Внецентренное растяжение нейтральная линия

Расчет напряжений

При внецентренном растяжении (сжатии)

Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:

, (8.4)

где ; ;

yF, zF– координаты точки приложения силы F.

Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.

.

Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:

,

где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,

, – главные радиусы инерции сечения.

Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.

Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде

. (8.5)

Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:

и для опасной точки сечения в сжатой зоне:

,

где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).

Свойства нулевой линии

1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.

2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.

3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).

4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).

5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):

н.л

н.л

°

Рис. 8.5 Рис. 8.6

а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);

б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).

6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.

8.2.3. Ядро сечения

Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.

Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.

Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.

Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.

Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.

При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).

Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.

Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).

Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку

приложения сжимающей силы К с коор-

Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:

; .

Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.

Последовательность построения ядра сечения

1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .

2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.

3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.

4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .

5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.

Кручение с изгибом

Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.

При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).

При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах

.

При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала

.

Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.

Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)

.

Учитывая, что , , получим условие прочности вала

. (8.6)

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет

.

Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности

,

после подстановки s и t получим

. (8.7)

Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называется косым?

2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?

13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?



СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………4

1. Внутренние усилия и напряжения в сечении …….5

2. Определение положения нейтральной линии…….6

3. Расчеты на прочность …………………………….. 7

4. Построения ядра сечения………………………….. 9

5. Пример расчета ……………………………………10

6. Литература …………………………………………17

7. Вопросы для самоконтроля ………………… ……18

8. Расчетно-графическая работа « Расчет жесткого бруса на внецентренное сжатие» ……………….18

Приложение № 1 …………………………………… 20

Приложение № 2 …………………………………… 24

ВВЕДЕНИЕ

Сложное сопротивление, при котором прямолиней-ный жесткий брус (рис.1) сжат или растянут силой, направленной параллельно его оси и не проходящей через центр тяжести сечения, называется внецентренном сжатием или внецентренном растяжением.

Рис.1. Схема приложения нагрузки

В том случае, когда на брус действуют несколько параллельных сил, то при расчетах будет рассматриваться их равнодействующая.

При внецентренном приложении нагрузки в попереч-ных сечениях элементов возникают продольная сила N и изгибающие моменты относительно осейy и z MY и MZ .

Так как такие элементы конструкций как колонны, мостовые опоры или фундаменты сооружений обычно подвержены действию сжимающих сил, то ограничимся рассмотрением случая внецентренного сжатия.

Проанализируем, какие внутренние усилия и напряжения могут возникать в рассматриваемом нормальном поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии.

Внутренние усилия и напряжения в сечении

На рис. 2 показана расчетная схема бруса с прямо-линейной осью хс , к которому в точке DF с координатами zF и yF приложена сжимающая сила F.

Оси ус и zc – главные центральные оси сечения (главные оси инерции). Для определения напряжение в точке В поперечного сечения, площадь которого обозна-чена символом А, необходимо знать величину и знак внутренних усилий, действующих в этом сечении. Внутренние усилия определяются по следующим формулам:

N = – F, MY = – F × zF , MZ = – F × yF . (1)

В приведенных формулах знак изгибающего момента определяется по следующему принципу: положительный изгибающий момент должен вызывать растяжение волокон с положительными координатами в выбранной системе отсчета, а отрицательный момент должен вызывать сжатие этих волокон.

Нормальные напряжения в точке В:

(2)

В этой формуле знак внутренних усилий принимается в соответствии с (1), а координаты точки В zВ и yВ вводятся со своими знаками.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Так как нейтральная (нулевая) линия отделяет сжатую зону сечения от растянутой, то нормальные напряжения в точках, лежащих на нейтральной линии равны 0:

(3)

Подставляя в уравнение (3) значения внутренних усилий и квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей вместо осевых моментов инерции, получаем следующее выражение:

(4)

В выражении (4) , – квадраты радиусов инерции сечения относительно главных центральных осей. Так как отношение F/A ¹ 0, то

(5)

Уравнение (5) – уравнение нейтральной линии, которым удобнее пользоваться, приведя его к уравнению в отрезках:

(6)

Здесь aZ и aY – отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях, определяемые по формулам:

, (7)

Для построения нейтральной линии рассчитываются отрезки az и ay, в масштабе откладываются от начала координат и нейтральная линия проводится через концы этих отрезков. Координаты полюса zF и yF должны вводится в расчет с учетом правила знаков.

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

При внецентренном сжатии нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону пропорцио-нально расстоянию от нейтральной линии. На рис. 3 пока-зан полюс (точка Б, в которой приложена сжимающая сила F) и положение нейтральной линии сечения.

Наиболее удалены от нейтральной линии точка 1 c координатами z1 и y1 и точка 3, координаты которой z3 и y3. В этих точках возникают экстремальные напряжения: наибольшие сжимающие в т. 1, а наибольшие растягиваю-щие в т. 3. Величина напряжений в этих точках определя-ется в соответствии с (2):

.

Условия прочности для рассматриваемой схемы: s1 ≤ Rсж и s3 ≤ Rраст. Используя уравнение (4), можно записать условия прочности в следующем виде:

(8)

(9)

В эти уравнения координаты полюса и точек, в которых определяются напряжения, подставляются с учетом их знаков.

Условия (8) и (9) позволяют решать следующие три типа задач при внецентренном приложении нагрузки:

А. Проектная задача

Задано значение силы F, расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, координаты полюса и точек сечения, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется рассчитать размеры поперечного сечения. Для выполнения поставленной задачи все геометрические характеристики (А, IZ, IY) выражаются через один параметр – или высоту, или ширину сечения. Из двух значений площади, вычисленной по формулам (8) и (9), за искомую следует принять большую.

Б. Определение несущей способности

Задано: расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, геометрические характеристики сечения А, IZ, IY, координаты полюса и тех точек, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется определить предельное значение сжимающей силы F. Из двух полученных значений силы F, за искомое принимается наименьшее.

В. Проверочная задача

Задано: геометрические характеристики сечения А, IZ, IY, координаты полюса и точек, в которых действуют экстремальные напряжения, расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, значение силы F. Требуется проверить выполнение условий (8) и (9).

ПОСТРОЕНИЕ ЯДРА СЕЧЕНИЯ

В зависимости от точки приложения внешней сжимающей нагрузки к брусу, нейтральная линия может пересекать сечение, касаться его или проходить вне сечения. Эти варианты показаны на рис. 4.

При внецентренном приложении нагрузки к брусу, выполненному из таких хрупких материалов, как бетон, кирпичная или бутовая кладка, возникает задача о том, как приложить сжимающую силу F, чтобы в поперечном сечении возникали только сжимающие напряжения. Решение этой задачи производится путем построения ядра сечения.

Ядром сечения называется очерченная вокруг центра тяжести сечения область, обладающая следующим свойством: сила F, приложенная в этой области, вызовет по всему поперечному сечению напряжения одного знака.

Контур ядра сечения строится в следующей последовательности:

— проводятся несколько касательных вокруг контура сечения, которые принимаются за нейтральные линии;

— определяются аz и ay – отрезки, которые нейтраль-ные линии отсекают на осях zc и yc;

— используя зависимости (7), определяются координа-ты характерных точек ядра сечения:

yя = ; zя =

— по найденным точкам yя и zя строится контур ядра сечения.

ПРИМЕР РАСЧЕТА

На рис. 5 показана схема жесткого бруса и прило-женная к нему нагрузка.

Для поперечного сечения, расположенного в основании бруса, требуется: определить величину предельной силы F, приложенной в указанной точке, определить положение нейтральной линии, рассчитать напряжения в характерных точках контура, построить эпюру этих напряжений и построить ядро сечения.

Расчетные сопротивления материала бруса:

Rсж = 8 МПа, а Rраст = 2 МПа. Параметр «a» показанного на рис. 6 сечения равен 0,2м.

Последовательность расчета следующая.

1. Определение координат центра тяжести сечения

Для этого поперечное сечение сложной формы разбивается на простые фигуры, площади и положения центров тяжести которых известно. В рассматриваемом примере сечение разбито два прямоугольника и два одинаковых треугольника. Один прямоугольник площадью А1 = 12а2, второй площадью А2 = 2а2; площадь каждого треугольника А3 =2а2.

Статический момент площади сечения относительно произвольной начальной оси Z0:

SZ0 = A1×y1 – A2 ×y2 + 2A3 ×y3

SZ0 = 12a2 × 2a – 2a2 × a + 2(2a2 × 8a / 3) = 32,67a3.

Расстояние уС от оси Z0 до оси ZС

уС = SZ0 / SАi = 32,67a3 / 14a2 = 2,33a

2. Вычисление квадратов радиусов инерции

Квадраты радиусов инерции сечения рассчитываются по формулам: iz2 = IZC /A, iy2 = IYC /A, где

IZC = IZ1 + А1× b12 – (IZ2 + А2× b22) + 2(IZ3 + А3× b32)

IYC = IY1 – IY2 + 2(IY3 + А3× d32).

Здесь b1 = YC — Y1; b2 = YC — Y2; b3 = Y3 — YС;

d3 = 11а /6;

Подстановка этих значений в выражения

главных моментов инерции дает следующие

результаты:

IZC = 17,111а4; IYC = 22,500а4.

Квадраты радиусов инерции сечения:

iz2 = 17,111a4/14a2 = 1,222a2 = 0,0489м2;

iy2 = 22,5a4/14a2 = 1,607a2 = 0,0643м2.

3. Определение положения нейтральной линии

Координаты точки приложения сжимающей силы F (координаты полюса): zF = — 2,5a; yF = 1,67a

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на коорди-натных осях: аz = — iy2/zF, аy = — iz2/yF.

аz = — iy2/zF = -1,607a2/(-2,5a) = 0,643a = 0,129м;

аy = — iz2/yF = -1,222a2/1,67a = — 0,732a = — 0,146м.

4. Определение предельного значения

сжимающей силы

Наиболее удалены от нейтральной линии следующие точки:

— в сжатой зоне точка 1, координаты которой z1 = — 2,5a, y1 = 1,67a;

— в растянутой зоне – точка 3 с координатами z3 =1,5a, y3 = — 2,33a.

Для этих точек должны соблюдаться условия прочности – напряжения в них не должны превышать расчетных сопротивлений материала:

(*)

(**)

Из выражения (*) предельная величина сжимающей силы Fпр, приложенной в т.1:

Подставляя числовые значения величин, входящих в это неравенство (с учетом знака Rсж), получим:

Из выражения (**) вычисляется значение Fпр:

Из этих двух полученных значений Fпр за расчетное принимается наименьшее (по модулю) Fпр = 0,218 МН.

5. Определение напряжений в сечении бруса

Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле:

(10)

Подставляя в эту формулу значения N = (–)Fпр и координаты характерных контурных точек, вычисляют действующие в них напряжения.

В табл.1 показаны координаты характерных точек сечения и даны результаты выполненных расчетов по определению напряжений в этих точках.

Для построения эпюры, показывающей распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса, сечение удобно показывать в изометрической проекции. Эпюра s приведена на рис. 9.

Таблица 1

6. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения проводятся четыре касательные к контуру сечения, которые рассматриваются как нулевые линии и определяются отрезки, отсекаемые касательными (нулевыми линиями) на главных центральных осях инерции.

Касательная I-I: az = ¥, ay =1,67a

Касательная II-II: az = ¥, ay = -2,33a

Касательная III-III: az =1,58а, ay = -8,33a

Касательная IV-IV: az = -1,58а, ay = -8,33a

Зная величину отрезков, отсекаемых нулевыми линиями на координатных осях, определяются координаты ядра сечения:

На рис.8 показаны нулевые линии и построено ядро сечения.

Результаты определения характерных точек ядра сечения обычно выполняются в табличном виде. Итоги выполненных расчетов приводятся в табл. 2, в которой даны координаты характерных точек ядра сечения.

Соединяя точки ядра 1-3-2-4 прямыми линиями, получаем контур ядра сечения.

Таблица 2

ЛИТЕРАТУРА

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов.– 2-е изд. – М.: Высш. шк., 2001. -560с.

2. Сопротивление материалов с основами теории упру-гости и пластичности: Учеб. для вузов под ред. Г.С. Варда-няна. – М.: Изд-во АСВ, 1995. -568с.

3. Павлов П.А., Паршин Л.К., Мельников Б.Е., Шерсте-нев И.А. Сопротивление материалов: Учеб. пособ./под ред. Б.Е. Мельникова – СПб.: Изд-во «Лань», 2003. -528с.

4. Сопротивление материалов: Руководство для реше-ния задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В.А. Копнов, С.Н. Кривошапко. – М.: Высш. шк., 2003. – 351с.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определяются внутренние усилия в сечениях жесткого бруса при внецентренном действии нагрузки?

2. Как определяется положение нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии или растяжении?

3. Указать, какой из перечисленных факторов повлияет на положение нейтральной линии:

— изменение величины приложенной внешней силы;

— изменение точки приложения этой силы;

— изменениие знака приложенной внешней силы.

4. Как определяется напряжение в заданной точке сечения при внецентренном действии нагрузки?

5. Что называется ядром сечения? Как строится ядро?

6. Какие типы задач позволяет решить условие прочнос-ти при внецентренном приложении нагрузки?

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-27
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных