Жесткость балки при растяжении
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.
Источник
Работающие на изгиб элементы строительных и машиностроительных конструкций во многих случаях должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. При этом зачастую оказывается, что требуемые размеры поперечного сечения бруса (балки), определенные из расчета на жесткость, получаются большими, чем требуемые по условию прочности.
Условие жесткости выражается неравенством
т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба /) не должен превышать допускаемого /adm. Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рассчитываемой конструкции. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролета (межопорного расстояния /) балки. Например, для ручных грузоподъемных кранов /адт = I / 400, то же, электрических /а?jm = / / 700; для валов и шпинделей металлорежущих станков /adm=(0,0005…0,0010)/.
Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости — ограничение угла поворота опорных сечений:
При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем 0,001 рад.
В тех случаях, когда конструктивные и технологические требования нс накладывают особых ограничений на форму поперечных сечений проектируемого элемента конструкции, следует применять такие сечения, которые обеспечивали бы возможно большую жесткость при наименьшем расходе материала. Для оценки рациональности формы поперечного сечения балки, размеры которой определяются из расчета на жесткость, удобна безразмерная характеристика j — J/ А2.
Например, для двутавра № 20 (при изгибе в плоскости наибольшей жесткости) j = 2,56; для того же двутавра при изгибе в плоскости наименьшей жесткости j = 0,161; для круга/ = 0,0795; для квадрата j = 0,0834; для кольца (при с = 0,7) j = 0,232.
Для ускорения и упрощения расчетов на жесткость в табл. 6.1 приведены значения прогибов и углов поворота сечений для некоторых часто встречающихся случаев нагружения балок.
Пример 6.3. Для консольной деревянной балки (рис. 6.20) при Gadm = 12 МПа, F =7 кН; q = 3 кН/м; М= 18 кНм; а = 0,5 м требуется:
- 1) определить опорные реакции;
- 2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
- 3) из условия прочности по нормальным напряжениями подобрать:
- а) диаметр d круглого поперечного сечения;
- б) высоту И и ширину b прямоугольного поперечного сечения, приняв b = 0,4/?;
- в) выбрать наиболее рациональное сечение;
- 4) для балки рационального профиля в опасном сечении построить эпюру нормальных напряжений.
Значения прогибов и углов поворота поперечных сечений для некоторых случаев нагружения балок
Рис. 6.20. Схема консольной балки
Решение
1. Определение опорных реакций (рис. 6.21, а). Опорными реакциями яв ляются МА и Ra. Покажем их в месте крепления точки А из условия равновесия
Проверка:
Ill участок 0 3 а (справа):
Строим эпюры Q и M (рис. 6.21).
3. Подбор поперечных размеров балки
Вычисляем необходимый осевой момент сопротивления балки
Балка круглого поперечного сечения:
Рис. 6.21. К примеру 6.3
Принимаем d = 26 см.
Балка прямоугольного поперечного сечения (Ь = 0,4/г):
Принимаем h = 30 см, 6 = 0,4 • 30 = 12 см.
Производим выбор наиболее рационального сечения. Наименее материалоемкой является балка с наименьшей площадью поперечного сечения. Площадь сечения балки круглого сечения
площадь прямоугольного сечения
Сравниваем площади сечения:
Следовательно, балка прямоугольного сечения более рациональна, чем балка круглого сечения.
4. Построение эпюры нормальных напряжений для балки рационального профиля (прямоугольного)
Максимальное нормальное напряжение в опасном сечении, там, где максимальный момент по абсолютной величине А/тах =21,125 кНм. Следовательно,
bh^“ 12 30
где Wy = —— =-= 1800 см3. Строим эпюру О, МПа (рис. 6.22).
6 6
Недонапряжсние -100% = 2,16%
Рис. 6.22. Эпюра нормальных напряжений к примеру 6.3
Пример 6.4. Определить угол поворота и прогиб сечения на свободном конце балки, изображенной на рис. 6.23.
Рис. 6.23. Расчетная схема к примеру 6.4
Решение
В заделке возникают реактивная сила RA= ql и реактивный момент Мл = ql2/2.
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки, проведенном на расстоянии z от заделки, относительно точки К составляет
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид
или
Интегрируя обе части этого уравнения, получаем
Интегрируя выражение (б), найдем:
Для определения постоянных интегрирования С и D учтем, что левый конец балки жеско закреплен, т.е. его угол поворота и прогиб равны нулю. Итак, первое граничное условие получаем в виде 0,_о = V%_0 =0, второе — в виде
VZ_Q = 0. Подставляя в (6) v’z=n = 0 и z = 0, получаем С = 0.
Аналогично из (в), принимая V7_q = 0, находим D = 0.
Получаем следующие окончательные уравнения углов поворота поперечных сечений (углов наклона касательных к упругой линии) и упругой линии:
и
Угол поворота крайнего правого сечения найдем, подставляя в (г)
z = /:
или
Знак минус указывает, что сечение поворачивается по часовой стрелке. Прогиб свободного конца получим, подставив в (д) z = /:
или
Положительное направление оси у принято, если она направлена вверх, знак минус указывает, что прогиб v„ направлен вниз.
Пример 6.5. Определить максимальный прогиб заданной балки (рис. 6.24) и сравнить его с прогибом посередине пролета.
Рис. 6.24. Расчетная схема к примеру 6.5
Решение
Опорные реакции показаны на рис. 6.24. Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении равен
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии
После первого интегрирования
а после второго —
В сечениях А и В балка имеет шарнирные опоры, т.е. прогибы здесь равны нулю. Следовательно, имеем такие граничные условия:
о 1′;=о = 0;
2) vz=;=0.
Используя первое граничное условие, из (в) получаем
Второе граничное условие дает
откуда
Окончательно получаем следующие уравнения углов поворота и упругой линии:
Прогиб посередине пролета найдем, подставляя в (д) z = //2:
или
В сечении, где прогиб максимален, касательная к упругой линии параллельна оси балки, т.е. v__Zo = 0 (известное из курса математики условие экстремума функции). Подставляя в (г) z = z0 (значение абсциссы сечения с максимальным прогибом) и приравнивая полученное выражение нулю, имеем
откуда
Подставляя в (д) z = z0, найдем максимальный прогиб:
Характерно, что, несмотря на явно несимметричное нагружение балки, максимальный прогиб получился близко к середине пролета (смещен в сторону приложенного момента всего на 0,077/) и превышает прогиб при z = //2 лишь на 2,34%.
Вопросы для самоконтроля
Источник