Всестороннее растяжение и сжатие
Макеты страниц
Одностороннее растяжение и сжатие. Пусть цилиндрический стержень, имеющий длину I и площадь поперечного сечения подвергается действию силы направленной параллельно его оси, как показано на рис. 168.
Рис. 168.
Под действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину (если изменить направление сил на обратное, то длина не увеличивается, а уменьшается). Но это удлинение не может быть принято за характеристику
деформации. Ведь сила действует на каждую единицу длины стержня, поэтому общее удлинение будет зависеть от длины I и, таким образом, будет определяться не только действующим напряжением, но и первоначальной длиной образца.
В качестве величины деформации в данном случае необходимо избрать отношение удлинения к длине I, которое уже от I не зависит. Это отношение называется относительным удлинением стержня. Пользуясь такой характеристикой деформации одног стороннего, растяжения (сжатие означает только изменение знака деформации при изменении направления силы), мы можем записать закон Гука в виде: или
Величина называется модулем Юнга или модулем упругости и является одной из основных характеристик упругих свойств твердого тела. Его размерность совпадает с размерностью давления. 1
Иногда модуль Юнга определяют как величину напряжения, удваивающего длину растягиваемого образца. Это следует из того, что если положить в (это и означает, что. длина образца удваивается), то
Такое определение модуля Юнга носит отвлеченный характер, ибо в действительности линейная зависимость между деформацией и напряжением, выражаемая уравнением (123.1), наблюдается только при малых деформациях Не может быть и речи об удвоении длины образца твердого тела, ибо задолго до достижения такой деформации образец разрушится! Больше того, задолго до разрушения образца деформация его перестает линейно меняться с напряжением и, следовательно, само понятие модуля Юнга теряет смысл.
Уравнение (123.1) может быть записано и в другом виде:
Коэффициент К, равный обратной величине модуля Юнга, называется коэффициентом упругости (иногда его еще называют коэффициентом одностороннего растяжения). Из формулы (123.1а) видно, что он численно равен относительному удлинению стержня, которое создается напряжением, равным единице.
При одностороннем растяжении или сжатии изменяется не только длина стержня, но и его поперечные размеры, т. е. его радиус: при сжатии радиус увеличивается, при растяжении
уменьшается. Если и эту деформацию характеризовать относительным изменением радиуса то можно написать:
где коэффициент пропорциональности, который можно назвать модулем поперечного сжатия при продольном растяжении. Ясно, что между должна быть простая связь. Она выражается в том, что их отношение есть величина, постоянная для данного вещества:
Постоянная равная отношению поперечного и продольногс удлинений, называется коэффициентом Пуассона. Значением коэффициента Пуассона, очевидно, определяется изменение объема деформируемого образца.
Если бы объем тела не менялся при деформации, т. е. если бы изменение длины образца компенсировалось соответствующим изменением радиуса (для цилиндрического образца), то выполнялось бы равенство
Действительно, объем образца где радиус цилиндра, I — его длина. Изменение объема
Для того чтобы необходимо, чтобы было
откуда
В действительности для всех веществ коэффициент Пуассонг меньше 1/2 и близок к 0,30, т. е. объем тела при линейной дефор мации увеличивается (у пробки коэффициент Пуассона равен нулю)
Всестороннее растяжение и сжатие. Этот вид деформации, по характеру своему не отличающийся от только что рассмотренного возникает, когда сила, действующая на тело, распределена по веек его поверхности (рис. 169).
По тем же соображениям, которые были приведены раньше, в качестве величины деформации в данном случае нужно принять относительное изменение объема тела, т. е. величину По закону
Гука мы можем поэтому написать:
Постоянная представляет собой модуль всестороннего сжатия (или растяжения). Подобно модулю Юнга, он численно равен напряжению, изменяющему объем тела вдвое (иногда модуль называют еще модулем объемной деформации).
Рис. 169.
Напишем формулу (123.2) в виде:
Коэффициент равный обратной величине модуля всестороннего сжатия, называется коэффициентом всестороннего сжатия. Ясно, что этот коэффициент для твердых тел очень мал (порядка 10 в
Всестороннее растяжение или сжатие можно, очевидно, рассматривать как результат сложения трех деформаций одностороннего растяжения или сжатия (если они малы). Поэтому модули простым образом связаны между собой. Легко убедиться в том, что если коэффициент Пуассона равен нулю, то Оба модуля равны друг другу при
Рис. 170.
Деформация сдвига. Этот вид деформации возникает под действием сил, приложенных к двум диагонально противоположным граням тела (рис. 170). Такая система сил вызывает смещение плоских слоев, параллельных направлению сил, друг относительно друга. Из рисунка видно, что при этом крайние грани смещаются на некоторое расстояние Если первоначальная длина образца равна I, то величина деформации может характеризоваться отношением Так как это отношение при малом 1 равно где угол сдвига плоскостей, то мерой деформации принимается именно этот угол. Закон Гука может быть поэтому написан в виде:
где напряжение. Постоянная называется модулем сдвига. Измеряется он, так же как и другие модули упругих деформаций, в единицах давления.
Постоянная, обратная модулю сдвига, называется коэффициентом сдвига. Он численно равен углу сдвига, вызываемому напряжением, равным единице, в то время как модуль сдвига равен напряжению, вызывающему сдвиг на угол, равный одному радиану.
Как уже отмечалось, деформация сдвига не сопровождается изменением объема деформируемого тела.
Источник
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник
Лекция 4
Тема «Механические свойства полимеров»
«Основные виды деформации и количественные характеристики для их описания»
На полимерные изделия при их эксплуатации оказывают воздействие различные внешние поля: механические, тепловые, электрические, магнитные и т.д Откликом на эти воздействия являются соответственно механические, тепловые, электрические и магнитные свойства изделий.
Механические свойства отражают степень изменения структуры, размеров, формы тела при воздействии на него внешних механических сил.
В зависимости от величины и продолжительности воздействия механических сил полимерные материалы могут деформироваться или разрушаться. Поэтому у полимеров определяют
· Деформационные свойства и
· Прочностные свойства.
Деформационные свойства характеризуют способность полимерных материалов деформироваться под действием механических напряжений, а прочностные свойства отражают способность полимеров сопротивляться разрушению.
Деформацией тела называется изменение его размеров, объема и формы под влиянием внешнего механического воздействия, температуры или внутренних сил.
Различают следующие основные виды деформации тел:
· Растяжение и сжатие
· Деформация сдвига
· Всестороннее растяжение и сжатие
Растяжение и сжатие
Растяжение происходит под действием нормальных напряжений sн, приложенных перпендикулярно поверхности образца. При этом происходит продольное растяжение образца от первоначальной длины l0 до величины l и наблюдается абсолютное удлинение на величину D l = l — l0 . Относительное удлинение при этом обозначается как eпрод .Кроме тогопод действием нормальных растягивающих напряженийsн происходит поперечное сжатие образца, величина которого оценивается величиной eпопер. Относительное продольное удлинение образца eпрод рассчитывают по формуле: .Помимо eпрод часто определяют степень растяжения (относительную длину) образца l.Степень растяжения рассчитывают по формуле .Взаимосвязь между eпрод и l следующая : eпрод = l — 1.
Относительная длина показывает, во сколько раз удлинился образец, а относительное удлинение – на сколько удлинился образец.
Для деформации одноосного растяжения и сжатия справедлив закон Гука, имеющий вид: ,
где Е – коэффициент пропорциональности или модуль растяжения материала, который иначе называют модулем Юнга. Модуль Юнга Е численно равен такому напряжению sн, при котором относительное удлинение eпрод становится равным единице (eпрод =1). Тогда l =2.
Мерой поперечного сжатия материала при одноосном растяжении является безразмерная величина – коэффициент Пуассона m.Онравен .Легко показать, чтоесли объем деформируемого образца не меняется, то коэффициент Пуассона m =0,5. Такое явление наблюдается только при малых деформациях ненаполненных резин. Обычно для эластомеров m= 0,48¸0,49, а для пластмассm= 0,2¸0,4.
Второй возможный вид деформации тел – это деформация сдвига.
Деформация сдвига
При простом сдвиге деформирование тела происходит под действием тангенциальных (касательных) напряжений sТ, действующих на поверхность образца. Иногда в литературе величину касательного напряжения обозначают t. . При этом изменяется форма образца (прямоугольный параллелепипед трансформируется в параллелепипед с основанием в форме ромба), а объем остается постоянным (смотри рисунок). Величина деформации сдвига g определяется по формуле: . Модуль сдвигаG равен: или . (Модуль – это всегда коэффициент пропорциональности между величиной приложенного напряжения и ответной величиной деформации. Модуль отражает сопротивление материала приложенной нагрузке. )
Изменение величины деформации во времени представляет собой скорость сдвига. Скорость сдвига равна: (здесь t — это время).
Третий вид деформации тел – это всестороннее растяжении или сжатие.
Всестороннее растяжение и сжатие
В этом случае под действием нормальных напряжений в трех направлениях, происходит изменение объема вещества, а форма остается неизменной. Сжимающим напряжением в этом случае является давление, обозначаемое Р. Всестороннему растяжению и сжатию подвергаются расплавы полимеров в корпусах экструдеров или литьевых машин. Закон Гука для данного вида деформации имеет вид: . В этом уравнении М – это модуль всестороннего сжатия, а — это относительное изменение объема образца.
Во всех случаях деформирования величина, обратная модулю (модуля растяжения Юнга Е, модулю сдвига G, модулю всестороннего растяжения или сжатия М) называется податливостью. Например, податливость J при одноосном растяжении будет равна .
Соотношение между модулями растяжения Е, сдвига G, всестороннего растяжения или сжатия Мзависит от величины коэффициента Пуассонаmи описывается выражением:
Е = 2G (1+m) = 3М (1-2m).Если m=0,5,то Е = 3G.
При изучении механических свойств полимерных материалов и выявлении закономерностей их изменения за основу берутся представления о них как об идеальных телах. Для идеальных тел справедливы следующие законы:
· В идеальных газах закон Бойля-Мариотта. Он гласит, что при постоянной температуре изменение объема обратно пропорционально внешнему давлению, т.е. P × V = const.
· В идеальном твердом теле закон Гука. Согласно ему величина относительной деформации eпрямо пропорциональна приложенному нормальному напряжению sн =Е × e.
· В идеальной жидкости – закон Ньютона. Закон Ньютона отражает то, что скорость деформации (скорость сдвига) жидких тел прямо пропорциональна величине приложенного касательного напряжения: sТ = h× .
Впоследствии при установлении реальных механических свойств полимеров, учитывалось то, что поведение полимеров отличается от поведения традиционных тел тем, что при деформировании полимеры одновременно проявляют свойства упругости (как у твердого тела) и свойства текучести (как у жидких тел). Поэтому полимеры называют вязко-упругими телами, и многие законы их деформирования отклоняются от законов идеальных тел.
Специфику механических свойств полимеров, находящихся в различных физических состояниях, мы и будем рассматривать далее.
Тема «Механические свойства полимеров в высокоэластическом
Источник