Внецентренное растяжение и сжатие стержня продольными силами
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. На рис. 12.9 показана колонна, на которую опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси колонны с эксцентриситетом е, и таким образом, в произвольном сечении а—а колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна Ре. Внецентренное растяжение (сжатие) стержня представляет такой вид деформирования, при котором равнодействующие внешних сил действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. В дальнейшем будем рассматривать главным образом задачи внецентренного сжатия. При внецентренном растяжении во всех приводимых расчетных формулах следует изменить знак перед силой Р на противоположный.
Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 12.10) нагружен на торце внецентренно приложенной сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох. Примем положительные
Рис. 12.9
Рис. 12.10
направления главных осей инерции сечения Оу и Oz таким образом, чтобы точка приложения силы Р находилась в первой четверти осей координат. Обозначим координаты точки приложения силы Р через ур и zP-
Внутренние усилия в произвольном сечении стержня равны
Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины внутренних усилий в данном примере не изменяются по длине стержня, и таким образом, распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставляя (12.11) в (12.1), получим формулу для нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где i , i— главные радиусы инерции сечения. При этом
Положив в (12.12) о = 0, получим уравнение нулевой линии:
Здесь у0 и z0 — координаты точек нулевой линии (рис. 12.11). Уравнение (12.14) является уравнением прямой, не проходящей через центр тяжести сечения. Чтобы провести нулевую линию, найдем точки ее пересечения с осями координат. Полагая в (12.14) последовательно у0 = 0 и z0 = 0, соответственно найдем
где az и ау — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (рис. 12.11).
Рис. 12.11
Рис. 12.12
Установим особенности положения нулевой линии при вне- центренном сжатии.
- 1. Из формул (12.15) следует, что ау и az имеют знаки, противоположные знакам соответственно ур и zP- Таким образом, нулевая линия проходит через те четверти осей координат, которые не содержат точку приложения силы (рис. 12.12).
- 2. С приближением точки приложения силы Р по прямой к центру тяжести сечения координаты этой точки ур и zP уменьшаются. Из (12.15) следует, что при этом абсолютные значения длин отрезков ау и az увеличиваются, то есть нулевая линия удаляется от центра тяжести, оставаясь параллельной самой себе (рис. 12.13). В пределе при ZP=yP = 0 (сила приложена в центре тяжести) нулевая линия удаляется в бесконечность. В этом случае в сечении напряжения будут постоянными и равными о = -P/F.
- 3. Если точка приложения силы Р находится на одной из главных осей, нулевая линия параллельна другой оси. Действительно, положив в (12.15), например, ур = 0, получим, что ау = то есть нулевая линия не пересекает ось Оу (рис. 12.14).
- 4. Если точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести, то нулевая линия поворачивается вокруг некоторой точки. Докажем это свойство. Точкам приложения сил Рх и Р2, расположенным на осях координат, соответствуют нулевые линии 1 — 1 и 2—2, параллельные осям (рис. 12.15), которые пересекаются в точке D. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в этой точке от одновременно приложенных сил Рх и Р2 будут равны нулю. Поскольку любую силу Р3, точка приложения которой расположена на прямой Р{ Р2, можно
Рис. 12.13
Рис. 12.14
Рис. 12.15
разложить на две параллельные составляющие, приложенные в точках Pj и Р2, то отсюда следует, что напряжения в точке D от действия силы Р3 также равны нулю. Таким образом, нулевая линия 3—3, соответствующая силе Р3, проходит через точку D.
Другими словами, множеству точек Р, расположенных на прямой Р{Р2, соответствует пучок прямых, проходящих, через точку D. Справедливо и обратное утверждение: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести.
Если нулевая линия пересекает сечение, то она делит его на зоны сжатия и растяжения. Так же как и при косом изгибе, из гипотезы плоских сечений следует, что напряжения достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Характер эпюры напряжений в этом случае показан на рис. 12.16, а.
Если нулевая линия расположена вне сечения, то во всех точках сечения напряжения будут одного знака (рис. 12.16, б).
Пример 12.3. Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами b х h (рис. 12.17). Квадраты радиусов инерции сечения согласно (12.22) равны
Рис. 12.16
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, определяются по формулам (12.15):
Подставляя последовательно в (12.12) координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек С и В (рис. 12.18)
найдем
Рис. 12.17
Рис. 12.18
Эпюра о показана на рис. 12.18. Наибольшие сжимающие напряжения по абсолютной величине в четыре раза превосходят значения напряжений, которые были бы в случае центрального приложения силы. Кроме того, в сечении появились значительные растягивающие напряжения. Заметим, что из (12.12) следует, что в центре тяжести (у = z = 0) напряжения равны о = —P/F.
Пример 12.4. Полоса с вырезом нагружена растягивающей силой Р (рис. 12.19, а). Сравним напряжения в сечении ЛВ, достаточно удаленном от торца и места выреза, с напряжениями в сечении CD в месте выреза.
В сечении АВ (рис. 12.19, б) сила Р вызывает центральное растяжение и напряжения равны а = P/F = P/bh.
Рис. 12.19
В сечении CD (рис. 12.19, в) линия действия силы Р не проходит через центр тяжести сечения, и поэтому возникает внецентренное растяжение. Изменив знак в формуле (12.12) на противоположный и приняв ур = 0, получим для этого сечения
Принимая
найдем
Нулевая линия в сечении CD параллельна оси Оу и пересекает ось Oz на расстоянии а = —i2y/zP— Ь/12. В наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения C(z — —Ь/4) и D(z — Ь/4) напряжения согласно (12.16) равны
Эпюры нормальных напряжений для сечений ЛВ и CD показаны на рис. 12.19, б, в.
Таким образом, несмотря на то что сечение CD имеет площадь в два раза меньшую, чем сечение АВ, за счет внецентренного приложения силы растягивающие напряжения в ослабленном сечении возрастают не в два, а в восемь раз. Кроме того, в этом сечении появляются значительные по величине сжимающие напряжения.
Следует заметить, что в приведенном расчете не учитываются дополнительные местные напряжения, возникающие вблизи точки С из-за наличия выточки. Эти напряжения зависят от радиуса выточки (с уменьшением радиуса они увеличиваются) и могут значительно превысить по величине найденное значение ас = 8P/bh. При этом характер эпюры напряжений вблизи точки С будет существенно отличаться от линейного. Определение местных напряжений (концентрация напряжений) рассматривается в главе 18.
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.) плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много раз меньше, чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы нулевая линия находилась вне сечения. В противном случае нулевая линия пересечет сечение и в нем появятся растягивающие напряжения. Если нулевая линия является касательной к контуру сечения, то соответствующее положение точки приложения силы является предельным. В соответствии со свойством 2 нулевой линии, если точка приложения силы будет приближаться к центру тяжести сечения, нулевая линия будет удаляться от него. Геометрическое место предельных точек, соответствующих различным касательным к контуру сечения, является границей ядра сечения. Ядром сечения называется выпуклая область вокруг центра тяжести, обладающая следующим свойством: если точка приложения силы находится внутри или на границе этой области, то во всех точках сечения напряжения имеют один знак. Ядро сечения является выпуклой фигурой, поскольку нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
Через точку А (рис. 12.20) можно провести бесчисленное множество касательных (нулевых линий); при этом только касательная АС является касательной к огибающей, и ей должна соответствовать определенная точка контура ядра сечения. В то же время, например, нельзя провести касательную к участку АВ контура сечения, поскольку она пересекает сечение.
Построим ядро сечения для прямоугольника (рис. 12.21). Для касательной 1 — 1 а7 — Ь/2; а = . Из (12.15) находим для точки 1, соответствующей этой касательной, zP= -i2y / а 7=-Ь/6; у р — 0. Для касательной 2—2 ау — к/2; а7=°°, и координаты точки 2 будут равны ур — —h/6; zP — 0. Согласно свойству 4 нулевой линии точки приложения силы, соответствующие различным касательным к правой нижней угловой точке сечения, расположены на прямой 1—2. Положение точек 3 и 4 определяется из условий симметрии. Таким образом, ядро сечения для прямоугольника представляет собой ромб с диагоналями Ь/3 и И/З.
Рис. 12.20
Рис. 12.21
Чтобы построить ядро сечения для круга, достаточно провести одну касательную (рис. 12.22). При этом а = R; а = °о.
‘У У ^ ^
Учитывая, что для круга iу— Jу/F — R /4, из (12.15) получим
Таким образом, ядро сечения для круга представляет собой круг с радиусом R/4.
На рис. 12.23, а, 6 показаны ядра сечения для двутавра и швеллера. Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у швеллера является прямоугольником.
Рис. 12.23
Рис 12.22
Источник
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. Рассмотрим, например, колонну, на которую опирается балка перекрытия (рис. 11.11). Поскольку сила Р, характеризующая передачу нагрузки от балки на колонну, действует по отношению к ее оси с эксцентриситетом е, колонна испытывает сжатие с изгибом. При этом в поперечных сечениях колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна М = Ре.
Таким образом, внецентренное растяжение и сжатие стержня имеют место в случае, когда нагрузки действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. Будем рассматривать в основном задачи внецентренного сжатия, наиболее характерные для элементов строительных конструкций. При внецентренном растяжении во всех приводимых ниже формулах надо изменить знак перед силой Р на противоположный.
Рассмотрим стержень, нагруженный на торце внецентренно приложенной в точке К сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох (рис. 11.12, а). Обозначим координаты точки приложения силы через ур и zp- Перенесем силу в центр тяжести сечения и согласно правилам статики добавим два момента Mz=—Pyp и Му = —Pzp (рис. 11.12, б). При этом внутренние усилия в произвольном поперечном сечении стержня будут равны:
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Согласно принятому правилу знаков внутренние усилия являются отрицательными, поскольку в точках первой четверти сечения они вызывают сжатие. Отметим также, что величины внутренних усилий не изменяются по длине стержня и, таким образом, распределение нормальных напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставив (11.11) в (11.1), получим формулу для определения нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где iy, iz — главные радиусы инерции сечения, определяемые по формулам:
Приравняв выражение (11.12) к нулю, получим уравнение нулевой линии
Полагая в этом уравнении последовательно у = 0 и z — 0, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проведем нулевую линию (рис. 11.13), в каждой точке которой о = 0. Отметим, что при внецентренном сжатии (растяжении) нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, а ее положение не зависит от величины силы Р.
Поскольку знаки величин ^и^ противоположны знакам соответственно zp и у , нулевая линия проходит через те четверти системы координат, которые не содержат точки приложения силы (рис. 11.13).
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Положение нулевой линии зависит от геометрических характеристик сечения и от координат точки приложения силы. При этом величины Zq, zp и у0, ^являются обратно пропорциональными по отношению друг к другу.
Исследуем изменение положения нулевой линии при перемещении точки приложения силы вдоль прямой, проходящей через центр тяжести сечения. Из формул (11.14) следует, что все нулевые линии будут при этом параллельными, причем при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения величины zp и у уменьшаются и нулевая линия удаляется от него, и наоборот (рис. 11.14).
Нетрудно доказать также следующее положение. Если точка приложения силы перемещается вдоль прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается относительно некоторой точки (рис. 11.15). Справедливо и обратное утверждение. Это свойство используется при построении особой фигуры — ядра сечения.
Рис. 11.16
Рис. 11.15
Нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону, увеличиваясь по абсолютной величине по мере удаления от нулевой линии. Эпюра о строится на прямой, перпендикулярной к нулевой линии. При этом она может быть разнозначной или однозначной (см. рис. 11.14). Последнее имеет место в случае, если точка приложения силы Р расположена вблизи центра тяжести сечения. Напомним, что при центральном сжатии или растяжении нормальные напряжения являются одинаковыми по величине, а эпюра с представляет собой прямоугольник.
В точках прямой, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной нулевой линии, нормальные напряжения равны °о =—P/F.
Рассмотрим случай разнозначной эпюры с (рис. 11.14, а). Так же как и при косом изгибе, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии (угловые точки А и В на рис. 11.14). Для произвольного сечения эти точки и их координаты устанавливаются с помощью касательных к сечению, параллельных нулевой линии (например, точка А на рис. 11.16). В общем случае онбф |онм|.
Если материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо обеспечить выполнение двух условий прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям в точках А и В:
где Rp и Rc — расчетные сопротивления материала при растяжении и сжатии; zA, УА и zB, У в ~ координаты наиболее напряженных точек сечения.
Из условий прочности (11.15) можно определить величину предельной расчетной силы.
Для стержней из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (R^ = Rc = R), а также в случае однозначной эпюры о (рис. 11.14, б) достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности по точке с наибольшими по абсолютной величине напряжениями.
В инженерной практике чаще имеет место случай внецент- ренного сжатия (или растяжения), когда точка приложения силы Р расположена на одной из главных осей (рис. 11.17, а). При этом согласно формулам (11.14) нулевая линия параллельна другой главной оси (рис. 11.17, б). Нормальные напряжения определяются по двухчленной формуле. Например, для случая, показанного на рис. 11.17, имеем
Рис. 11.17
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка, чугун и др.) плохо сопротивляются растяжению. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов, работающих на вне- центренное сжатие, нежелательно появление растягивающих нормальных напряжений. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы расположена внутри или на границе некоторой области вокруг центра тяжести, которая называется ядром сечения.
Граница или контур ядра строится с помощью нулевых линий, которые являются касательными к сечению. При этом координаты точек контура ядра определяются с помощью формул
(11.14):
Здесь у0, Zq — координаты точек пересечения нулевых линий, касательных к контуру сечения, с осями координат; ур, zp — координаты точек контура ядра, соответствующие положению данной касательной.
Таким образом, если точка приложения силы расположена на контуре ядра, то нулевые линии являются касательными к сечению, а эпюра с представляет собой треугольник. При приложении силы внутри ядра нулевая линия проходит вне сечения (условная нулевая линия) и эпюра о является трапецией.
Ядро сечения содержит центр тяжести и является выпуклой фигурой, поскольку соответствующие границе ядра нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
При построении контура ядра его точки надо соединить соответствующими линиями. Если нулевые линии, касательные к сечению, перемещаются при переходе от одного положения к другому путем поворота вокруг угловых точек, то на основании изложенного выше положения линии контура ядра являются прямыми.
Рис. 11.18
Рис. 11.19
Рис. 11.20
Построим ядро сечения для некоторых фигур. Для прямоугольника достаточно провести две нулевые линии, являющиеся касательными к сечению (рис. 11.18). Для касательной 1 — 1 имеем у() = И/2 и Zq= °°. Учитывая, что
определяем координаты точки 1 контура ядра сечения:
Аналогично для касательной 2—2 находим координаты точки 2: zp = — b/6, ур = 0. Точки 3 и 4 расположены симметрично по отношению к точкам 1 и 2. Ядро сечения представляет собой ромб с длинами диагоналей h/З и Ь/3 (рис. 11.18).
Ядро сечения для двутавра также представляет собой ромб, значительно вытянутый вдоль оси Оу (рис. 11.19), поскольку J. » Jy. Ядро сечения для швеллера является четырехугольником, симметричным относительно оси Oz (рис. 11.20).
При построении ядра сечения для круга достаточно провести одну касательную 1—1 (рис. 11.21), для которой у0 = R, Zq = °°.
Рис. 11.21
Рис. 11.22
Учитывая, что для круга
находим координаты точки 1:
Очевидно, что ядро сечения для круга представляет собой также круг с радиусом г = R/4. Такой же вид имеет ядро для кольцевого сечения (рис. 11.22), однако радиус ядра значительно больше, чем для сплошного круга. Нетрудно показать, что при 5 « R2 радиус ядра сечения приближенно равен Rq/2, где Rq — средний радиус кольца.
Рис. 11.23
При построения ядра сечения, показанного на рис. 11.23, достаточно провести четыре касательные к сечению и определить координаты четырех точек контура ядра. Точки 1, 2 и 3 надо соединить прямыми линиями. Контур ядра между точками 3, 4 является криволинейным. Точки 5 и 6 симметричны по отношению к точкам 3 и 2.
Пример 11.5. Для короткого чугунного стержня коробчатого сечения, испытывающего внецентренное сжатие (рис. 11.24, а), определим расчетную величину силы Р из условий прочности. Построим эпюру о и ядро сечения. В расчетах примем Rp = = 50 МПа = 5 кН/см2, Rc = 150 МПа = 15 кН/см2 и ус = 1,0.
Рис. 11.24
Определяем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 11.24, б):
Координаты точки приложения силы Р равны: ур = 6 см, zp — = —4,5 см. Определяем по формулам (11.14) величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проводим нулевую линию, которая пересекает сечение и делит его на зоны растяжения и сжатия. Эпюра с является разнозначной (рис. 11.24, б). Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в угловых точках Ли В, наиболее удаленных от нулевой линии. Координаты этих точек равны: уА = —6 см, zA = 4,5 см, ув= 6 см, zB = —4,5 см.
Из условий прочности при растяжении и сжатии находим два значения расчетной силы Р:
Для обеспечения прочности стержня в зонах растяжения и сжатия принимаем с округлением меньшую силу Р = 100 кН. При этом напряжения в точках Ли В равны:
Прочность стержня обеспечена. Эпюра о приведена на рис. 11.24, б.
Для построения ядра сечения достаточно провести две нулевые линии, касательные к контуру сечения, и определить координаты двух точек контура ядра.
Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Проведенные касательные соответствуют точкам 1 и 2 контура ядра сечения. Симметрично расположены точки 3 и 4. Поскольку касательные переходят из одного положения в другое путем поворота вокруг угловых точек сечения, все линии контура ядра являются прямыми. Ядро сечения представляет собой ромб (рис. 11.24, б). Так как точка приложения силы принадлежит одновременно касательным 1—1 и 2—2 , нулевая линия проходит по линии контура ядра 1—2.
Пример 11.6. Для короткого стального стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного сжатия (рис. 11.25, а), определим величину расчетной силы Риз условия прочности. В расчетах примем Р = 210МПа = 21 кН/см2 и ус = 0,9. Построим эпюру о и ядро сечения.
Поскольку zp = 0, данная задача относится к частному случаю внецентренного сжатия. Определяем необходимые геометрические характеристики сечения:
Определяем положение нулевой линии:
Рис. 11.25
Нулевая линия параллельна оси Oz и не пересекает сечение. Эпюра а является однозначной (рис. 11.25, б). Наибольшие сжимающие напряжения действуют в крайних верхних точках сечения (у = ув = —11 см). Из условия прочности определяем расчетное значение силы Р:
При действии силы Р = 744 кН наибольшие сжимающие напряжения в крайних верхних точках сечения по абсолютной величине равны уCR = 189 МПа. Определяем напряжения в крайних нижних точках сечения (у = уА= 11 см):
Напряжения в поперечных сечениях стержня являются сжимающими. Эпюра а приведена на рис. 11.25, б.
Ядро сечения представляет собой ромб, координаты вершин которого определяем с помощью двух касательных к сечению. Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Точка приложения силы расположена внутри ядра сечения (рис. 11.25, б).
Источник