Алгебра растяжение графика функции
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Инфоурок
›
Алгебра
›Презентации›Презентация по математике на тему » Растяжения и сдвиги графиков функций» 9 класс
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Графики функций. Растяжения и сдвиги. Подготовка к ОГЭ в 9 классе, задание № 5 Учитель математики Юрьева О.А. МБОУ «СОШ №6», г. Нефтеюганск
2 слайд
3 слайд
Описание слайда:
А Б В 1 4 2
4 слайд
Описание слайда:
2) На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка. 2
5 слайд
Описание слайда:
3) График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? у = х² — х, у = — х² — х, у = х² + х, у = -х² + х, Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Следовательно, данному графику могут соответствовать функции 1) у = х² — х или 3) у = х² + х. Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций с осью Ох, приравняв правые части к нулю 3 х² — х = 0. х( х -1) =0, х = 0,х= 1 х² + х = 0. х( х +1) =0, х = 0,х= — 1, что соответствует графику
6 слайд
7 слайд
Описание слайда:
5) На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка. 1
8 слайд
Описание слайда:
6) На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка. На первом рисунке изображена парабола. На втором рисунке изображена гипербола. На третьем рисунке изображена ветвь параболы. На четвертом рисунке изображена линейная функция. 2
9 слайд
10 слайд
11 слайд
12 слайд
Описание слайда:
9) Установите соответствие между функциями и их графиками. Функции Графики А) у = х² — 2х, Б) у = х² + 2х, В) у = -х² -2х, Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
13 слайд
14 слайд
Описание слайда:
А) у = х² — 2х ветви данной параболы направлены вверх, абсцисса вершины параболы равна 1, она пересекает ось ординат в точке 0. Б) у = х² +2х ветви данной параболы направлены вверх, абсцисса вершины равна -1 , она пересекает ось ординат в точке 0. В) у = -х² — 2х ветви данной параболы направлены вниз, абсцисса вершины равна -1, она пересекает ось ординат в точке 0.
15 слайд
Описание слайда:
10) На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c. Графики Знаки коэффициентов а>0, с< 0 2) а<0, с> 0 3) а>0, с> 0 4) а<0, с< 0 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам. А Б В Г
16 слайд
Описание слайда:
График функции у = aх² + с – парабола. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то – вниз. Значение с определяет ординату вершины параболы. Если с > 0, то вершина параболы находится над осью абсцисс, если с < 0, то – ниже. Графики Знаки коэффициентов 1)а>0, с< 0 2) а<0, с> 0 3) а>0, с> 0 4) а<0, с< 0
17 слайд
Описание слайда:
11) Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. у = 2х 2) у = -2х 3) у = х + 2 4) у = 2 Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
18 слайд
Описание слайда:
Все изображённые здесь графики — прямые. Уравнение прямой у = kх + b: В первом случае прямая параллельна оси абсцисс, k = 0, при этом k = b =0. 2) Второй график проходит через начало координат, значит, b = 0. 3) При х = 0, у = 2, значит, b =2. 4 1 3
19 слайд
Описание слайда:
11) Установите соответствие между функциями и их графиками Функции Графики А) у = — 2х + 4, Б) у = 2х — 4, В) у = 2х + 4. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
20 слайд
Описание слайда:
Если прямая задана уравнением у = kх + b, то при k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает. Значению b соответствует значение функции в точке х = 0 А) у = — 2х + 4, уравнение задаёт убывающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4. Б) у = 2х — 4, уравнение задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке −4. В) у = 2х + 4. уравнение задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4.
21 слайд
22 слайд
23 слайд
Описание слайда:
13) На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b. Графики Коэффициенты 1) k < 0, b > 0 2) k > 0, b > 0 3) k < 0, b < 0 4) k > 0, b < 0 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
24 слайд
Описание слайда:
Графики Коэффициенты 1) k < 0, b > 0 2) k > 0, b > 0 3) k < 0, b < 0 4) k > 0, b < 0 Если прямая задана уравнением y = kx + b и k > 0, то функция возрастает, при k < 0 — убывает. Значению b соответствует значение функции в точке х = 0. 2 1 4
25 слайд
Описание слайда:
14) Установите соответствие между функциями и их графиками. Функции Графики А) у = — 2х + 4 Б) у = 2х – 4 В) у = 2х + 4
26 слайд
Описание слайда:
Источник содержания: Сайт «Решу ОГЭ», образовательный портал для подготовки к экзаменам https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=62
Выберите книгу со скидкой:
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Инфолавка — книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Номер материала:
ДБ-009878
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Источник
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.
Линейная функция – функция вида y=ax+b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:
Если a>0, прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y.
Если a<0, прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y.
Если a=0, функция принимает вид y=b.
Отдельно выделим график уравнения x=a.
Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола.
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a,b,c:
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a>0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a<0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
- Коэффициент b помогает найти xв – координату вершины параболы.
xв=−b2a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D>0 – две точки пересечения.
- Если D=0 – одна точка пересечения.
- Если D<0 – нет точек пересечения.
Графиком функции y=kx является гипербола.
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k>0, то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y.
Функция y = x имеет следующий график:
Функция y = f(x)возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y).
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f(x)убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y).
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Скачать домашнее задание к уроку 5.
Источник
Автор/ы проекта (ФИО)
Холева Ольга Вячеславовна
Должность (с указанием преподаваемого предмета)
учитель математики
Образовательное учреждение
МОУ СОШ №73 им.А.Ф.Чернонога г.Воронеж
Название проекта
«Преобразования графиков функций»
Операционная система, с помощью которой подготовлен мультимедийный компонент (Windows, Linux)
Windows
Форма (презентация, тест и т.п.)
презентация
Размер ресурса (мегабайт)
0,95Мб
Технические данные
(компьютер, интерактивная доска и другие.)
Компьютер, проектор, экран
Учебный предмет
Алгебра
Класс
9-10-11
Название учебного пособия и образовательной программы с указанием авторов, к которому относится ресурс
Программа основного общего образования
Учебники:
А.Н.Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа 10-11»
А.Г.Мордкович «Алгебра 8»
А.Г.Мордкович «Алгебра 9»
А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11»
Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра 9»
Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра 9 с углубленным изучением математики»
Название темы или раздела учебного курса
Функции и их графики
Формат ресурса — основного файла (ppt, avi, exe, doc или другие)
ppt
Вид ресурса
(презентация, видео, текстовый документ, электронная таблица и другие)
презентация
Образовательный тип
(Поясняющий текст, учебный текст, методичка, разработанная программа, электронный тест, электронный учебник и другие)
учебный текст в виде презентации c графической информацией с анимационными эффектами
Средства Microsoft Office или другое ПО, с помощью которых создан дидактический материал
Microsoft Office PowerPoint
Цели, задачи дидактического материала
формировать знания и умения по построению графиков функций;
развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;
формирование и развитие познавательного интереса учащихся.
Содержание дидактического материала (раскрыть подробно)
Презентация содержит справочный материал по теме «Преобразования графиков функций». Состоит из нескольких разделов: правила преобразований, графические иллюстрации правил преобразований, примеры построения графиков функций с помощью преобразований.
Ресурсы дидактического материала (видео-фото, графические изображения, звуковые файлы, ссылки, анимационные и другие эффекты и т.п.)
Анимационные эффекты
Используемые источники информации (литература, Интернет, ЦОР и др.)
Учебники: А.Н.Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», А.Г.Мордкович «Алгебра 8», А.Г.Мордкович «Алгебра 9», А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11», Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра 9», Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра 9 с углубленным изучением математики».
Единая коллекция ЦОР https://School-collection.edu.ru
Возможности использования дидактического материала:
— педагогом на уроке (указать этапы урока);
— учащимися
Для использования учителем при объяснении нового материала и при повторении ранее изученного.
Данный материал обобщает традиционный учебник. Дидактический материал также предназначен для работы дома, для самостоятельного изучения или повторения данной темы.
Ограничения на использование ресурса (да, нет), описание ограничений
нет
Подробное объяснение места медиа-, мультимедиа компонента в структуре и содержании урока и пояснения по методике их использования в образовательном процессе.
Презентация будет полезна как при объяснении нового материала, так и при повторении темы «Построение графиков функций» в 9-10 -11 классах.
Использование дидактического материала позволяет сократить время на изучение или повторение, позволяет поддерживать устойчивое внимание, повышает интерес к предмету. Учитель может строить объяснение урока с использованием анимации в презентации с целью большего понимания излагаемой темы и наглядности.
Источник