Все типы задач на растяжение сжатие
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
При растяжении сжатии в поперечных сечениях возникает только нормальное напряжение:
где, А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (сжатии):
Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:
1. Проверять прочность стержня 5%;
2. Определять размеры поперечного сечения стержня (основная задача СМ):
3. Определять величину допускаемой продольной силы:
Расчеты на прочность.
В некоторых случаях работоспособность конструкции определяется величиной предельной деформации [Δl]:
где: Е – модуль продольной упругости.
Это неравенство называют условием жесткости, а расчеты – расчетами на жесткость.
Сдвиг
Сдвигомназывается такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – поперечная силаFy (Qy).
Если нагрузить брус, как показано на рисунке, то при определенной величине сил F произойдет срез – разделение бруса на 2 части по сечению АВ.
Касательные напряжения при срезе определяются соотношением:
где А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при срезе:
где [t] — допускаемое напряжение при срезе принимается:
[t] = (0,5÷0,6)·[σ]Р — для пластичных материалов;
[t] = (0,7÷0,9)·[σ]Р — для хрупких материалов.
На срез рассчитываются заклепочные, сварные, шпоночные и шлицевые соединения.
Кручение
Стержень, работающий на кручение называется валом.
Кручением называется такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – крутящий момент MZ (ТК). Его величину определяют методом сечений. Крутящий момент является моментом внутренних сил упругости и численно равен моменту внешних сил, действующих по одну сторону сечения.
Правило знаков для крутящих моментов представлено на плакате.
Наглядное представление о величине MZ в любом сечении вала дают эпюры крутящих моментов.
Определим крутящие моменты в нашем примере методом сечений от свободного конца:
— делаем сечение на первом участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа внешних моментов нет следовательно крутящий момент равен нулю.
— делаем сечение на втором участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент 2М. Следовательно крутящий момент в сечении на втором участке равен 2М, со знаком минус, согласно правила знаков
МZ = – 2М.
— делаем сечение на третьем участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент –2М и +3М. Следовательно крутящий момент в сечении на третьем участке равен 1М, со знаком плюс МZ = +М.
По полученным результатам строим эпюру МZ – график изменения крутящего момента вдоль вала.
На эпюрах моментов в местах приложения сосредоточенных моментов имеются скачки равные этим моментам.
Величина MZ в сечении заделки равна MR – моменту реакции заделки.
При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
В центре тяжести τ = 0 и Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:
где — полярный момент момент сопротивления при кручении:
для круга: Wρ ≈ 0,2·d3
для кольца: Wρ ≈ 0,2·D3(1-с4), где с=d/D;
для квадрата:WК = 0,208 f, где f – сторона квадрата.
Условие прочности при кручении:
Допускаемые напряжения при кручении:
[τ] = (0,5…0,7)·[σ]р.
Допускаемый крутящий момент:
[MZ]=Wρ·[τ]
Определение размеров сечения при кручении:
Диаметр круглого вала:
Изгиб
Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержня, при котором происходит искривление продольной оси стержня под действием внешних сил.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Балка, заделанная одним концом, называется консолью.
Если в поперечном сечении возникает только один ВСФ – изгибающий момент МИ (МХ или MY) – изгиб называют чистым. Если вместе с изгибающим моментом возникает поперечная сила Fy (QX или QY) – изгиб называют поперечным.
При изгибе к внешним силам относят: сосредоточенные и распределенные по длине силы, пары сил – моменты и силы реакции опор.
Последние находят из уравнений статики. Исходная схема заменяется расчетной, где опоры заменены силами – реакциями опор.
Для расчетной схемы составляются уравнения равновесия, из которых находят силы реакций опор. Рассмотрим пример.
Знак y означает, что реакция в точке В направлена в противоположную сторону. Меняем направление реакции в
точке В. FB= 0.5 кН
Направление реакции верно.
Обязательная проверка:
∑Fу= – F+ FА- q·b – FB=0
-1+3,5+2·1- 0,5=0 0=0
Реакции опор определены верно.
Внутренние силовые факторы при изгибе – изгибающий моментМИ (МХ) и поперечную силу Q (Fy) определяют методом сечений.
Поперечная сила Fx,Fy(Q) есть равнодействующая внутренних сил упругости действующих в плоскости поперечного сечения. Она равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных перпендикулярно к балке по одну сторону сечения.
Изгибающий момент МХ, МУ есть момент внутренних сил упругости. Он численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения. Он считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх.
Правило знаков.
Наглядное представление о характере изменения ВСФ по длине балки дают эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определим Fy и МХ в нашем примере и построим их эпюры. Балка имеет 3 характерных участка:
Первый участок: 0≤Z1≤ a
Fy= — F = — 1 кН
MX= — F·Z1
Z1=0 MX=0
Z1=a MX= – F·a= – 1 кН·м.
Второй участок: а≤Z2≤ a+в
Fy= — F+ FА – q·(Z2 — a);
MX= — F·Z2 +FA·( Z2 — a) – q·(Z2 — a)2/2;
Z2=а Fy= – F+ FА =2,5 кН;
MX= – FA ·a= – 1 кН·м;
Z2=а+в Fy= – F+ FА – q·в=0,5 кН;
MX= – F·(а + в) +FA·в – q·в2/2=0,5 кН·м.
Третий участок рассмотрим справа налево, т.к. метод сечений рекомендует рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше внешних сил.
Третий участок: 0≤Z3≤ с (оси сил расположены противоположно)
Fy= FВ = 0,5 кН;
MX= — FВ·Z3
Z3=0 MX=0
Z3=с MX= — FВ·с= — 0,5 кН·м.
По полученным значениям строим эпюры Fy и МХ.
Построение эпюр Fy и МХ позволяет определить напряжения в любом сечении балки. Поперечная сила складывается из элементарных касательных напряжений, а изгибающий момент – из элементарных нормальных напряжений.
Наиболее опасными являются нормальные напряжения при изгибе.
ПЛАКАТ 21
При изгибе волокна на вогнутой стороне укорачиваются – сжимаются, а на выпуклой стороне удлиняются – растягиваются. Между ними существует слой который остается исходной длины – его называют нейтральным слоем;
На нейтральном слое σ = 0. Наибольшие напряжения будут в поверхностных слоях:
где – осевой момент сопротивления или момент сопротивления сечения изгибу.
Для круга:
Для прямоугольника:
Для прокатных сечений значение WX дано в сортаменте.
Условие прочности при изгибе:
При проектном расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения через момент сопротивления:
Для круглого сечения WX=0,1·d3.
Теории прочности
При объемном напряженном состоянии существуют площадки, по которым действуют только нормальные напряжения. Эти напряжения называют главными:
При объемном напряженном состоянии, опыт не может дать однозначный ответ на вопрос «Какое из трех главных напряжений, или какое их сочетание вызывает нарушение прочности – разрушение или текучесть».
Поэтому для составления условий прочности приходится прибегать к гипотезам о причинах нарушения прочности.
Суть применения теорий прочности для оценки прочности материала, заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием.
I теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшее из главных напряжений:
σmax = σ1 ≤ [σ]
II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшая относительная деформация.
εmax ≤ [ε]
Учитывая, что , получаем:
III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является сдвиг, вызванный касательными напряжениями, при этом условие прочности:
τmax ≤ [τ]
учитывая что:
получим:
σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ]
Для плоского напряженного состояния :
ПЛАКАТ 24
IV теория прочности – энергетическая теория прочности.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является потенциальная энергия упругой деформации, накапливающаяся в единице объема материала. Условие прочности имеет вид:
U ≤ [U]
Выразив U и [U] через главные напряжения, получим:
Для плоского напряженного состояния:
V теория прочности – теория прочности Мора.
Условие прочности:
σэкв=σ1 – k·σ3≤[σ]
где
В настоящее время, в практических расчетах используют:
для пластичных материалов – III и IV теории прочности;
для хрупких материалов – теорию прочности Мора.
Источник
Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.
- Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.
В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.
Составляем уравнения равновесия
Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.
Схема деформаций
По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:
, где ВВ1=Δℓ1 (удлинение первого стержня)
Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.
Из рисунка видно, что СС2 = СС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.
Но СС2= Δℓ2 , тогда Δℓ2= СС1·sinα, откуда:
Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).
Тогда уравнение совместности деформаций будет:
Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через N2
Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:
N1 = 7,12кН (растянут),
N2 =-20,35кН (сжат).
Определим напряжения в стержнях.
Задача решена.
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.
∑у=0 RA — F1 + F2 — RВ=0
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
N1 = — RА
N2 = 120 — RА
N3 = 120 — RА
N4 = 30- RА
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Δℓ1+ Δℓ2+ Δℓ3+ Δℓ4= Δ (величина зазора).
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации 
составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м
Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
N1=- RА=-47,5кН
N2=120 — RА=72,5кН
N3=120 — RА=72,5кН
N4=30- RА=-17,5кН.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле 
и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
- Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.
Идем от стены А к зазору.
Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.
Строим эпюру перемещений.
Задача решена.
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.
∑у=0 — RA+F3 — F2+ F1 =0
RA= F3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
- Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности 
|σmax|= 75 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
4. Определяем перемещение бруса.
Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.
Формула Гука для определения абсолютной деформации участка
Определяем перемещения:
Строим эпюру перемещений ω.
Задача решена.
На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.
Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2, а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.
Учет собственного веса
Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: 
Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.
Обозначим его как 
. Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в
