Внецентренное растяжение прямого бруса
Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.
Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, — гибким.
Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами
Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.
На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.
Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы
Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).
Рис. 10.9
Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:
Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.
Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:
Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.
В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей — со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).
Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.
Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.
Рис. 11.9
Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:
ИЛИ
где — радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.
Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.
Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.
Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.
Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой — плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны
Рис. 12.9
Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую — положительны.
Рис. 13.9
Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).
Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):
Так как , то
Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)
откуда
Рис. 14.9
Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим
откуда
Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:
Из этих выражений следует:
1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;
2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;
3) чем дальше от начала координат расположен полюс (т. е. чем больше по абсолютной величине координаты ), тем ближе к центру сечения проходит нейтральная ось (т. е. тем меньше отрезки ), и наоборот;
4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.
При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.
Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.
Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.
Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.
При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.
Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.
При пластичном материале для проверки прочности достаточно определить напряжения в одной точке сечения в точке с наибольшим по абсолютной величине нормальным напряжением. При хрупком материале необходимо определить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения, т. е. найти напряжения в двух точках (за исключением тех случаев, когда в сечении действуют напряжения одного знака).
Поперечная сила вызывает в поперечном сечении бруса касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского (см. § 8.7).
Рассмотрим частный случай внецентренного сжатия или растяжения, когда полюс А расположен на одной из главных осей инерции, например на оси у, т. е. случай, когда Для этого случая формула (10.9) принимает вид
и, следовательно,
При прямоугольном поперечном сечении, основание которого b параллельно оси , а высота h параллельна оси у (рис. 15.9), получаем
или
Нейтральная ось при этом перпендикулярна оси у.
Рис. 15.9
Рис. 16.9
Формула (19.9) позволяет легко установить зависимость между видом эпюры нормальных напряжений и величиной эксцентриситета продольной силы (рис. 15.9). При
и, следовательно, эпюра напряжений а имеет вид прямоугольника (рис. 16.9, а).
При напряжения имеют одинаковые знаки и, следовательно, эпюра а имеет вид трапеции (рис. 16.9, б).
Источник
Изгиб с растяжением (сжатием) возникает и в том случае, когда брус нагружен в продольном направлении силой, приложенной внецентренно, т.е. на некотором расстоянии от центра тяжести сечения.
Ограничимся рассмотрением деформации внецентренного сжатия как более характерной для элементов строительных конструкций (рис. 9.9, а). При этом по-прежнему полагаем, что соблюдается принцип начальных размеров.
В любом поперечном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора (рис. 9.9, б):
где ех и еу — координаты точки приложения внешней силы, или эксцентриситеты внешней силы вдоль главных центральных осей сечения.
Таким образом, общий случай внецентренного сжатия сводится к центральному (осевому) сжатию в сочетании с чистым косым изгибом, который, как показано в параграфе 9.1, можно представить в виде двух чистых прямых изгибов во взаимно-перпендикулярных плоскостях.
Нормальные напряжения в поперечном сечении внецентренно сжатого бруса, согласно принципу независимости действия сил, равны алгебраической сумме напряжений от каждого внутреннего силового фактора:
Формула (9.11) позволяет определять напряжения в любом волокне бруса. Силовые факторы и координаты х, у следует принимать, как отмечалось в параграфе 9.1, по абсолютному значению,
Рис. 9.9
а знак слагаемых напряжений устанавливать по соответствующим эпюрам (рис. 9.9, в), т.е. по характеру деформирования бруса.
Наиболее напряженными являются волокна, в которых суммируются напряжения сжатия от всех трех силовых факторов. В рассматриваемом брусе прямоугольного сечения максимальные по абсолютному значению напряжения возникают в волокне, которому соответствует угловая точка 1. Таким образом, условие прочности в общем случае внецентренного сжатия брусьев симметричного сечения, выполненных из пластичного материала, имеет следующий вид:
Здесь приняты те же обозначения, что в формулах (9.6) и (9.9), причем к последней условие прочности приводится в частном случае внецентренного сжатия, когда точка приложения внешней силы находится на одной из главных центральных осей сечения и возникает центральное сжатие в сочетании с чистым прямым изгибом. Так, при нагружении, показанном на рис. 9.10, а,
на рис. 9.10, б,
Рис. 9.10
Чтобы построить эпюру суммарных напряжений в поперечном сечении бруса, изображенного на рис. 9.9, необходимо, как и при косом изгибе, определить положение нейтральной линии. По аналогии с параграфом 9.1 приравняем нулю выражение напряжений (9.11):
Введем обозначения:
где ix — радиус инерции сечения бруса относительно оси х, м (см); iy — то же, относительно оси у.
Отсюда
Подставив формулы (9.16) в записанное уравнение, с учетом значений внутренних силовых факторов (см. формулу 9.10) получим:
или
Поскольку N/A * 0, остается положить, что
Получили уравнение нейтральной линии в общем случае вне- центренного сжатия. Она не проходит через центр тяжести сечения, поэтому найдем отрезки, отсекаемые ею на координатных осях. При у0= 0 и х0 = ах
откуда отрезок, отсекаемый на оси х,
Аналогично, при х0 = 0 и у0= аУ отрезок, отсекаемый на оси у,
Зависимости (9.18) и (9.19) позволяют сделать два важных вывода:
- 1) положение нейтральной линии зависит от значения радиусов инерции, т.е. от формы и размеров поперечного сечения бруса, а также от эксцентриситетов нагрузки, и не зависит от значения нагрузки;
- 2) значения ах и ех, ау и еу имеют разные знаки, поскольку радиус инерции, тем более взятый в квадрате, есть величина существенно положительная. Следовательно, при внецентренном сжатии точка приложения нагрузки и нейтральная линия лежат по разные стороны от центра тяжести сечения.
В рассматриваемом случае (см. рис. 9.9, а, в) точка приложения силы /’находится в первом квадранте (ех > 0; еу > 0), поэтому нейтральная линия должна непременно пересекать отрицательные направления осей х и у (ах 0; ау 0).
Построение эпюры суммарных напряжений производится так же, как при косом изгибе (см. рис. 9.3, в и пояснение к нему в параграфе 9.1). Заметим лишь, что напряжения в точке 3 могут получиться как положительными, так и отрицательными, в зависимости от значений эксцентриситетов ех и еу. Это обстоятельство приходится учитывать при проектировании конструкций из хрупких материалов. Так, швы кладки в неармированных каменных конструкциях настолько плохо сопротивляются растяжению, что в практических расчетах их считают нерабочими. Аналогично поступают и при определении напряжений в грунтах оснований под фундаменты зданий и других сооружений. В подобных случаях нагрузка должна прикладываться так, чтобы по всему сечению возникали только напряжения сжатия, т.е. чтобы нейтральная линия проходила вне сечения или, в крайнем случае, касалась его (но не пересекала!).
Область вокруг центра тяжести поперечного сечения бруса, внутри которой следует приложить продольную нагрузку, чтобы вызвать по всему сечению напряжения одного знака, называется ядром сечения.
Построение ядра любого сечения, например прямоугольного шириной b и высотой h (рис. 9.11), основывается на вычислении предельного значения эксцентриситета сжимающей силы F, при котором в сечении не возникают напряжения растяжения. Поэтому укажем на рисунке положения нейтральной линии, совпадающие со сторонами прямоугольника, и пронумеруем их, обходя контур сечения по часовой стрелке.
Рис. 9.11
Нейтральная линия 1—1 перпендикулярна главной центральной оси х и отсекает на ней отрезок ах1 = —Ь/2. При этом ау1 = «>и, согласно зависимостям (9.18), (9.19):
где на основании выражений (9.15), а также формул (а) и (б) примера 5.4
Таким образом, соответствующая точка 1 приложения силы лежит на оси х.
Нейтральная линия 2—2 перпендикулярна оси у. В этом случае
аХ2 = °°, аУ2 = +h/2;
и точка 2 лежит на оси у.
Аналогично определяются координаты точек 3 и 4, отвечающих положениям нейтральных линий 3—3 и 4—4. Поскольку при переходе с одной стороны прямоугольника на другую нейтральная линия поворачивается вокруг угловой точки, точка приложения силы F перемещается по прямой, образуя контур ядра сечения. Действительно, если подставить в уравнение (9.17) координаты любой угловой точки *0 = const и у0= const, получим уравнение прямой, являющейся геометрическим местом точек приложения силы.
Итак, ядро прямоугольного сечения имеет вид ромба с диагоналями, равными третям соответствующих сторон. Двутавровый профиль имеет очертание ядра сечения тоже в виде ромба (рис. 9.12), поскольку касательные положения нейтральной линии описывают контур прямоугольника. Таким образом, ввиду симметрии здесь также достаточно определить лишь две координаты. Для вершин ромба, лежащих на оси х,
на оси у
Рис. 9.12
Численные значения этих отрезков зависят от геометрических характеристик конкретного двутавра. Для прокатных профилей следует, как обычно, руководствоваться данными сортамента (см. табл. 1 приложения).
Рис. 9.13
При построении ядра сплошного кругового сечения диаметром D (рис. 9.13) достаточно рассмотреть всего одно, произвольное касательное положение нейтральной линии. Поскольку у круга все центральные оси главные, точка касания К любой нейтральной линии 1—1 лежит на одном диаметре с соответствующей точкой 1 контура ядра сечения. Последняя отстоит от центра круга на расстоянии
или, согласно выражениям (9.15) и формуле (б) примера 5.6:
Отсюда на основании полярной симметрии можно утверждать, что ядро сечения круга диаметром D есть концентрический круг диаметром d = D/ 4.
Пример 9.4. Проверить прочность короткого деревянного бруса квадратного сечения со стороной а = 20 см, ослабленного односторонней врезкой глубиной Л0 = 4 см (рис. 9.14). Расчетная сжимающая сила F— 300 кН. Расчетное сопротивление древесины сжатию вдоль волокон R = 15 МПа. Условия работы нормальные.
Рис. 9.14
Решение. Неослабленные участки бруса работают на центральное сжатие. В их поперечных сечениях возникает продольная сила N = F. Соответствующие напряжения согласно формуле (2.28) составляют
где Л — площадь неослабленного сечения, Л — а2 — 202 = 400 см2 = = 400 • 10-4м2.
Ослабленный участок площадью сечения
испытывает внецентренное сжатие (частный случай). Эксцентриситет сжимающей силы относительно центра тяжести (оси х) ослабленного сечения составляет
Изгибающий момент Мх = Fe = 300-0,02 = 6 кН -м.
Момент сопротивления ослабленного сечения согласно выражению
(7.12) составляет
Проверку прочности ослабленного сечения произведем по формуле
(9.13) :
т.е. прочность не обеспечена. Одним из мероприятий по уменьшению напряжений является осуществление двусторонней врезки (показано штриховой линией на рис. 9.14). Несмотря на еще большее ослабление сечения брус оказывается прочным благодаря центральному приложению нагрузки и отсутствию изгиба. В этом случае площадь сечения
и соответствующее напряжение
Пример 9.5. На железобетонную колонну производственного здания (рис. 9.15) передается нормативная нагрузка от перекрытия Fu, = 300 кН и от подкрановой балки F2n — 190 кН. Первая приложена центрально к верхней части колонны высотой Нх = 4,5 м и квадратным сечением со стороной Ь — 40 см. Вторая приложена к жесткой консоли с эксцентриситетом е2 = 60 см, относительно продольной оси нижней части колонны высотой Н2 — 9 м и квадратным сечением со стороной Ь2 — 80 см.
Определить необходимый размер а квадратного в плане фундамента колонны, если расчетное давление на грунт основания R = 200 кПа, удельный вес железобетона колонны у= 24 кН/м3, средний удельный вес железобетона фундамента и грунта на его выступах уо — 20 кН/м3, глубина заложения фундамента Н0= 1,8 м. Растяжение в грунте не допускается.
Рис. 9.15
Решение. Подсчет нагрузок. На фундамент передаются нагрузки: от перекрытия F„ с эксцентриситетом
от веса верхней части колонны Gln = у6,» Я, = = 24 • 0,42 • 4,5 ~ 17 кН с тем же эксцентриситетом; от подкрановой балки F2„ с эксцентриситетом е2 — 0,6 м; от веса нижней части колонны G2n = уЬН2 = 24 0,82 -9 ~ 139 кН, приложенного центрально.
Согласно СНиП [10] (актуализированная редакция — СП 22.13330.2011), размеры подошвы фундамента под внецентренно сжатую колонну подбирают так, чтобы среднее давление на основание под фундаментом не превышало расчетное давление на грунт R, а наибольшее давление по краю фундамента не превышало 1, 2R в частном случае внецен- тренного сжатия и 1,5R в общем случае.
Поскольку расчетное давление на грунт устанавливают из условия ограничения совместной деформации основания и здания (предельное состояние второй группы), коэффициенты надежности по нагрузке yf = 1. Таким образом, расчетные значения усилий в фундаменте численно совпадают с нормативными: продольная сила
изгибающий момент
Изгибающий момент направлен по ходу часовой стрелки.
Определение размера подошвы фундамента. Пренебрегая вначале изгибающим моментом, установим по формуле (2.36) ориентировочную площадь подошвы с учетом собственного веса фундамента и грунта на его выступах:
Отсюда требуемый размер стороны квадратного фундамента а = [а = ^3,94 » 1,99 м. Округлив, назначим а —2 м. Тогда площадь подошвы А — а2 — 22 = 4 м2, момент сопротивления Wy — аъ/6 — 23/6 — = 1,33 м3.
Наибольшее давление на основание численно равно максимальному значению напряжения сжатия. Согласно формуле (9.14):
т.е. прочность обеспечена. Растяжение в грунте не возникнет, потому что напряжения от продольной силы превышают по абсолютному значению напряжения от изгибающего момента, и, следовательно, точка приложения равнодействующей сжимающей нагрузки не выходит за пределы ядра сечения.
Источник