Законы гука для растяжения и сдвига
Л е к ц и я 3
ОСНОВЫ РАСЧЕТА
ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ,
РАБОТАЮЩИХ НА
РАСТЯЖЕНИЕ, КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ.
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Закон Гука при
растяжении и сдвиге. Определение
напряжений и расчет на прочность при
растяжении. Определение напряжений и
расчет на прочность при кручении. Виды
изгиба.
Закон Гука при
растяжении и сдвиге
Рассмотрим
в окрестности некоторой точки тела
прямоугольный элемент. При действии на
вертикальные грани элемента нормальных
напряжений σ по направлению σ произойдет
деформация ε (рис. 3.1а). Опытами установлено,
что при σ ≤ σпц
(σпц
— предел
пропорциональности) справедливо
соотношение
(3.1)
где Е – модуль
продольной упругости (модуль Юнга).
С
оотношение
(3.1) называется законом Гука при растяжении.
Продольная
деформация ε (по направлению действия
σ) всегда сопровождается поперечной
деформацией ε΄. Между данными деформациями
существует взаимосвязь
где
μ – коэффициент поперечной деформации
(коэффициент Пуассона).
В
случае действия на грани элемента
касательных напряжений τ будет происходить
деформация сдвига γ (рис. 3.1б). В результате
экспериментов получено, что при τ ≤ τпц
(τпц
— предел
пропорциональности) выполняется
зависимость
(3.2)
где
G
– модуль сдвига.
Зависимость
(3.2) называется законом Гука при сдвиге.
Определение
напряжений и
расчет на прочность
при растяжении
При растяжении в
поперечном сечении стержня возникает
только продольная сила N,
которая является равнодействующей
распределенных по сечению нормальных
напряжений σ. При определении нормальных
напряжений используется гипотеза
плоских сечений (гипотеза Бернулли):
сечения, плоские и перпендикулярные к
оси стержня до деформации, остаются
плоскими и перпендикулярными к его оси
и после деформации.
Рассмотрим
с использованием данной гипотезы
деформирование состояние растянутого
стержня (рис.3.2).
Из рис. 3.2 следует,
что продольные волокна, расположенные
между поперечными сечениями 1 и 2,
деформируются одинаково, т.е.
Тогда согласно
закону Гука (3.1)
Волокна
ab
и cd
были выбраны произвольно. Поэтому можно
утверждать, что во всех волокнах,
расположенных между сечениями 1 и 2,
действует одинаковое напряжение, т.е.
(3.3)
Между продольной
силой и нормальными напряжениями в
сечении существует взаимосвязь (рис.
3.3)
(3.4)
Из формул (3.3) и
(3.4) находим
(3.5)
В итоге из (3.5)
получаем
(3.6)
Для стержня с
постоянным по длине поперечным сечением
опасным (наиболее нагруженным) является
сечение, в котором действует максимальная
продольная сила. Условие прочности при
растяжении (сжатии) имеет вид
(3.7)
На основе
условия (3.7) выполняются три вида расчетов:
a)
Проверочный расчет.
Даны расчетная
схема конструкции, нагрузки, материал.
Требуется проверить выполнение условия
прочности.
б) Проектный расчет.
Даны расчетная
схема конструкции, формы поперечных
сечений её элементов, нагрузки и материал.
Необходимо определить размеры поперечных
сечений
в) Расчет
грузоподъёмности.
Определяется
величина допускаемой по условию прочности
внешней нагрузки
Определение
напряжений и
расчет
на прочность при кручении
При
кручении в результате действия в сечении
касательных напряжений τ происходит
закручивание поперечных сечений стержня
относительно его оси. Равнодействующей
касательных напряжений является крутящий
момент T.
При определении касательных напряжений
применяются гипотеза плоских сечений
и гипотеза об отсутствии деформаций в
плоскости сечения.
Рассмотрим
вырезанный из скручиваемого стержня
цилиндрический слой радиусом ρ и длиной
dz,
а на поверхности слоя – прямоугольный
элемент abcd
(рис. 3.4). В результате деформации сечение
2 повернется относительно сечения 1 на
угол dφ
(φ
называется углом закручивания), а в
точке a
произойдет деформация сдвига γ. В силу
малости упругих деформаций отрезок bb1
можно рассматривать или как часть прямой
линии или как дугу окружности.
Из рис. 3.4 находим
(3.8)
Используя
закон Гука (3.2) и (3.8), получаем
(3.9)
Крутящий
момент в сечении связан с касательными
напряжениями зависимостью (рис.3.5)
(3.10)
Из (3.9) и (3.10) следует
(3.11)
Выразив
из формулы (3.11) отношение
и подставив в
(3.10), находим
(3.12)
Из
зависимости (3.12) следует, что эпюра
касательного напряжения имеет вид,
показанный на рис. 3.6. Из эпюры видно,
что максимальные касательные напряжения
действуют в точках наружной поверхности
стержня
Для
стержня с постоянным по длине поперечным
сечением опасным является то сечение,
в котором действует максимальный
крутящий момент. Расчет на прочность
выполняется с использование условия
(3.13)
Виды изгиба
Изгиб,
при котором в поперечном сечении стержня
действует только изгибающий момент M,
называется чистым (рис. 3.7а). Если
одновременно с изгибающим моментом M
в сечении возникает поперечная сила Q,
то изгиб называется поперечным (рис.
3.7б).
Плоскостью
изгиба называется плоскость, в которой
происходит искривление оси стержня.
Если плоскость изгиба совпадает с
плоскостью действия внешних сил, то
изгиб называется плоским или прямым.
Плоский изгиб происходит тогда, когда
плоскость действия внешних сил содержит
главную центральную ось сечения (рис.
3.8а). В том случае, когда плоскость изгиба
не совпадает с плоскостью действия
внешних сил (плоскость действия внешних
сил не содержит главную центральную
ось сечения), изгиб называется косым
(рис. 3.8б).
5
Соседние файлы в папке Лекции.Сопромат
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
Деформации растяжения и сжатия. Если к однородному, закрепленному с одного конца стержню приложить силу F вдоль его оси в направлении от стержня, то он подвергнется деформации растяжения. Деформацию растяжения испытывают тросы, канаты, цепи в подъемных устройствах, стяжки между вагонами и т. д. Если на закрепленный стержень подействовать силой вдоль его оси по направлению к стержню, то он подвергнется сжатию. Деформацию сжатия испытывают столбы, колонны, стены, фундаменты зданий и т. п. При растяжении или сжатии изменяется площадь поперечного сечения тела.
Деформация сдвига. Горизонтальная сила F сдвигает пластины друг относительно друга без изменения объема тела. У реальных твердых тел при деформации сдвига объем также не изменяется. Деформации сдвига подвержены заклепки и болты, скрепляющие части мостовых ферм, балки в местах опор и др. Сдвиг на большие углы может привести к разрушению тела – срезу. Срез происходит при работе ножниц, долота, зубила, зубьев пилы и т. д.
Деформация изгиба. Легко согнуть стальную или деревянную линейку руками или с помощью какой-либо другой силы. Балки и стержни, расположенные горизонтально, под действием силы тяжести или нагрузок прогибаются – подвергаются деформации изгиба. Деформацию изгиба можно свести к деформации неравномерного растяжения и сжатия.
Деформация кручения. Если на стержень, один из концов которого закреплен подействовать парой сил, лежащей в плоскости поперечного сечения стержня, то он закручивается. Возникает, как говорят, деформация кручения.
Основными деформациями являются деформации растяжения (сжатия) и сдвига. При деформации изгиба происходит неоднородное растяжение и сжатие, а при деформации кручения – неоднородный сдвиг.
Вид деформации | Признаки |
Растяжения | увеличивается расстояние между молекулярными слоями. |
Сжатия | уменьшается расстояние между молекулярными слоями. |
Кручения | поворот одних молекулярных слоев относительно других. |
Изгиба | одни молекулярные слои растягиваются, а другие сжимаются или растягиваются, но меньше первых. |
Сдвига | одни слои молекул сдвигаются относительно других. |
Упругая | после прекращения воздействия тело полностью восстанавливает первоначальную форму и размеры. |
Пластичная | после прекращения воздействия тело не восстанавливает первоначальную форму или размеры. |
Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости.
Силы упругости препятствуют изменению размеров и формы тела. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. Например, со стороны упруго деформированной доски D на брусок С, лежащий на ней, действует сила упругости Fупр (рис. 7).
Рис. 7
При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.
Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.
Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид
f=-kx,
где f — сила упругости; х — удлинение (деформация) тела; k — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ — ньютон на метр (Н/м).
Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела.
Рассмотрим опыт, иллюстрирующий закон Гука. Пусть ось симметрии цилиндрической пружины совпадает с прямой Ах (рис. 20, а). Один конец пружины закреплен в опоре в точке А, а второй свободен и к нему прикреплено тело М. Когда пружина не деформирована, ее свободный конец находится в точке С. Эту точку примет за начало отсчета координаты х, определяющей положение свободного конца пружины.
Растянем пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке D, координата которой х>0: В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
fх=-kx<0.
Сожмем теперь пружину так, чтобы ее свободный конец находился в точке В, координата которой х<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
fх=-kx>0.
Из рисунка видно, что проекция силы упругости пружины на ось Ах всегда имеет знак, противоположный знаку координаты х, так как сила упругости направлена всегда к положению равновесия С. На рис. 20, б изображен график закона Гука. На оси абсцисс откладывают значения удлинения х пружины, а на оси ординат — значения силы упругости. Зависимость fх от х линейная, поэтому график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
Источник
Физика, 10 класс
Урок 9. Закон Гука
Перечень вопросов, рассматриваемых на этом уроке
1.Закона Гука.
2.Модели видов деформаций.
3. Вычисление и измерение силы упругости, жёсткости и удлинение пружины.
Глоссарий по теме
Сила упругости – это сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное положение.
Деформация – изменение формы или размеров тела, происходящее из-за неодинакового смещения различных частей одного и того же тела в результате воздействия другого тела. Виды деформаций: сжатие, растяжение, изгиб, сдвиг, кручение.
Закон Гука – сила упругости, возникающая при деформации тела (растяжение или сжатие пружины), пропорциональна удлинению тела (пружины), и направлена в сторону противоположную направлению перемещений частиц тела
Основная и дополнительная литература по теме:
Г.Я. Мякишев., Б.Б.Буховцев., Н.Н.Сотский. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017стр. 107-112
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11класс.- М.:Дрофа,2009. Стр 28-29
ЕГЭ 2017. Физика. 1000 задач с ответами и решениями. Демидова М.Ю., Грибов В.А., Гиголо А.И. М.: Экзамен, 2017.
Основное содержание урока
В окружающем нас мире мы наблюдаем, как различные силы заставляют тела двигаться, делать прыжки, перемещаться, взаимодействовать.
Однако можно также наблюдать как происходят разрушения, так называемые деформации, различных сооружений: мостов, домов, разнообразных машин.
Что необходимо знать инженеру конструктору, строителю, чтобы строить надёжные сооружения: дома, мосты, машины?
Почему деформации различны, какие виды деформации могут быть у конкретных тел? Почему одни тела после деформации могут восстановиться, а другие нет? От чего зависит и можно ли рассчитать величину этих деформаций?
Деформация — это изменение формы или размеров тела, в результате воздействия на него другого тела.
Почему деформации не одинаковы у различных тел, если мы их, к примеру, сжимаем? Давайте вспомним что мы знаем о строении вещества.
Все вещества состоят из частиц. Между этими частицами существуют силы взаимодействия- эти силы электромагнитной природы. Эти силы в зависимости от расстояний между частицами проявляются, то как силы притяжения, то как силы отталкивания.
Сила упругости – сила, возникающая при деформации любых тел, а также при сжатии жидкостей и газов. Она противодействует изменению формы тел.
Мы можем наблюдать несколько видов деформаций: сжатие, растяжение, изгиб, сдвиг, кручение.
При деформации растяжения межмолекулярные расстояния увеличиваются. Такую деформацию испытывают струны в музыкальных инструментах, различные нити, тросы, буксирные тросы.
При деформации сжатия межмолекулярные расстояния уменьшаются. Под такой деформацией находятся стены, фундаменты сооружений и зданий.
При деформации изгиба происходят неординарные изменения, одни межмолекулярные слои увеличиваются, а другие уменьшаются. Такие деформации испытывают перекрытия в зданиях и мостах.
При кручении – происходят повороты одних молекулярных слоёв относительно других. Эту деформацию испытывают: валы, витки цилиндрических пружин, столярный бур, свёрла по металлу, валы при бурении нефтяных скважин. Деформация среза тоже является разновидностью деформации сдвига.
Первое научное исследование упругого растяжения и сжатия вещества провёл английский учёный Роберт Гук.
Роберт Гук установил, что при малых деформациях растяжения или сжатия тела абсолютное удлинение тела прямо пропорционально деформирующей силе.
F упр = k ·Δℓ = k · Iℓ−ℓ0I закон Гука.
k− коэффициент пропорциональности, жёсткость тела.
ℓ0 — начальная длина.
ℓ — конечная длина после деформации.
Δℓ = I ℓ−ℓ₀ I- абсолютное удлинение пружины.
— единица измерения жёсткости в системе СИ.
При больших деформациях изменение длины перестаёт быть прямо пропорциональным приложенной силе, а слишком большие деформации разрушают тело.
Для расчёта движения тел под действием силы упругости, нужно учитывать направление этой силы. Если принять за начало отсчёта крайнюю точку недеформированного тела, то абсолютное удлинение тела можно характеризовать конечной координатой деформированного тела. При растяжении и сжатии сила упругости направлена противоположно смещению его конца.
Закон Гука можно записать для проекции силы упругости на выбранную координатную ось в виде:
F упр x = − kx — закона Гука.
k – коэффициент пропорциональности, жёсткость тела.
x = Δℓ = ℓ−ℓ0 удлинение тела (пружины, резины, шнура, нити….)
Fупр x = − kx
Закон Гука:
Fупр = k·Δℓ = k · Iℓ−ℓ0I
Графиком зависимости модуля силы упругости от абсолютного удлинения тела является прямая, угол наклона которой к оси абсцисс зависит от коэффициента жёсткости k. Если прямая идёт круче к оси силы упругости, то коэффициент жёсткости этого тела больше, если же уклон прямой идёт ближе к оси абсолютного удлинения, следует понимать, что жёсткость тела меньше.
График, зависимости проекции силы упругости на ось ОХ, того же тела от значения х.
Необходимо помнить, что закон Гука хорошо выполняется при только при малых деформациях. При больших деформациях изменение длины перестаёт быть прямо пропорциональным приложенной силе.
Разбор тренировочных заданий
1. По результатам исследования построен график зависимости модуля силы упругости пружины от её деформации. Чему равна жёсткость пружины? Каким будет удлинение этой пружины при подвешивании груза массой 2кг?
Решение: По графику идёт линейная зависимость модуля силы упругости и удлинение пружины. Зависимость физических величин по Закону Гука:
F упр x = − kx (1)
Fупр =k·Δℓ = k · Iℓ−ℓ0I (2)
Из формулы (1) выражаем:
Зная что Fт = mg = 20 Н, Fт = Fупр= k·Δℓ следовательно
Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м, удлинение пружины равно 0,1м.
2. К системе из кубика массой 1 кг и двух пружин приложена постоянная горизонтальная сила. Система покоится. Между кубиком и опорой трения нет. Левый край первой пружины прикреплён к стенке. Удлинение первой пружины 0,05 м. Жёсткость первой пружины равна 200 Н/м. Удлинение второй пружины 0,25 м.
- Чему равна приложенная к системе сила?
- Чему равна жёсткость второй пружины?
- Во сколько раз жёсткость второй пружины меньше чем первой?
Решение:
1. По условию задачи система находится в покое. Зная жёсткость и удлинение пружины найдём силу, которая уравновешивает приложенную постоянную горизонтальную силу.
F = F упр =k1·Δℓ1= 200 Н/м·0,05 м = 10 Н
2. Жёсткость второй пружины:
3. k1/ k2 = 200/40 = 5
Ответ: F=10 Н; k2 = 40 Н/м; k1/k2 = 5.
Источник
Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между усилиями и соответствующими им упругими деформациями.
Закон был открыт в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.
Проведя серию экспериментов с растяжением и сжатием пружин, Гук заметил, что изменение их длины прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) их силе.
Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».
Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины, в которой рассматривается зависимость деформаций от усилий.
Подробнее про закон Гука смотрите в нашем видео:
Закон Гука в физике
В современных учебниках физики Закон Гука имеет вид:
и формулируется следующим образом:
«При малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения его частиц»
Коэффициент k характеризует жесткость образца и зависит от его размеров и материала.
Например, для стержней, работающих на растяжение или сжатие, он может быть рассчитан по формуле:
где:
E – Модуль упругости I рода (модуль Юнга);
A – Площадь поперечного сечения бруса;
l – Длина стержня.
Знак минус означает, что силы упругого сопротивления направлены обратно растягивающей силе.
Закон Гука в сопромате
В технической механике и сопротивлении материалов в частности закон Гука гласит: «До определенного момента, называемого пределом пропорциональности, упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям».
Здесь:
σ — Нормальные напряжения в сечении;
ε — Относительные продольные деформации.
Рассмотрим преобразование физической формы закона к его механическому виду.
Подставим вместо коэффициента k его выражение
Отношение продольной силы F к площади поперечного сечения A в левой части дает нормальные напряжения в сечении
Отношение абсолютных деформаций к начальной длине образца – это относительное изменение его длины
В таком виде закон Гука используется в сопромате и технической механике.
Закон выполняется только для напряжений не превышающих предела пропорциональности.
При растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии закон Гука можно получить, вернув в его канонический вид геометрические параметры стержня (длину и площадь поперечного сечения), и записав получившееся выражение относительно линейной деформации:
Здесь
Δl- Абсолютная деформация стержня;
F — Продольная сила;
l — Длина стержня до нагружения;
E – Модуль продольной упругости материала;
A – Площадь поперечного сечения стержня.
При изгибе
При изгибе закон устанавливает зависимость между кривизной продольной оси и величиной изгибающего момента в соответствующем сечении балки.
где:
ρ — Радиус кривизны продольной оси балки в данном сечении;
M — Величина соответствующего внутреннего изгибающего момента;
E – Модуль Юнга;
Ix — Осевой момент инерции поперечного сечения балки.
Обобщенный закон Гука
Для общего случая нагружения изотропных материалов, когда напряженное состояние отличается от линейного (одноосного) применяется закон Гука в обобщённом виде.
ε — Относительные деформации вдоль соответствующих осей;
ν — Коэффициент Пуассона;
σ — Нормальные напряжения по соответствующим площадкам элемента.
Потому что деформации в поперечных направлениях тоже влияют на изменение продольных размеров.
Для чистого сдвига
γ — Угловое перемещение соответствующей площадки элемента;
τ — Касательные напряжения;
G — Модуль упругости II рода (модуль сдвига).
Испытание на растяжение >>
Диаграмма напряжений >>
Источник