Внецентренное растяжение или сжатие это
Содержание:
- Внецентренное сжатие или растяжение.
Внецентренное сжатие или растяжение.
- Внецентровое сжатие или растяжение. Вторым существенным случаем дополнительной деформации от изгибающих и продольных сил является так называемое внецентровое сжатие или растяжение, вызванное только продольными силами. Этот вид деформации получается при действии двух равных противоположных сил на стержень Р, направленных вдоль прямой, параллельной оси
стержня(рис. 427). Расстояние точки А от центра тяжести сечения около А=Е называется эксцентриситетом. Во-первых, рассмотрим случай внетропического сжатия, который имеет более практическое значение. Наша задача-найти наибольшее напряжение в материале стержня и проверить его прочность
. Для решения этой задачи мы применяем в двух точках, равных 5 0 0, совместное действие изгиба и растяжения или сжатия[гл. XXUP Мощность P (Рис. 428).
Людмила Фирмаль
Он не нарушает равновесия всего стержня и не изменяет напряжения в сечении. Сила P вызовет осевое сжатие, как только стирается, а пара сил P вызовет чистый изгибающий момент M$=PE, перечеркнутый дважды. Расчетная схема стержня приведена на рисунке. Поскольку рабочая поверхность 429 изгибающей пары ОА может не совпадать ни с одной из основных поверхностей инерции стержня, в общем
случае имеет место сочетание продольного сжатия и чистого косого изгиба. Осевое сжатие и чистое напряжение изгиба всех секций одинаковы Главная ось инерции секции. На пересечении линий действия силы-координаты точки D, — плоскости пересечения линий силы p и поперечного сечения-P и z P можно выбрать положительное направление оси OU и Oz так, что точка A будет первым квадрантом, тогда ur и z P будут положительными. Чтобы найти наиболее опасную
- точку в выбранном сечении, вы найдете вертикальное напряжение o в любой точке с координатами z и y. сжатие на R Отклонение от осевой силы P в любой точке равно y, F-площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба,§ 163] VIECENTRAL сжатия или растяжения 501 Замените его действием изгибающего момента главной плоскости. Изгиб плоскости x OU вокруг нейтральной оси Oz обусловлен моментом Рура, придающим точке B нормальное сжатие-Рур*—g—. ЮЖД Аналогично, является ли нормальное напряжение в точке B, вызванное изгибом в главной
плоскости x Oz, вызванным моментом pzp? * Z и выражается в Формуле — — -. Суммируя напряжение от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая напряжение сжатия отрицательным, получим следующее уравнение для напряжения в точке B: P Ruru P^RG/1 — в J2.— (27.4) Эта формула подходит для расчета напряжений в любой точке любого поперечного сечения стержня, при этом можно рассчитать координаты точек относительно главной оси вместо y и z в их знаке. Для внецентровых растяжек все компонентные признаки нормального напряжения точки B обращены вспять.
Таким образом, для того чтобы по формуле (27.4) получить правильный знак напряжения как при внецентровом сжатии, так и при внецентровом растяжении, помимо координатных символов y и g, необходимо
Людмила Фирмаль
вычислить знак силы P. Там должен быть знак плюс, при сжатии—минус. Полученная формула может придать немного другой вид; Для скобок-давайте посмотрим на множитель p.: Где iz и 1U-радиус инерции сечения относительно главной оси (вспомним Jz-iz-F и Jy=i* — F). Чтобы найти точку максимального напряжения, нужно выбрать y и z так, чтобы a достигло максимального значения. Переменные в формулах (27.4) и (27.5) являются последними двумя членами, которые отражают эффекты изгиба. Причем, как и в случае изгиба, максимальное напряжение получается в самой дальней точке
от нейтральной оси Си, и здесь, как и в случае косого изгиба, необходимо найти положение нейтральной оси[гл.6 0 2 совместные акты сгибания, растяжения или сжатия. XXVII Обозначим координаты точек этой линии через j/0 и g0; так как в точке нейтральной оси нормальное напряжение равно нулю, то после подстановки значений _u0 и G0 в уравнение (27.5、: Или 1 + ^+¥=0. (27.6) Зет Очевидно, мы получили уравнение прямой линии, которая не проходит через центроид сечения. Чтобы построить эту линию, проще всего рассчитать отрезки, вырезанные вдоль оси координат. Покажем эти
отрезки AU и az. Чтобы найти отрезок AU, отрезанный к оси OU, необходимо по формуле (27.6) поставить «г»=0;_uo=АУ Тогда мы получаем: 1+^ — ’ = 0 и= Точно так же、 л=0’^ = АГ, Получать: А2= -^ -. (27.8) з п Если значения УР и ZP положительны, то отрезки АС и А2 являются отрицательными. 430). Нейтральная ось делит сечение на две части-сжатие и растяжение; на фиг. 430 растянутый участок-это тень. Подводя к контуру касательную поперечного сечения параллельно нейтральной оси, получим две точки Dx, и там будут максимальные сжимающие и растягивающие напряжения. Измерьте
координаты y и z этих точек, подставив их значения в Формулу (27.4) для вычисления значения максимального напряжения в точке D2: ’(1,2)= — Py+Y -^ -+ материал стержня равномерно растянут (27.10)§ 163] вне центра сжатия или растяжения 503. Для поперечных сечений с выступающими углами, где обе основные инерционные оси являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.), поэтому формула (27.10) упрощается, g1^3×1= ^ ^ 4″ ^ + ^ ] (27.11) Если материал стержня не оказывает равномерного сопротивления растяжению и сжатию, необходимо проверить прочность стержня в растянутой
и сжатой зонах. Однако может случиться так, что в таком материале испытание на прочность будет достаточным. Из формул (27.7) и (27.8) видно, что положение точки А и положение нейтральной оси приложения силы взаимосвязаны: чем ближе точка а находится к центру сечения, тем больше ur и gr связаны между собой. Итак, по мере приближения точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Так, в некоторых положениях точки А нейтральная ось проходит вне секции, и вся секция работает при напряжении одного знака. Очевидно, что в этом случае достаточно постоянно проверять прочность материала в точке
Dv. Рассмотрим существенно важный случай изготовления стержня прямоугольного сечения(рис. 431) приложенная к точке А, смещенная от центра сила Р, лежащая на главной оси поперечного сечения ОП.: г р= — — еЗП=В. Напряжение в любой точке будет Потому что… -ЭТО НЕМНОГО ШОКИРУЕТ, — СКАЗАЛ ОН. F12M12 ЮЖД~БЧ~Б * 9 Напряжение во всех точках линии, параллельной оси выхлопа, одинаково. Положение нейтральной оси определяется отрезком взлетел=ОО. (27.13) 504 Синергия сгибания, растяжения и сжатия[Глава II. XXVII Нейтральная ось параллельна оси OZ. Точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1-1 и 3-3. Если вы назначите это значение вместо y в выражении (27.12), вы получите значения atax и amin
Смотрите также:
- Примеры решения задач по сопротивлению материалов: сопромату
Источник
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. На рис. 12.9 показана колонна, на которую опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси колонны с эксцентриситетом е, и таким образом, в произвольном сечении а—а колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна Ре. Внецентренное растяжение (сжатие) стержня представляет такой вид деформирования, при котором равнодействующие внешних сил действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. В дальнейшем будем рассматривать главным образом задачи внецентренного сжатия. При внецентренном растяжении во всех приводимых расчетных формулах следует изменить знак перед силой Р на противоположный.
Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 12.10) нагружен на торце внецентренно приложенной сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох. Примем положительные
Рис. 12.9
Рис. 12.10
направления главных осей инерции сечения Оу и Oz таким образом, чтобы точка приложения силы Р находилась в первой четверти осей координат. Обозначим координаты точки приложения силы Р через ур и zP-
Внутренние усилия в произвольном сечении стержня равны
Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины внутренних усилий в данном примере не изменяются по длине стержня, и таким образом, распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставляя (12.11) в (12.1), получим формулу для нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где i , i— главные радиусы инерции сечения. При этом
Положив в (12.12) о = 0, получим уравнение нулевой линии:
Здесь у0 и z0 — координаты точек нулевой линии (рис. 12.11). Уравнение (12.14) является уравнением прямой, не проходящей через центр тяжести сечения. Чтобы провести нулевую линию, найдем точки ее пересечения с осями координат. Полагая в (12.14) последовательно у0 = 0 и z0 = 0, соответственно найдем
где az и ау — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (рис. 12.11).
Рис. 12.11
Рис. 12.12
Установим особенности положения нулевой линии при вне- центренном сжатии.
- 1. Из формул (12.15) следует, что ау и az имеют знаки, противоположные знакам соответственно ур и zP- Таким образом, нулевая линия проходит через те четверти осей координат, которые не содержат точку приложения силы (рис. 12.12).
- 2. С приближением точки приложения силы Р по прямой к центру тяжести сечения координаты этой точки ур и zP уменьшаются. Из (12.15) следует, что при этом абсолютные значения длин отрезков ау и az увеличиваются, то есть нулевая линия удаляется от центра тяжести, оставаясь параллельной самой себе (рис. 12.13). В пределе при ZP=yP = 0 (сила приложена в центре тяжести) нулевая линия удаляется в бесконечность. В этом случае в сечении напряжения будут постоянными и равными о = -P/F.
- 3. Если точка приложения силы Р находится на одной из главных осей, нулевая линия параллельна другой оси. Действительно, положив в (12.15), например, ур = 0, получим, что ау = то есть нулевая линия не пересекает ось Оу (рис. 12.14).
- 4. Если точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести, то нулевая линия поворачивается вокруг некоторой точки. Докажем это свойство. Точкам приложения сил Рх и Р2, расположенным на осях координат, соответствуют нулевые линии 1 — 1 и 2—2, параллельные осям (рис. 12.15), которые пересекаются в точке D. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в этой точке от одновременно приложенных сил Рх и Р2 будут равны нулю. Поскольку любую силу Р3, точка приложения которой расположена на прямой Р{ Р2, можно
Рис. 12.13
Рис. 12.14
Рис. 12.15
разложить на две параллельные составляющие, приложенные в точках Pj и Р2, то отсюда следует, что напряжения в точке D от действия силы Р3 также равны нулю. Таким образом, нулевая линия 3—3, соответствующая силе Р3, проходит через точку D.
Другими словами, множеству точек Р, расположенных на прямой Р{Р2, соответствует пучок прямых, проходящих, через точку D. Справедливо и обратное утверждение: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести.
Если нулевая линия пересекает сечение, то она делит его на зоны сжатия и растяжения. Так же как и при косом изгибе, из гипотезы плоских сечений следует, что напряжения достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Характер эпюры напряжений в этом случае показан на рис. 12.16, а.
Если нулевая линия расположена вне сечения, то во всех точках сечения напряжения будут одного знака (рис. 12.16, б).
Пример 12.3. Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами b х h (рис. 12.17). Квадраты радиусов инерции сечения согласно (12.22) равны
Рис. 12.16
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, определяются по формулам (12.15):
Подставляя последовательно в (12.12) координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек С и В (рис. 12.18)
найдем
Рис. 12.17
Рис. 12.18
Эпюра о показана на рис. 12.18. Наибольшие сжимающие напряжения по абсолютной величине в четыре раза превосходят значения напряжений, которые были бы в случае центрального приложения силы. Кроме того, в сечении появились значительные растягивающие напряжения. Заметим, что из (12.12) следует, что в центре тяжести (у = z = 0) напряжения равны о = —P/F.
Пример 12.4. Полоса с вырезом нагружена растягивающей силой Р (рис. 12.19, а). Сравним напряжения в сечении ЛВ, достаточно удаленном от торца и места выреза, с напряжениями в сечении CD в месте выреза.
В сечении АВ (рис. 12.19, б) сила Р вызывает центральное растяжение и напряжения равны а = P/F = P/bh.
Рис. 12.19
В сечении CD (рис. 12.19, в) линия действия силы Р не проходит через центр тяжести сечения, и поэтому возникает внецентренное растяжение. Изменив знак в формуле (12.12) на противоположный и приняв ур = 0, получим для этого сечения
Принимая
найдем
Нулевая линия в сечении CD параллельна оси Оу и пересекает ось Oz на расстоянии а = —i2y/zP— Ь/12. В наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения C(z — —Ь/4) и D(z — Ь/4) напряжения согласно (12.16) равны
Эпюры нормальных напряжений для сечений ЛВ и CD показаны на рис. 12.19, б, в.
Таким образом, несмотря на то что сечение CD имеет площадь в два раза меньшую, чем сечение АВ, за счет внецентренного приложения силы растягивающие напряжения в ослабленном сечении возрастают не в два, а в восемь раз. Кроме того, в этом сечении появляются значительные по величине сжимающие напряжения.
Следует заметить, что в приведенном расчете не учитываются дополнительные местные напряжения, возникающие вблизи точки С из-за наличия выточки. Эти напряжения зависят от радиуса выточки (с уменьшением радиуса они увеличиваются) и могут значительно превысить по величине найденное значение ас = 8P/bh. При этом характер эпюры напряжений вблизи точки С будет существенно отличаться от линейного. Определение местных напряжений (концентрация напряжений) рассматривается в главе 18.
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.) плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много раз меньше, чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы нулевая линия находилась вне сечения. В противном случае нулевая линия пересечет сечение и в нем появятся растягивающие напряжения. Если нулевая линия является касательной к контуру сечения, то соответствующее положение точки приложения силы является предельным. В соответствии со свойством 2 нулевой линии, если точка приложения силы будет приближаться к центру тяжести сечения, нулевая линия будет удаляться от него. Геометрическое место предельных точек, соответствующих различным касательным к контуру сечения, является границей ядра сечения. Ядром сечения называется выпуклая область вокруг центра тяжести, обладающая следующим свойством: если точка приложения силы находится внутри или на границе этой области, то во всех точках сечения напряжения имеют один знак. Ядро сечения является выпуклой фигурой, поскольку нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
Через точку А (рис. 12.20) можно провести бесчисленное множество касательных (нулевых линий); при этом только касательная АС является касательной к огибающей, и ей должна соответствовать определенная точка контура ядра сечения. В то же время, например, нельзя провести касательную к участку АВ контура сечения, поскольку она пересекает сечение.
Построим ядро сечения для прямоугольника (рис. 12.21). Для касательной 1 — 1 а7 — Ь/2; а = . Из (12.15) находим для точки 1, соответствующей этой касательной, zP= -i2y / а 7=-Ь/6; у р — 0. Для касательной 2—2 ау — к/2; а7=°°, и координаты точки 2 будут равны ур — —h/6; zP — 0. Согласно свойству 4 нулевой линии точки приложения силы, соответствующие различным касательным к правой нижней угловой точке сечения, расположены на прямой 1—2. Положение точек 3 и 4 определяется из условий симметрии. Таким образом, ядро сечения для прямоугольника представляет собой ромб с диагоналями Ь/3 и И/З.
Рис. 12.20
Рис. 12.21
Чтобы построить ядро сечения для круга, достаточно провести одну касательную (рис. 12.22). При этом а = R; а = °о.
‘У У ^ ^
Учитывая, что для круга iу— Jу/F — R /4, из (12.15) получим
Таким образом, ядро сечения для круга представляет собой круг с радиусом R/4.
На рис. 12.23, а, 6 показаны ядра сечения для двутавра и швеллера. Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у швеллера является прямоугольником.
Рис. 12.23
Рис 12.22
Источник
Внецентренное растяжение-сжатие – такой вид деформации, при котором стержень загружен растягивающими и (или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии стержней (рис. 5.9) в стержне возникают три внутренних усилия: продольная сила ( ) и два изгибающих момента ( и ). Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае определение усилий производим по недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя правило знаков для изгибающих моментов, описанное во вступительной части разд. 5 «Сложное сопротивление», найдем внутренние усилия как сумму усилий от каждой силы. Тогда для стержня, показанного на рис. 5.9, согласно методу сечений получим
;
;
.
Здесь – эксцентриситеты точек приложения сил, т. е. расстояния от сил до осей и (всегда положительны); и – величины сил тоже считаются положительными. Знаки в формулах для и соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов. Поясним их. Относительно оси сила вызывает изгиб стержня выпуклостью справа. Вся область сечения, расположенная справа от оси , в том числе и первый (положительный) квадрант, окажется растянутой, поэтому эта сила создает положительный изгибающий момент. Сила вызывает изгиб стержня относительно оси тоже выпуклостью справа, поэтому знак изгибающего момента от силы опять положительный. При изгибе относительно оси передняя и задняя части сечения имеют напряжения разного знака. Сила вызывает изгиб стержня выпуклостью за осью , т. е. задняя часть сечения (а значит, и первый квадрант) окажется растянутой, поэтому от силы имеет знак плюс. Сила вызывает сжатие задней части сечения стержня, первый квадрант окажется сжатым, и знак изгибающего момента от отрицательный[7].
Рис. 5.9. Внецентренное растяжение- сжатие жесткого стержня
От найденных усилий в стержне возникают только нормальные напряжения, которые определяются по формуле (5.1). Для проверки прочности стержня необходимо найти максимальные напряжения. Определение этих напряжений производится по схеме, описанной ранее, т. е.:
· строим нейтральную линию по уравнению (5.2);
· находим положение опасных точек;
· подставляя в (5.1) координаты опасных точек, вычисляем напряжения в этих точках;
· для проверки прочности сравниваем максимальные напряжения с допускаемыми.
Если в сечении действует только одна сила, растягивающая или сжимающая , то формулу (5.1) можно преобразовать к такому виду:
, (5.9)
где
, – (5.10)
радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей; , – координаты точки приложения силы; , – координаты точки, в которой определяются напряжения. Все координаты вычисляются в главной центральной системе осей инерции сечения. Уравнение нейтральной линии в этом случае будет иметь вид
. (5.11)
Используя уравнение нейтральной линии (5.11), найдем отрезки , , отсекаемые нейтральной линией на осях координат (рис. 5.10),
; . (5.12)
Откладываем эти отрезки с учетом знаков вдоль главных центральных осей и строим нейтральную линию (см. рис. 5.10).
Рис. 5.10. Положение нейтральной линии
при внецентренном растяжении (сжатии)
одной силой
Из формул (5.12) следуют некоторые закономерности, связывающие положение полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:
1) нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс (см. рис. 5.10);
2) если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;
3) если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него;
4) если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.
Рис. 5.11. Вид эпюры напряжений:
а – для полюса, расположенного на контуре ядра сечения;
б – для полюса, находящегося внутри ядра сечения
Из предпоследней закономерности следует, что если сила приложена достаточно близко к центру тяжести, то нейтральная линия удаляется так далеко, что нигде не пересекает сечение. Это означает, что напряжения во всем сечении будут иметь один знак. Следовательно, существует такая область вокруг центра тяжести, которая обладает следующим свойством: если внутри этой области или на ее контуре приложить силу (растягивающую или сжимающую), то во всем сечении будут возникать напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Рис. 5.11 поясняет данное определение ядра сечения. Нейтральная линия касается сечения, если сила приложена на контуре ядра сечения (см. рис. 5.11, а), и нейтральная линия проходит за сечением, если полюс расположен внутри ядра сечения (см. рис. 5.11, б).
Из приведенного определения ядра сечения следует первый способ построения ядра сечения. Согласно этому способу надо обвести контур сечения нейтральными линиями, касающимися контура и нигде не пересекающими сечение. Полюсы, соответствующие этим нейтральным линиям, будут находиться на контуре ядра сечения. На практике обычно более удобным является второй способ построения ядра сечения, который основан на свойстве взаимности нейтральной линии и полюса [2, гл. 7, § 36]. Для построения ядра сечения по второму способу надо поместить полюсы во внешних всех угловых точках сечения, имеющего форму многоугольника, и построить соответствующие им нейтральные линии. Эти нейтральные линии очертят контур ядра сечения. Отметим, что при построении ядра сечения нельзя располагать полюсы во внутренних угловых точках, так как через них нельзя провести касательные, нигде не пересекающие сечение. Рис. 5.12 поясняет разницу между внешними и внутренними угловыми точками многоугольника.
Для определения напряжений и проверки прочности стержня произвольного сечения, а также для построения ядра сечения необходимо научиться находить геометрические характеристики сечений, важнейшими из которых являются моменты инерции. Этому посвящен п. 5.2.1 гл. 5.
Рис. 5.12. Точки 1–5 –внешние,
6, 7 – внутренние угловые
точки
5.2.1. Определение моментов инерции сложных сечений относительно главных центральных осей (задачи № 29, 30, 31)
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 4.
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 15.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5.
Источник