Задача на растяжение нити

Понятие силы натяжения нити

Пусть тело прикреплено к нити, тогда силой натяжения нити называют силу, действующую на рассматриваемое тело, равную по величине и противоположную по направлению равнодействующей, приложенной к нити. Силу натяжения нити обозначают по-разному, чаще всего: $overline{N}$, $overline{T}, overline{F}$. Если равнодействующую, приложенную к нити обозначить как $overline{R}$, то в соответствии с третьим законом Ньютона имеем:

[overline{N}=-overline{R}left(1right).]

Сила натяжения нити является реакцией подвеса (нити), на действие со стороны тела на подвес. Сила натяжения нити всегда имеет направление вдоль нити.

Очень часто при решении задач указывают, что нить является невесомой (массой нити в сравнении с массой груза можно пренебречь). Если нить невесома и нерастяжима, то такую нить рассматривают как проводник силы.

Если следует учитывать растяжение нити, при этом нагрузки малы, а нить упругая, то при вычислении силы натяжения используют закон Гука:

[overline{N}={overline{F}}_u=kDelta overline{l}left(2right),]

где ${overline{F}}_u$ — сила упругости нити;$ k$ — коэффициент упругости нити; $Delta l$ — удлинение нити.

Единицей измерения силы натяжения нити в Международной системе единиц (СИ) (как и для любой другой силы) является ньютон:

[left[Nright]=H=frac{кгcdot м}{с^2}.]

Примеры задач на силу натяжения нити

Пример 1

Задание. Какой будет сила натяжения нерастяжимой нити, связывающей два груза находящихся на горизонтальной гладкой поверхности (рис.1), если массы грузов равны $m_1$ и $m_2. $К одному из грузов приложена горизонтальная сила $F.$ Трение брусков о поверхность не учитывать. Нить считать невесомой.

Сила натяжения нити, пример 1

Решение. Рассмотрим силы, которые приложены к первому грузу, запишем второй закон Ньютона для этого тела:

[overline{F}+m_1overline{g}+{overline{N}}_1+{overline{T}}_1=m_1overline{a}left(1.1right),]

$m_1overline{g}$ — сила тяжести, действующая на первый груз; ${overline{N}}_1$ — сила реакции горизонтальной опоры; ${overline{T}}_1$ — сила натяжения нити.

Проектируя на оси X и Y уравнение (1.1) получаем:

[left{ begin{array}{c}
X:F-T_1=m_1aleft(1.2right). \
m_1g=N_1left(1.3right). end{array}
right.]

Рассмотрим силы, действующие на второй груз, запишем второй закон Ньютона для этих сил:

[overline{F}+m_2overline{g}+{overline{N}}_2+{overline{T}}_2=m_2overline{a}left(1.4right).]

В проекциях на оси X и Y получаем систему уравнений:

[left{ begin{array}{c}
X:T_2=m_2aleft(1.5right). \
m_2g=N_2left(1.6right). end{array}
right.]

Так как нить считаем невесомой, то имеем:

[T_1=T_2=Tleft(1.7right).]

Из уравнения (1.5) выразим ускорение и подставим его в (1.2)получим величину силы натяжения нити:

[F-T=m_1frac{T}{m_2}to T=frac{Fm_2}{m_1+m_2}.]

Ответ. $T=frac{Fm_2}{m_1+m_2}$

Пример 2

Задание. К нерастяжимой нити подвешен массивный шарик. Шарик подняли так, что нить приняла горизонтальное положение, затем шарик отпустили. Какова сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия? Какой угол составляет нить с вертикалью, если сила натяжения равна силе тяжести, действующая на шарик?

Решение. Сделаем рисунок.

Сила натяжения нити, пример 2

1) Силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия (положение А на рис.2): сила тяжести и сила натяжения нити. Для них запишем второй закон Ньютона:

[moverline{g}+overline{N}=moverline{a}left(2.1right).]

Запишем проекцию выражения (2.1) на ось Y:

[N-mg=ma_nleft(2.2right),]

где шарик движется с центростремительным ускорением, равным:

[a_n=frac{v^2}{l}left(2.3right),]

$l$ — длина нити; $v$ — величина скорости движения шарика в точке А.

Скорость $v$ найдем из закона сохранения энергии (см. рис.2 $h=l$), который запишем для положений B (максимальная потенциальная энергия шара) и A (максимальная кинетическая энергия шара):

[mgl=mfrac{v^2}{2}to v^2=2gl left(2.4right).]

Выразим силу натяжения нити из (2.2), подставим найденное ускорение, учитывая (2.4):

[N=mg-mfrac{v^2}{l}=mg+mfrac{2gl}{l}=3mg.]

Сила натяжения нити, пример 3

Ось Y направим по нити, ось X перпендикулярно оси Y (рис.3).

Запишем проекцию уравнения (2.1) на новую ось Y:

[N-mg{cos alpha }=ma_{n }left(2.5right).]

Выразим силу натяжения нити:

[N=ma_{n }+mg{cos alpha }left(2.6right).]

Учитывая (2.3), получим:

[N=mfrac{v^2}{l}+mg{cos alpha }left(2.7right).]

Потенциальная энергия шарика в положении C равна $E_p=mgl{cos alpha }$, она переходит полностью в кинетическую энергию положения А ($E_k=mfrac{v^2}{2}$):

[mfrac{v^2}{2}=mgl{cos alpha }left(2.8right).]

Из (2.6) выразим $v^2$, имеем:

[v^2=2gl{cos alpha }left(2.9right).]

Подставим результат (2.9) в формулу (2.7), получили:

[N=mfrac{2gl{cos alpha }}{l}+mg{cos alpha } left(2.10right).]

Приравниваем по условию силу натяжения нити к силе тяжести, выражаем величину угла:

[mg=mfrac{2gl{cos alpha }}{l}+mg{cos alpha }to 1=3{cos alpha to alpha =arc{cos frac{1}{3} } }.]

Ответ. 1) $N=3mg$. 2) $alpha =arc{cos frac{1}{3} }$

Читать дальше: сообщающиеся сосуды.

Источник

В физике, сила натяжения — это сила, действующая на веревку, шнур, кабель или похожий объект или группу объектов. Все, что натянуто, подвешено, поддерживается или качается на веревке, шнуре, кабеле и так далее, является объектом силы натяжения. Подобно всем силам, натяжение может ускорять объекты или становиться причиной их деформации. Умение рассчитывать силу натяжения является важным навыком не только для студентов физического факультета, но и для инженеров, архитекторов; те, кто строит устойчивые дома, должны знать, выдержит ли определенная веревка или кабель силу натяжения от веса объекта так, чтобы они не проседали и не разрушались. Приступайте к чтению статьи, чтобы научиться рассчитывать силу натяжения в некоторых физических системах.

Определение силы натяжения на одной нити

1
Определите силы на каждом из концов нити. Сила натяжения данной нити, веревки является результатом сил, натягивающих веревку с каждого конца. Напоминаем, сила = масса × ускорение. Предполагая, что веревка натянута туго, любое изменение ускорения или массы объекта, подвешенного на веревке, приведет к изменению силы натяжения в самой веревке. Не забывайте о постоянном ускорении силы тяжести — даже если система находится в покое, ее составляющие являются объектами действия силы тяжести. Мы можем предположить, что сила натяжения данной веревки это T = (m × g) + (m × a), где «g» — это ускорение силы тяжести любого из объектов, поддерживаемых веревкой, и «а» — это любое другое ускорение, действующее на объекты.
- Для решения множества физических задач, мы предполагаем идеальную веревку — другими словами, наша веревка тонкая, не обладает массой и не может растягиваться или рваться.
- Для примера, давайте рассмотрим систему, в которой груз подвешен к деревянной балке с помощью одной веревки (смотрите на изображение). Ни сам груз, ни веревка не двигаются — система находится в покое. Вследствие этого, нам известно, чтобы груз находился в равновесии, сила натяжения должна быть равна силе тяжести. Другими словами, Сила натяжения (Ft) = Сила тяжести (Fg) = m × g.
  - Предположим, что груз имеет массу 10 кг, следовательно, сила натяжения равна 10 кг × 9,8 м/с2 = 98 Ньютонов.
2
Учитывайте ускорение. Сила тяжести — не единственная сила, что может влиять на силу натяжения веревки — такое же действие производит любая сила, приложенная к объекту на веревке с ускорением. Если, к примеру, подвешенный на веревке или кабеле объект ускоряется под действием силы, то сила ускорения (масса × ускорение) добавляется к силе натяжения, образованной весом этого объекта.
- Предположим, что в нашем примере на веревку подвешен груз 10 кг, и вместо того, чтобы быть прикрепленным к деревянной балке, его тянут вверх с ускорением 1 м/с2. В этом случае, нам необходимо учесть ускорение груза, также как и ускорение силы тяжести, следующим образом:
  - Ft = Fg + m × a
  - Ft = 98 + 10 кг × 1 м/с2
  - Ft = 108 Ньютонов.
3
Учитывайте угловое ускорение. Объект на веревке, вращающийся вокруг точки, которая считается центром (как маятник), оказывает натяжение на веревку посредством центробежной силы. Центробежная сила — дополнительная сила натяжения, которую вызывает веревка, «толкая» ее внутрь так, чтобы груз продолжал двигаться по дуге, а не по прямой. Чем быстрее движется объект, тем больше центробежная сила. Центробежная сила (Fc) равна m × v2/r где «m»– это масса, «v» — это скорость, и «r» — радиус окружности, по которой движется груз.
- Так как направление и значение центробежной силы меняются в зависимости от того, как объект движется и меняет свою скорость, то полное натяжение веревки всегда параллельно веревке в центральной точке. Запомните, что сила притяжения постоянно действует на объект и тянет его вниз. Так что, если объект раскачивается вертикально, полное натяжение сильнее всего в нижней точке дуги (для маятника это называется точкой равновесия), когда объект достигает максимальной скорости, и слабее всего в верхней точке дуги, когда объект замедляется.
- Давайте предположим, что в нашем примере объект больше не ускоряется вверх, а раскачивается как маятник. Пусть наша веревка будет длиной 1,5 м, а наш груз движется со скоростью 2 м/с, при прохождении через нижнюю точку размаха. Если нам нужно рассчитать силу натяжения в нижней точке дуги, когда она наибольшая, то сначала надо выяснить равное ли давление силы тяжести испытывает груз в этой точке, как и при состоянии покоя — 98 Ньютонов. Чтобы найти дополнительную центробежную силу, нам необходимо решить следующее:
  - Fc = m × v2/r
  - Fc = 10 × 22/1.5
  - Fc =10 × 2,67 = 26,7 Ньютонов.
  - Таким образом, полное натяжение будет 98 + 26,7 = 124,7 Ньютона.
4
Учтите, что сила натяжения благодаря силе тяжести меняется по мере прохождения груза по дуге. Как было отмечено выше, направление и величина центробежной силы меняются по мере того, как качается объект. В любом случае, хотя сила тяжести и остается постоянной, результирующая сила натяжения в результате тяжести тоже меняется. Когда качающийся объект находится не в нижней точке дуги (точке равновесия), сила тяжести тянет его вниз, но сила натяжения тянет его вверх под углом. По этой причине сила натяжения должна противодействовать части силы тяжести, а не всей ее полноте.
- Разделение силы гравитации на два вектора сможет помочь вам визуально изобразить это состояние. В любой точке дуги вертикально раскачивающегося объекта, веревка составляет угол «θ» с линией, проходящей через точку равновесия и центр вращения. Как только маятник начинает раскачиваться, сила гравитации (m × g) разбивается на 2 вектора — mgsin(θ), действуя по касательной к дуге в направлении точки равновесия и mgcos(θ), действуя параллельно силе натяжения, но в противоположном направлении. Натяжение может только противостоять mgcos(θ) — силе, направленной против нее — не всей силе тяготения (исключая точку равновесия, где все силы одинаковы).
- Давайте предположим, что, когда маятник отклоняется на угол 15 градусов от вертикали, он движется со скоростью 1,5 м/с. Мы найдем силу натяжения следующими действиями:
  - Отношение силы натяжения к силе тяготения (Tg) = 98cos(15) = 98(0,96) = 94,08 Ньютона
  - Центробежная сила (Fc) = 10 × 1,52/1,5 = 10 × 1,5 = 15 Ньютонов
  - Полное натяжение = Tg + Fc = 94,08 + 15 = 109,08 Ньютонов.
5
Рассчитайте трение. Любой объект, который тянется веревкой и испытывает силу «торможения» от трения другого объекта (или жидкости), передает это воздействие натяжению в веревке. Сила трения между двумя объектами рассчитывается также, как и в любой другой ситуации — по следующему уравнению: Сила трения (обычно пишется как Fr) = (mu)N, где mu — это коэффициент силы трения между объектами и N — обычная сила взаимодействия между объектами, или та сила, с которой они давят друг на друга. Отметим, что трение покоя — это трение, которое возникает в результате попытки привести объект, находящийся в покое, в движение — отличается от трения движения — трения, возникающего в результате попытки заставить движущийся объект продолжать движение.
- Давайте предположим, что наш груз в 10 кг больше не раскачивается, теперь его буксируют по горизонтальной плоскости с помощью веревки. Предположим, что коэффициент трения движения земли равен 0,5 и наш груз движется с постоянной скоростью, но нам нужно придать ему ускорение 1м/с2. Эта проблема представляет два важных изменения — первое, нам больше не нужно рассчитывать силу натяжения по отношению к силе тяжести, так как наша веревка не удерживает груз на весу. Второе, нам придется рассчитать натяжение, обусловленное трением, также как и вызванное ускорением массы груза. Нам нужно решить следующее:
  - Обычная сила (N) = 10 кг & × 9,8 (ускорение силы тяжести) = 98 N
  - Сила трения движения (Fr) = 0,5 × 98 N = 49 Ньютонов
  - Сила ускорения (Fa) = 10 kg × 1 м/с2 = 10 Ньютонов
  - Общее натяжение = Fr + Fa = 49 + 10 = 59 Ньютонов.

Расчет силы натяжения на нескольких нитях

1
Поднимите вертикальные параллельные грузы с помощью блока. Блоки — это простые механизмы, состоящие из подвесного диска, что позволяет менять направление силы натяжения веревки. В простой конфигурации блока, веревка или кабель идет от подвешенного груза вверх к блоку, затем вниз к другому грузу, создавая тем самым два участка веревки или кабеля. В любом случае натяжение в каждом из участков будет одинаковым, даже если оба конца будут натягиваться силами разных величин. Для системы двух масс, подвешенных вертикально в блоке, сила натяжения равна 2g(m1)(m2)/(m2+m1), где «g» — ускорение силы тяжести, «m1» — масса первого объекта, «m2»– масса второго объекта.
- Отметим следующее, физические задачи предполагают, что блоки идеальны — не имеют массы, трения, они не ломаются, не деформируются и не отделяются от веревки, которая их поддерживает.
- Давайте предположим, что у нас есть два вертикально подвешенных на параллельных концах веревки груза. У одного груза масса 10 кг, а у второго — 5 кг. В этом случае, нам необходимо рассчитать следующее:
  - T = 2g(m1)(m2)/(m2+m1)
  - T = 2(9,8)(10)(5)/(5 + 10)
  - T = 19,6(50)/(15)
  - T = 980/15
  - T = 65,33 Ньютонов.
- Отметим, что, так как один груз тяжелее, все остальные элементы равны, эта система начнет ускоряться, следовательно, груз 10 кг будет двигаться вниз, заставляя второй груз идти вверх.
2
Подвесьте грузы, используя блоки с не параллельными вертикальными нитями. Блоки зачастую используются для того, чтобы направлять силу натяжения в направлении, отличном от направления вниз или вверх. Если, к примеру, груз подвешен вертикально к одному концу веревки, а другой конец держит груз в диагональной плоскости, то непараллельная система блоков принимает форму треугольника с углами в точках с первых грузом, вторым и самим блоком. В этом случае натяжение в веревке зависит как от силы тяжести, так и от составляющей силы натяжения, которая параллельна к диагональной части веревки.
- Давайте предположим, что у нас есть система с грузом в 10 кг (m1), подвешенным вертикально, соединенный с грузом в 5 кг(m2), расположенным на наклонной плоскости в 60 градусов (считается, что этот уклон не дает трения). Чтобы найти натяжение в веревке, самым легким путем будет сначала составить уравнения для сил, ускоряющих грузы. Далее действуем так:
  - Подвешенный груз тяжелее, здесь нет трения, так что мы знаем, что он ускоряется вниз. Натяжение в веревке тянет вверх, так что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = m1(g) — T, или 10(9,8) — T = 98 — T.
  - Мы знаем, что груз на наклонной плоскости ускоряется вверх. Так как она не имеет трения, мы знаем, что натяжение тянет груз вверх по плоскости, а вниз его тянет только свой собственный вес. Составляющая силы, тянущей вниз по наклонной, вычисляется как mgsin(θ), так что в нашем случае мы можем заключить, что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = T — m2(g)sin(60) = T — 5(9,8)(0,87) = T — 42,14.
  - Если мы приравняем эти два уравнения, то получится 98 — T = T — 42,14. Находим Т и получаем 2T = 140,14, или T = 70,07 Ньютонов.
3
Используйте несколько нитей, чтобы подвесить объект. В заключение, давайте представим, что объект подвешен на «Y-образной» системе веревок — две веревки закреплены на потолке и встречаются в центральной точке, из которой идет третья веревка с грузом. Сила натяжения третьей веревки очевидна — простое натяжение в результате действия силы тяжести или m(g). Натяжения на двух остальных веревках различаются и должны составлять в сумме силу, равную силе тяжести вверх в вертикальном положении и равны нулю в обоих горизонтальных направлениях, если предположить, что система находится в состоянии покоя. Натяжение в веревке зависит от массы подвешенных грузов и от угла, на который отклоняется от потолка каждая из веревок.
- Давайте предположим, что в нашей Y-образной системе нижний груз имеет массу 10 кг и подвешен на двух веревках, угол одной из которых составляет с потолком 30 градусов, а угол второй — 60 градусов. Если нам нужно найти натяжение в каждой из веревок, нам понадобится рассчитать горизонтальную и вертикальную составляющие натяжения. Чтобы найти T1 (натяжение в той веревке, наклон которой 30 градусов) и T2 (натяжение в той веревке, наклон которой 60 градусов), нужно решить:
  - Согласно законам тригонометрии, отношение между T = m(g) и T1 и T2 равно косинусу угла между каждой из веревок и потолком. Для T1, cos(30) = 0,87, как для T2, cos(60) = 0,5
  - Умножьте натяжение в нижней веревке (T=mg) на косинус каждого угла, чтобы найти T1 и T2.
  - T1 = 0,87 × m(g) = 0,87 × 10(9,8) = 85,26 Ньютонов.
  - T2 =0,5 × m(g) = 0,5 × 10(9,8) = 49 Ньютонов.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 219 859 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Силой натяжения называют ту, что действует на объект, сравнимый с проволокой, шнуром, кабелем, ниткой и так далее. Это могут быть несколько объектов сразу, в таком случае сила натяжения будет действовать на них и необязательно равномерно. Объектом натяжения называют любой предмет, подвешенный на все вышеперечисленное. Но кому это нужно знать? Несмотря на специфичность информации, она может пригодиться даже в бытовых ситуациях.

Например, при ремонте дома или квартиры. Ну и, конечно же, всем людям, чья профессия связана с расчетами:

инженерам;
архитекторам;
проектировщикам и пр.

Натяжения нити и подобных объектов

А зачем им это знать и какая от этого практическая польза? В случае с инженерами и конструкторами знания о мощи натяжения позволят создавать устойчивые конструкции. Это означает, что сооружения, техника и прочие конструкции смогут дольше сохранять свою целостность и прочность. Условно, эти расчеты и знания можно разделить на 5 основных пунктов, чтобы в полной мере понять, о чем идет речь.

Кому нужно знать силу натяжения нити

1 Этап

Задача: определить силу натяжения на каждом из концов нити. Эту ситуацию можно рассматривать как результат воздействия сил на каждый конец нити. Она равняется массе, помноженной на ускорение свободного падения. Предположим, что нить натянута туго. Тогда любые воздействия на объект приведет к изменению натяжения (в самой нити). Но даже при отсутствии активных действий, по умолчанию будет действовать сила притяжения. Итак, подставим формулу: Т=м*g+м*а, где g – ускорение падения (в данном случае подвешенного объекта), а – любое иное ускорение, действующее извне.

Есть множество сторонних факторов, влияющих на расчеты – вес нити, ее кривизна и так далее. Для простых расчетов это мы не будем пока что учитывать. Иными словами – пусть нить будет идеальна с математической точки зрения и «без изъянов».

Возьмем «живой» пример. На балке подвешена прочная нить с грузом в 2 кг. При этом отсутствует ветер, покачивания и прочие факторы, так или иначе влияющие на наши расчеты. Тогда мощь натяжения равна силе тяжести. В формуле это можно выразить так: Fн=Fт=м*g, в нашем случае это 9,8*2=19,6 ньютона.

2 Этап

Заключается он в вопросе об ускорении. К уже имеющейся ситуации давайте добавим условие. Суть его в том, чтобы на нить действовало еще и ускорение. Возьмем пример попроще. Представим, что нашу балку теперь поднимают вверх со скоростью 3 м/с. Тогда, к натяжению прибавится ускорение груза и формула примет следующий вид: Fн=Fт+уск*м. Ориентируясь на прошлые расчеты получаем: Fн=19,6+3*2=25,6 ньютона.

3 Этап

Тут уже посложнее, так как речь идет об угловом вращении. Следует понимать, что при вращении объекта вертикально, сила, воздействующая на нить, будет намного больше в нижней точке. Но давайте возьмем пример с несколько меньшей амплитудой качания (по типу маятника). В этом случае для расчетов нужна формула: Fц=м* v²/r. Тут искомое значение обозначает дополнительную мощь натяжения, v – скорость вращения подвешенного груза, а r – радиус окружности, по которому вращается груз. Последнее значение фактически равняется длине нити, пускай она составляет 1,7 метра.

Итак, подставляя значения, находим центробежные данные: Fц=2*9/1,7=10,59 ньютона. А теперь, чтобы узнать полную силу натяжения нити, надо к имеющимся данным о состоянии покоя прибавить центробежную силу: 19,6+10,59=30,19 ньютона.

4 Этап

Следует учитывать меняющуюся силу натяжения по мере прохождения груза через дугу. Иными словами – независимо от постоянной величины притяжения, центробежная (результирующая) сила меняется по мере того, как качается подвешенный груз.

Чтобы лучше понять этот аспект, достаточно представить себе привязанный груз к веревке, которую можно свободно вращать вокруг балки, к которой она закреплена (как качели). Если веревку раскачать достаточно сильно, то в момент нахождения в верхнем положении сила притяжения будет действовать в «обратную» сторону относительно силы натяжения веревки. Иными словами – груз станет «легче», из-за чего ослабнет и натяжение на веревку.

Предположим, что маятник отклоняется на угол, равный двадцати градусам от вертикали и движется со скоростью 1,7 м/с. Сила притяжения (Fп) при этих параметрах будет равна 19,6*cos(20)=19,6*0,94=18,424 Н; центробежная сила (F ц=mv²/r)=2*1,7²/1,7=3,4 Н; ну а полное натяжение (Fпн) будет равняться Fп+ Fц=3,4+18,424=21,824 Н.

Нахождение по формуле силы натяжения нити

5 Этап

Его суть заключается в силе трения между грузом и другим объектом, что в совокупности косвенно влияет на натяжение веревки. Иначе говоря – сила трения способствует увеличению силы натяжения. Это хорошо видно на примере перемещения объектов по шершавой и гладкой поверхностях. В первом случае трение будет большим, поэтому и сдвигать предмет становится тяжелее.

Общее натяжение в данном случае вычисляется по формуле: Fн=Fтр+Fу, где Fтр – трение, а Fу – ускорение. Fтр=мкР, где мк – трение между объектами, а Р – сила взаимодействия между ними.

Чтобы лучше понять данный аспект, рассмотрим задачу. Допустим, у нас груз 2 кг и коэффициент трения равен 0,7 с ускорением движения 4м/с постоянной скорости. Теперь задействуем все формулы и получаем:

Сила взаимодействия — Р=2*9,8=19,6 ньютона.
Трение — Fтр=0,7*19,6=13,72 Н.
Ускорение — Fу=2*4=8 Н.
Общая сила натяжения — Fн=Fтр+Fу=13,72+8=21,72 ньютона.

Теперь вы знаете больше и можете сами находить и рассчитывать нужные значения. Конечно, для более точных расчетов нужно учитывать больше факторов, но для сдачи курсовой и реферата этих данных вполне достаточно.

Видео

Это видео поможет вам лучше разобраться в данной теме и запомнить ее.

Источник