1 центральное растяжение бруса

Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечения бруса возникает только продольная (нормаль­ная) сила N, а все остальные внутренние силовые фак­торы равны нулю.

Явление центрального растяжения (сжатия) возника­ет только тогда, когда все внешние нагрузки действуют, по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений бруса. Например, центральное растяжение испы­тывает трос башенного крана от веса поднимаемого гру­за. Условимся внутреннюю силу N считать положитель­ной, если она направлена от сечения (соответствует рас­тяжению), и отрицательной, если она направлена к сечению (соответствует сжатию).

В тех случаях, когда направление силы N неизвестно, следует ее принимать всегда положительной, т. е. растя­гивающей. Если после решения уравнения сила N полу­чится со знаком плюс, то брус в данном сечении будет растянут, если же со знаком минус, то сжат.

рис.4.10

Расчет начинается со свободного конца бруса, чтобы не определять величины реакций в опорах.

Рассмотрим прямой брус (рис. 4.10, а) постоянного и симметричного поперечного сечения, жестко закреплен­ный вверху и нагруженный тремя внешними сосредото­ченными силами F1 = 10 кН, F2 = 20 кН, F2=30 кН, приложенными в точках В, С, D и направленными вдоль его продольной оси. Естественно, что на разных участках длины бруса будут возникать разные по величине вну­тренние продольные силы. В данной задаче таких участ­ков будет три: участок ВС, участок CD и участок DK.

Для нахождения внутренних продольных сил N вос­пользуемся методом сечений, т. е. мысленно рассечем брус плоскостью, перпендикулярной к его оси, на две ча­сти.

Поскольку к брусу приложены три внешние силы, то необходимо рассечь брус в трех местах, т. е. в пределах всех трех участков ВС, CD и DK, отбросить одну из час­тей и ее влияние на оставленную часть заменить неизве­стной пока внутренней силой N. Из условия равновесия =0 для оставленной части найти ее величину и направление. Приступим к решению нашей задачи.

Сечение 1—1. Рассекаем брус сечением 1—1 на две части, отбрасываем одну из них, например, верхнюю. Для упрощения расчета следует отбрасывать ту часть, на которую действует большее число внешних сил. В данном случае на верхнюю часть действуют три силы, поэтому целесообразнее ее отбросить, а оставить ниж­нюю часть, на которую действует только одна сила F1. Заменяем действие отброшенной части неизвестной про­дольной силой N1предполагая последнюю растягиваю­щей, получим схему (рис. 4.10,б).

Составляем условия равновесия для оставленной ча­сти бруса: , откуда ==10 кН. Отсюда видно, что сила N1постоянна на всем протяжении уча­стка ВС, так как независимая переменная zне вошла в уравнение равновесия.

Сечение 2—2. Для определения продольной силы N2 в произвольном сечении 2—2 поступаем совершенно ана­логично предыдущему (рис. 4.10,в). Составляем урав­нение равновесия: , N2=30 кН.

Сечение 3—3. Для определения продольной силы ЛГ3 в сечении 3—3 рациональнее было бы оставить верхнюю часть, но при этом надо было предварительно определить реакцию RKв жесткой опоре. Так как мы ее не находи­ли, оставим нижнюю часть (рис. 4.10, г), для которой уравнение равновесия запишется в виде , откуда N3 = 60 кН.

Для наглядного представления характера (закона) изменения какого-либо из внутренних силовых факторов длине бруса строят график изменения этого фактора, в котором абсцисса соответствует местоположению сече­ния на оси, а ордината показывает значение исследуе­мого фактора в данном сечении. Такой график называ­ется эпюрой. Перейдем к построению эпюры продольных сил для заданного бруса. В данном случае брус содер­жит три участка, поэтому для построения эпюры N необ­ходимо провести исследование изменения продольной силы на каждом участке отдельно.

На участке ВС из уравнения равновесия мы опреде­лили величину N1 = 10 кН и установили, что ее значе­ние в пределах этого участка не меняется, т. е. всюду остается постоянной N1 = 10 кН, где бы мы ни прово­дили сечение 1—1. Следовательно, график продольной силы N1 на первом участке будет постоянным.

На участке DC закон изменения продольной силы N2 тоже будет постоянным в силу того, что переменная z не входила в уравнение равновесия. График на этом уча­стке отличается от графика на первом участке только величиной, так как N2 = 30 кН.

На участке DK закон изменения продольной силы N3также будет постоянным (N3=60 кН).

Эпюрой силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные —вверх, отрицательные —вниз.

В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто­му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.

Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.

На эпюре проставляются значения Nz. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.

Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховыва­ется поперек оси.

Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.

Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению равномерно.

Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Правило знаков
Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.

Рассмотрим прямолинейный брус (стержень), нагруженный силой F

Определим внутренние усилия в поперечных сечениях стержня методом сечения.

Напряжение — это внутренне усилие N, приходящее на единицу площади A. Формула для нормальных напряжений σ при растяжении
$$sigma = frac{N}{A} $$

Так как поперечная сила при центральном растяжении-сжатии равна нулю, то и касательное напряжение [math]tau=0[/math].

Условие прочности при растяжении-сжатии
$$ max; sigma = {Biggvertfrac{N}{A}Biggvert} leq [sigma] $$

Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки:

dN =q·dx

Определение внутренних усилий и напряжений

Рассмотрим вариант определения внутренних сил под действием произвольных сосредоточенных и распределенных сил, направленных вдоль стержня.

Продольное усилие N равняется сумме сил (сосредоточенных Fi и распределенных qi), расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Общая формула для определения продольного усилия в произвольном сечении
$$N(x)=sum F _i + sum int q _i(x)cdot dx $$

Примем, что распределенная нагрузка постоянная. Тогда можно записать
$$N(x)=sum F _i + sum t q _i(x)cdot(x-L _{q _{i}н}) – sum t q _i(x)cdot(x-L _{q _{i}k}),$$
где Lqiн и Lqiк – расстояние от начала координат до начала и конца распределенной силы qi

Для эпюр продольных сил характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

• Эпюры N всегда прямолинейные.
• На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра N — прямая, параллельная оси; а на участке под распределенной нагрузкой — наклонная прямая.
• Под точкой приложения внешней сосредоточенной силы на эпюре обязательно должен быть скачок (разрыв первого рода) на величину этой силы.

Правильность построения эпюры обеспечивается также надлежащим выбором так называемых характерных сечений, то есть тех сечений, в которых величина внутренней силы обязательно должна быть определена. К характерным сечениям относятся:

• сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов;
• сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распределенной нагрузкой;
• сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободных концах.

Пример определения продольных усилий

Пусть стержень длиной L=15 нагружен двумя сосредоточенными растягивающими силами F1=7 в точке FL1=14 и F2=2 в точке FL2=6. Стержень загружен сжимающей распределенной силой q=-1.2, приложенной от начала стержня до Lq1=12. Нужно построить эпюру продольных усилий.

Для определения усилий воспользуемся пакетом SciLab ( см. также здесь).

Создадим две маленькие функции и запишем их в файл n_calc.sce

function [N]=Nx_calc(x,q,F)
// определение суммы всех сил справа от сечения x
Fsum=0;
r=size(F,’r’);
for i=1:r
Fsum=Fsum+F(i,2)*(x<F(i,1));
end;
q_sum=0;
r=size(q,’r’);
for i=1:r
q_sum=q_sum+q(i,3)*(x-q(i,1))*(x<q(i,1))-q(i,3)*(x-q(i,2))*(x<q(i,2));
end;
N=Fsum+q_sum;
endfunction
//—-
function [x,y]=N_calc(q,F,L,step)
// формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
x=[0:step:L,F(:,1)’] // знак ‘ — транспонирование матрицы
x=gsort(x,’g’,’i’);
y=[];
for i=1:length(x)
y(i)=Nx_calc(x(i),q,F);
end
endfunction

Задаем начальные условия и строим эпюру продольных сил

// подключение нашей функции
exec(‘n_calc.sce’)
// распределенная нагрузка [начало,конец, интенсивность нагрузки]
q=[0, 12, -1.2];
// сосредоточенная нагрузка [точка приложения, значение силы]
F=[14, 4; 6, 2];
// Длина
L=15;
// шаг задаем очень маленьким
step=0.1;
// вычисление
[x,y]=N_calc(q,F,L,step);
// построение эпюры
plot2d(x,y)
plot2d3(x,y)
xgrid(3);

С помощью функции Nx_calc можно определить усилие N в любом сечении x.

Так как Scilab, GNU Octave и MATLAB имеют очень близкие языки, то для решения этой задачи в этих пакетах можно воспользоваться выше приведенным алгоритмом.

2й вариант

Приведем еще один вариант определения продольных усилий при центральном растяжении-сжатии с помощью языка программирования R.

# Центральное растяжение-сжатие
#
# определение суммы всех сил справа от сечения Xi
Nx_calc <- function (Xi,q,aF) {
Nsum <- function(Fx, x) {N<-Fx[2]*(x<=Fx[1]);}
Fsum<-sum(apply(aF,1, Nsum, x=Xi));
q_sum <- function(qx,x) {N<-qx[3]*(x-qx[1])*(x<=qx[1])-qx[3]*(x-qx[2])*(x<=qx[2]); }
qsum<-sum(apply(q,1, q_sum, x=Xi));
N<-Fsum+qsum;
}
 
 
# формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
# и отображение эпюры
N_calc <- function (q,F,L,step) {
#превращаем вектор в матрицу
Fi<-matrix(F,ncol=2,byrow=TRUE);
dimnames(Fi)[[2]] <- c(‘x’,’F’);
#проверяем результат
print(Fi);
qi<-matrix(q,ncol=3,byrow=TRUE);
dimnames(qi)[[2]] <- c(‘Ln’,’Lk’,’q’);
print(qi);
 
x<- c(seq(from=0, to=L, by=step),Fi[,1]);
 
x<-sort(x);
y<- sapply(x,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
# рисуем
plot(x,y,type=»h»,ylab=»Усилие», col=»blue»,main=»Эпюра усилий N»);
lines(x,y);
abline(h=0);
# добавим точки, где приложены силы
xf<-Fi[,1];
yf<- sapply(xf,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
points(xf,yf);
text(xf,yf,yf,adj=1,pos=4);
}
 
# формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
# и отображение эпюры (Усовершенствованный вариант №2)
N_calc2 <- function (q,F,L) {
#превращаем вектор в матрицу
Fi<-matrix(F,ncol=2,byrow=TRUE);
dimnames(Fi)[[2]] <- c(‘x’,’F’);
#проверяем результат
print(‘Сосредоточенные силы Fi’);print(Fi);
qi<-matrix(q,ncol=3,byrow=TRUE);
dimnames(qi)[[2]] <- c(‘Ln’,’Lk’,’q’);
print(‘Распределенные нагрузки’);print(qi);
 
z<-Fi[,1];
x1<-numeric();
eps=L/1000; # малая величина
for ( i in 1:length(z) ) {
x1<-c(x1,z[i]-eps,z[i],z[i]+eps)
}
x<- c(0,L,qi[,1],qi[,2],x1);
x<-sort(x);
y<- sapply(x,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
# рисуем
plot(x,y,type=»l»,ylab=»Усилие», main=»Эпюра усилий N», sub=’вариант №2′ );
abline(h=0);
polygon(c(x,L,0),c(y,0,0),col=’gray’)
# добавим точки, где приложены силы
xf<-Fi[,1];
yf<- sapply(xf,Nx_calc, q=qi, aF=Fi);
points(xf,yf);
text(xf,yf,yf,adj=1,pos=4);
# Определяем максимальное сжимающее и растягивающее усилие
y_max<-max(y);
y_min<-min(y);
if ( y_max > 0 ) {
x_max= x[which.max(y)];
print(sprintf(«Максимальное растягивающее значение N=%f при x=%f»,y_max,x_max ) );
points(x_max,y_max, col=»red»);
text(x_max,y_max,y_max,col=’blue’,pos=4);
}
if ( y_min < 0 ) {
x_min= x[which.min(y)];
print(sprintf(«Максимальное сжимающее значение N=%f при x=%f»,y_min,x[which.min(y)] ) );
points(x_min,y_min, col=»red»);
text(x_min,y_min,y_min,col=’blue’,adj=1,pos=4);
}
}

Исходный код функций

Ниже приведен сеанс построения эпюры N в R

> source(«N_calc.r», echo=TRUE);
 
> # Центральное растяжение-сжатие
> #
> # определение суммы всех сил справа от сечения Xi
> Nx_calc <- function (Xi,q,aF) {
+ Nsum <- function(Fx, …. [TRUNCATED]
 
> # формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
> # и отображение эпюры
> #
> N_calc <- function (q,F,L,step) {
+ #превращаем вектор в матри …. [TRUNCATED]
 
> # формирования таблицы усилий в стержне с шагом step
> # и отображение эпюры (Усовершенствованный вариант №2)
> N_calc2 <- function (q,F,L) {
+ # …. [TRUNCATED]
>
> L=15; # Длина
> step=0.1; # шаг задаем очень маленьким
> # распределенная нагрузка [начало,конец, интенсивность нагрузки]
> q<-c(0, 12, -1.2);
> # сосредоточенная нагрузка. Порядок заполнения [точка приложения, значение силы] …
> F=c(14, 4, 6, 2);
> N_calc2(q,F,L)
[1] «Сосредоточенные силы Fi»
x F
[1,] 14 4
[2,] 6 2
[1] «Распределенные нагрузки»
Ln Lk q
[1,] 0 12 -1.2
[1] «Максимальное растягивающее значение N=4.000000 при x=12.000000»
[1] «Максимальное сжимающее значение N=-8.400000 при x=0.000000»
>

В результате на экране отобразится следующая эпюра:
Здесь сразу определены опасные сечения.
Так же, как и в предыдущем варианте, с помощью функции Nx_calc можно определить усилие N в любом сечении x.

Дополнительно

Пример из пособия МИИТ Эпюра продольных сил при центральном растяжении-сжатии (формат pdf).

—

Связанные статьи

• Найти внутренние усилия и построить их эпюры для стержня
• Закон Гука

метки: scilab,
внутренние усилия,
определение усилий: примеры,
растяжение-сжатие,
язык r