Задачи на прочность при растяжении
2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].
Источник
Сопротивление материалов
Решение задач на растяжение и сжатие
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.
Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:
s = σпред / σ,
где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.
Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:
[σ] = σпред / [s].
Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:
σmax≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].
Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σр] и [σс].
Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:
σ = N / А ≤ [σ]
и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.
На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:
— проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
— проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.
***
Растяжение под действием собственного веса
Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия. 
Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:
Σ Z = 0; Nz — Gz = 0, откуда:
Nz = Gz = γ А z,
где γ — удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.
Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:
σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,
т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:
σmax = γ l.
Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:
lпр = [σ] / γ.
***
Статически неопределимые задачи
Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.
Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.
Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2). 
При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.
Составим для стержня уравнение равновесия:
Σ Z = 0; RС — RВ = 0,
откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:
N = RС = RВ.
Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:
Δlt = ΔlСВ
т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.
Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α — коэффициент линейного расширения стержня.
Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).
Приравняв правые части равенств, получим:
αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.
Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.
***
Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:
- Примеры решения задач по сопромату.
- Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
- Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.
Срез
Правильные ответы на вопросы Теста № 6
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
Источник
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
При растяжении сжатии в поперечных сечениях возникает только нормальное напряжение:
где, А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (сжатии):
Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:
1. Проверять прочность стержня 5%;
2. Определять размеры поперечного сечения стержня (основная задача СМ):
3. Определять величину допускаемой продольной силы:
Расчеты на прочность.
В некоторых случаях работоспособность конструкции определяется величиной предельной деформации [Δl]:
где: Е – модуль продольной упругости.
Это неравенство называют условием жесткости, а расчеты – расчетами на жесткость.
Сдвиг
Сдвигомназывается такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – поперечная силаFy (Qy).
Если нагрузить брус, как показано на рисунке, то при определенной величине сил F произойдет срез – разделение бруса на 2 части по сечению АВ.
Касательные напряжения при срезе определяются соотношением:
где А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при срезе:
где [t] — допускаемое напряжение при срезе принимается:
[t] = (0,5÷0,6)·[σ]Р — для пластичных материалов;
[t] = (0,7÷0,9)·[σ]Р — для хрупких материалов.
На срез рассчитываются заклепочные, сварные, шпоночные и шлицевые соединения.
Кручение
Стержень, работающий на кручение называется валом.
Кручением называется такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – крутящий момент MZ (ТК). Его величину определяют методом сечений. Крутящий момент является моментом внутренних сил упругости и численно равен моменту внешних сил, действующих по одну сторону сечения.
Правило знаков для крутящих моментов представлено на плакате.
Наглядное представление о величине MZ в любом сечении вала дают эпюры крутящих моментов.
Определим крутящие моменты в нашем примере методом сечений от свободного конца:
— делаем сечение на первом участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа внешних моментов нет следовательно крутящий момент равен нулю.
— делаем сечение на втором участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент 2М. Следовательно крутящий момент в сечении на втором участке равен 2М, со знаком минус, согласно правила знаков
МZ = – 2М.
— делаем сечение на третьем участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент –2М и +3М. Следовательно крутящий момент в сечении на третьем участке равен 1М, со знаком плюс МZ = +М.
По полученным результатам строим эпюру МZ – график изменения крутящего момента вдоль вала.
На эпюрах моментов в местах приложения сосредоточенных моментов имеются скачки равные этим моментам.
Величина MZ в сечении заделки равна MR – моменту реакции заделки.
При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
В центре тяжести τ = 0 и Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:
где — полярный момент момент сопротивления при кручении:
для круга: Wρ ≈ 0,2·d3
для кольца: Wρ ≈ 0,2·D3(1-с4), где с=d/D;
для квадрата:WК = 0,208 f, где f – сторона квадрата.
Условие прочности при кручении:
Допускаемые напряжения при кручении:
[τ] = (0,5…0,7)·[σ]р.
Допускаемый крутящий момент:
[MZ]=Wρ·[τ]
Определение размеров сечения при кручении:
Диаметр круглого вала:
Изгиб
Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержня, при котором происходит искривление продольной оси стержня под действием внешних сил.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Балка, заделанная одним концом, называется консолью.
Если в поперечном сечении возникает только один ВСФ – изгибающий момент МИ (МХ или MY) – изгиб называют чистым. Если вместе с изгибающим моментом возникает поперечная сила Fy (QX или QY) – изгиб называют поперечным.
При изгибе к внешним силам относят: сосредоточенные и распределенные по длине силы, пары сил – моменты и силы реакции опор.
Последние находят из уравнений статики. Исходная схема заменяется расчетной, где опоры заменены силами – реакциями опор.
Для расчетной схемы составляются уравнения равновесия, из которых находят силы реакций опор. Рассмотрим пример.
Знак y означает, что реакция в точке В направлена в противоположную сторону. Меняем направление реакции в
точке В. FB= 0.5 кН
Направление реакции верно.
Обязательная проверка:
∑Fу= – F+ FА- q·b – FB=0
-1+3,5+2·1- 0,5=0 0=0
Реакции опор определены верно.
Внутренние силовые факторы при изгибе – изгибающий моментМИ (МХ) и поперечную силу Q (Fy) определяют методом сечений.
Поперечная сила Fx,Fy(Q) есть равнодействующая внутренних сил упругости действующих в плоскости поперечного сечения. Она равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных перпендикулярно к балке по одну сторону сечения.
Изгибающий момент МХ, МУ есть момент внутренних сил упругости. Он численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения. Он считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх.
Правило знаков.
Наглядное представление о характере изменения ВСФ по длине балки дают эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определим Fy и МХ в нашем примере и построим их эпюры. Балка имеет 3 характерных участка:
Первый участок: 0≤Z1≤ a
Fy= — F = — 1 кН
MX= — F·Z1
Z1=0 MX=0
Z1=a MX= – F·a= – 1 кН·м.
Второй участок: а≤Z2≤ a+в
Fy= — F+ FА – q·(Z2 — a);
MX= — F·Z2 +FA·( Z2 — a) – q·(Z2 — a)2/2;
Z2=а Fy= – F+ FА =2,5 кН;
MX= – FA ·a= – 1 кН·м;
Z2=а+в Fy= – F+ FА – q·в=0,5 кН;
MX= – F·(а + в) +FA·в – q·в2/2=0,5 кН·м.
Третий участок рассмотрим справа налево, т.к. метод сечений рекомендует рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше внешних сил.
Третий участок: 0≤Z3≤ с (оси сил расположены противоположно)
Fy= FВ = 0,5 кН;
MX= — FВ·Z3
Z3=0 MX=0
Z3=с MX= — FВ·с= — 0,5 кН·м.
По полученным значениям строим эпюры Fy и МХ.
Построение эпюр Fy и МХ позволяет определить напряжения в любом сечении балки. Поперечная сила складывается из элементарных касательных напряжений, а изгибающий момент – из элементарных нормальных напряжений.
Наиболее опасными являются нормальные напряжения при изгибе.
ПЛАКАТ 21
При изгибе волокна на вогнутой стороне укорачиваются – сжимаются, а на выпуклой стороне удлиняются – растягиваются. Между ними существует слой который остается исходной длины – его называют нейтральным слоем;
На нейтральном слое σ = 0. Наибольшие напряжения будут в поверхностных слоях:
где – осевой момент сопротивления или момент сопротивления сечения изгибу.
Для круга:
Для прямоугольника:
Для прокатных сечений значение WX дано в сортаменте.
Условие прочности при изгибе:
При проектном расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения через момент сопротивления:
Для круглого сечения WX=0,1·d3.
Теории прочности
При объемном напряженном состоянии существуют площадки, по которым действуют только нормальные напряжения. Эти напряжения называют главными:
При объемном напряженном состоянии, опыт не может дать однозначный ответ на вопрос «Какое из трех главных напряжений, или какое их сочетание вызывает нарушение прочности – разрушение или текучесть».
Поэтому для составления условий прочности приходится прибегать к гипотезам о причинах нарушения прочности.
Суть применения теорий прочности для оценки прочности материала, заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием.
I теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшее из главных напряжений:
σmax = σ1 ≤ [σ]
II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшая относительная деформация.
εmax ≤ [ε]
Учитывая, что , получаем:
III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является сдвиг, вызванный касательными напряжениями, при этом условие прочности:
τmax ≤ [τ]
учитывая что:
получим:
σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ]
Для плоского напряженного состояния :
ПЛАКАТ 24
IV теория прочности – энергетическая теория прочности.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является потенциальная энергия упругой деформации, накапливающаяся в единице объема материала. Условие прочности имеет вид:
U ≤ [U]
Выразив U и [U] через главные напряжения, получим:
Для плоского напряженного состояния:
V теория прочности – теория прочности Мора.
Условие прочности:
σэкв=σ1 – k·σ3≤[σ]
где
В настоящее время, в практических расчетах используют:
для пластичных материалов – III и IV теории прочности;
для хрупких материалов – теорию прочности Мора.
Источник