длиной / продольные силы N и жесткости ЕР поперечных сечений бруса постоянны. Поэтому продольную деформацию участка следует определять как сумму продольных деформаций трех участков аЬ, Ьс и сс1
[c.44]
Произведете СУр называется жесткостью сечения при кручении. Она выражается в Н см , кН м и т. д. Из формул (6.6), (6.12) и (6.13) следует, что величины относительных и полных углов закручивания бруса обратно пропорциональны жесткости его поперечных сечешш.
[c.176]
Источник