Внецентренное растяжение и сжатие при косом изгибе
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Макеты страниц
9.1. КОСОЙ ИЗГИБ
В предыдущих разделах курса рассматривался так называемый прямой поперечный изгиб, при котором нагружение и искривление оси бруса происходит в одной из двух его главных плоскостей (напомним, что главные плоскости бруса суть две взаимно перпендикулярные и проходящие через ось бруса плоскости, каждая из которых содержит одну из главных центральных осей инерции всех его поперечных сечений).
Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб. (Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса прямоугольного сечения силой, приложенной в плоскости торцового сечения под некоторым углом а к его оси симметрии (рис. 9.1).
Косой изгиб можно представить как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки на два составляющих момента:
Изображая изгибающий момент в сечении по правилам механики в виде вектора, нормального к плоскости действия этого момента (рис. 9.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям у и получаем
Воспользуемся принципом независимости действия сил. Нормальное напряжение а в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами т. е.
Здесь у и z — координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения, а — изгибающие моменты относительно этих эти величины при расчетах надо подставлять в формулу (9.1) с их знаками. Знаки координат у и определяются положением исследуемой точки сечения относительно координатных осей. Если точка расположена, например, в первой четверти сечения, то у и имеют положительные значения. Следовательно, чтобы растягивающие
Рис. 9.1
Рис. 9.2
напряжения в первой четверти имели знак плюс, моменты вызывающие растяжение в первой четверти, должны быть положительными
Поэтому условимся в случае косого изгиба считать изгибающий момент положительным, если он вызывает растяжение в первой., четверти сечения, и отрицательным, если он вызывает сжатие в этой четверти.
Согласно принятому правилу знаков, в приведенном выше примере изгиба консольного бруса моменту надо приписать знак плюс, а моменту — минус.)
Из уравнения (9.1) следует, что концы векторов напряжений располагаются на плочкости. Эта плоскость называется плоскостью напряжений (рис. 9.3). Плоскость напряжений пересекается с плоскостью поперечного сечения по прямой, в точках которой напряжения равны нулю. Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называются нейтральной линией сечения. Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой — сжимающие напряжения.
Уравнение нейтральной линии найдем, приравнивая правую часть равенства (9.1) нулю:
Уравнение (9.2) можно преобразовать так;
Рис. 9.3
Здесь координаты текущей точки нейтральной линии, а угловой коэффициент этой линии.
Зная положение нейтральной линии и характер распределения напряжений по сечению, легко построить эпюру напряжений в сечении и по ней наметить положение опасных точек.
Эпюра напряжений а строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения. Поскольку поверхность напряжений есть плоскость, эпюра а будет ограничена прямой, наклонной к оси эпюры (см. рис. 9.2). (Опасными будут точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной линий. Напряжения в опасных точках определяются по формуле (9.1) путем подстановки в нее координат этих точек.
Иногда опасные точки можно находить, не определяя положения нейтральной оси сечения. Так, в приведенном выше примере изгиба консольного бруса, опасными могут быть только точки А и В (см. рис. 9.2), поскольку в этих точках напряжения от моментов имеют наибольшие значения и одинаковые знаки. Во всех остальных точках сечения суммарные напряжения будут по абсолютной вё-личине меньше, чем в точках А и В.
Механические свойства материала определяют, какая из двух указанных точек является более опасной. Так, (если материал бруса одинаково работает на растяжение и сжатие, то точки А и В равноопасны. Если же материал хуже работает на растяжение, чем на сжатие, то опасной будет точка А, так как в ней действует наибольшее растягивающее напряжение.
Условие прочности при косом изгибе напишется так:
Здесь — координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения — допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.
Из формулы (9.2) следует, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения, т. е. является нейтральной осью, и наклонена к оси под углом
В рассматриваемом примере так как согласно правилу знаков . В то же время тангенс угла наклона вектора к оси или, что то же самое, тангенс угла между нормалью к плоскости действия суммарного изгибающего момента в сечении и осью как видно из рис. 9.2,
Таким образом, в общем случае между углами а и Р существует следующее соотношение:
Так как то угол а не равен углу Следовательно, при косом изгибе, в отличие от плоского изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол
Если то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось сечения является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.
При изгибе поперечные сечения бруса, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг нейтральной линии и смещаются в направлении нормали к этой линии. Следовательно, при косом изгибе смещение центра сечения будет происходить не в плоскости действия изгибающего момента. При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изгиба, т. е. плоскость, в которой расположена деформированная ось бруса, не будет совпадать с плоскостью действия нагрузки.
Если внешние силы и пары, изгибающие брус, будут расположены в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса (упругая линия) будет пространственной кривой.
Полное перемещение центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности, т. е.
Перемещения и в главных плоскостях бруса определяются способом Мора или другими методами, например с помощью дифференциального уравнения упругой линии.
Источник
Косой изгиб
Косым изгибом называют такой изгиб стержня, при котором силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей.
Косой изгиб, вызванный силами, лежащими в одной силовой плоскости, называется плоским косым изгибом. В этом случае изогнутая ось балки представляет собой плоскую кривую, не лежащую
в силовой плоскости.
Если же при косом изгибе действующие на стержень нагрузки не лежат в одной плоскости, то стержень будет испытывать пространственный косой изгиб. В таком случае изогнутая ось — пространственная кривая.
Рассмотрим пример плоского косого изгиба стержня прямоугольного сечения (рис. 7.1, а) [25, 26].
Сила /составляет угол ос с главной вертикальной осью сечения. Разложим силу /’на две составляющие, лежащие в главных плоскостях стержня:
(7.1)
Рх-Р$іпа Ру=Рсо$а.
Каждая составляющая силы /вызовет прямой изгиб: /х — в горизонтальной плоскости (вокруг оси у); Ру — в вертикальной плоскости (вокруг осих).
Следовательно, косой изгиб можно рассматривать как сумму двух прямых изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Найдем изгибающие моменты в произвольном сечении, находящемся на расстоянии г от свободного края:
(7.2)
Мх = /уг; Му = /хг.
Нормальное напряжение в произвольной точке К (см. рис. 7 Л, а), имеющей координаты х, у, можно найти как сумму напряжений от двух изгибов (рис. 7.1, б, в):
Рис. 7.1. Косой изгиб стержня:
а — расчетная схема; б — эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Му в — эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Мх
г — составляющие прогиба
Из этого уравнения можно найти положение нейтральной линии сечения, приравняв нормальные напряжения к нулю:
(MX/J;)y + {M,/J,)x=0,
откуда
y = -(MyJx)x/MxJy. (7.4)
Выразим изгибающие моменты Мх и Mv через внешнюю силу F:
у = ~(xF: sin a//7, cos а) (j х /Jv)
у = ~(х$та/со$а)^х^у) = -хХ%а{] х^ Л. (7.5)
Обозначив коэффициент при * через к, получим уравнение вида
У = кх,
где к = -Хёи.(]х/J}>У .
Известно, что это — уравнение прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести сечения) и наклоненной под некоторым углом ф к положительному направлению оси х, тангенс которого численно равен коэффициенту пропорциональности к, т. е.
к = Х%ц = -Ща^х/1уУ (7.6)
При прямом изгибе силовая и нейтральная линии сечения были взаимно перпендикулярны. Выясним, будут ли они перпендикулярными и при косом изгибе. Из курса математики известно условие перпендикулярности двух прямых:
к = -1/к1,
где кнкх — угловые коэффициенты прямых, численно равные тангенсам углов наклона этих прямых с положительным направлением оси абсцисс.
Из выражения (7.6) видно, что /х. фJy, tgф?^-tga.
Выразим угол а силовой плоскости через угол (3, который составляет силовая плоскость с положительным направлением оси х:
а = (90° — (3).
Подставим а = (90° — Р) в последнее неравенство:
tgф*-tg(90o-P),
но
tg(90o-P) = ctgP = l/tgP.
Тогда tgф*-l/tgp или
к ф -1Д| .
Это значит, что силовая и нейтральная линии не будут перпендикулярны. Кроме того, нулевая и силовая линии проходят через разные квадранты сечения. Так, в нашем примере силовая линия проходит через первый и третий квадранты, а нулевая — через второй и четвертый.
Зная положение нейтральной линии, легко определить наиболее удаленные от нее точки и, найдя их координаты, вычислить максимальные напряжения в зоне растяжения и сжатия. В приведенном примере это будут точки В и й. В точке й — максимальное напряжение растяжения, в точке В — сжатия:
°0={Мх/-‘Х)У0+{Му/'[у)х0 •
Уп = Ь/2, хп=Ь/2.
Тогда
откуда
Аналогично получим выражение для максимально нагруженной точки в зоне сжатия:
Для сечения простой формы опасная точка находится сразу. В случае сечения сложной формы (рис. 7.2) опасную точку находят графически [24].
Рис. 7.2. Определение опасной точки сечения сложной формы
На вычерченном в масштабе сечении проводят главные центральные оси х и у, строят нейтральную линию, затем, передвигая угольник параллельно нейтральной линии, определяют максимально удаленную точку, координаты хк, ук которой снимают непосредственно с чертежа.
При косом изгибе, как и при прямом, закон распределения напряжений линейный. Зная максимальные напряжения, можно построить эпюру напряжений. Хотя пространственные эпюры более наглядны (рис. 7.1, б, в), чаще строят плоские эпюры. На рис. 7.3 показано построение плоских эпюр для случая, соответствующего рис. 7.1. Условие прочности при косом изгибе будет иметь вид
(7.7)
max
Рис. 7.3. Построение плоских эпюр взамен пространственных
Для выполнения расчетов на жесткость при косом изгибе необходимо знать максимальный полный прогиб, который может быть определен на основе принципа независимости действия сил.
Сначала следует найти отдельно прогибы балки в главных плоскостях так, как это было указано в главе 5, а затем их геометрически сложить.
Так, для нашего примера
fx = F//3EJV = Fsinal3/3EJy ,
fy = F//3EJX = Ecosal}/3EJx полный прогиб свободного конца (рис. 7.1, г) будет равен
/=7л2+Л2 ?
Найдем направление прогиба, обозначив угол между полным прогибом и прогибом в направлении оси х через у.
Тогда
tg У = 4 /Л = (л3 cosa/зял,) ? (зшу If $тЫг) = Jy cosa /J х sin a
/-{/у/1х)Ъ
(7.9)
а =
(7.8)
Подставив (7.9) в выражение (7.8), получим
1ЕУ = (/у/^)[-(1Л8Ф)(/х//>,)] = -1А§Ф,
откуда видно, что направление полного прогиба перпендикулярно к нулевой линии и, следовательно, не совпадает с силовой линией (ранее было показано, что нулевая линия не перпендикулярна силовой), а это, в свою очередь, подчеркивает, что стержень деформируется косо, не в силовой плоскости.
Пример 7.1 [25, 26]. Проверить прочность и жесткость стальной балки, изображенной на рис. 7.4, я, если [о] = 100 МПа, допускаемое значение прогиба 1/1 = //400.
Рис. 7.4. К определению прочности и жесткости балки:
а — расчетная схема; б — эпюра поперечных сил; в — эпюра изгибающих
моментов
Для нахождения момента в опасном сечении строим эпюру изгибающих моментов, предварительно определив реакции. Из симметрии нагружения балки
Ул = У, = чЧ 2-
Опасным будет сечение под серединой балки (рис. 7.4, в), о котором возникает максимальный изгибающий момент
М„ш т, = (?//2)(//2) — («?//2)(//4) = ?/2/8.
Найдем составляющие изгибающего момента:
мтжх = (/2/8)со5ос; Мтаху =(ч12/&упа ,
или, подставив численные значения,
Л/тах,=(и і03-42/8)-0,866 = 1,9 Ю3 Н м,
М
тах у
= (і,2• 103 • 42/8)-0,5 = 1,2-106 Н м.
В точке /) возникают наибольшие напряжения растяжения, а в точке С — сжатия:
а„.с = ±Мх/П’х±Му/Н’у.
Подставив численные значения А/л. и Му и взяв моменты сопротивления сечения из ГОСТ 8239-72: 1?х = 184 см3, ?у = 23,1 см3, получим
адс=±1,9 103/184 10_6±1,2 103/23,М0″6=±62 1 06 Па6 Па.
Найдем прогиб в вертикальной и горизонтальной плоскостях, используя табл. 7.2 [10]: Д. =ц^,=дсо$а; /д = 1840 см4; У^ =115 см4:
/у = (5/384) • {qylЛ|EJx ) = (5 1,2 103 0,866 44)/(384 2 1011 1840-10-8) =
= 0,95 -10_3 м;
/д = (5/384) • (^л./4/?У) = (5 • 1,2 • 103 • 0,5 • 44)/(384 • 2 • 1011 • 115 • 10-8) =
= 8,7-10_3 м.
Полный максимальный прогиб вычислим по формуле
/ = ч/Л2 +1] = А?2 + 0,952 = 8,8 мм.
Найдем 1/1:
[/] = //400 = 4000/400 = 10 мм.
Так как / = 8,8
Источник
Косой изгиб, основные понятия и определения. Силовые плоскости и линии. Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса. Уравнение нулевой линии. Построение эпюр нормальных напряжений. Расчет на прочность при косом изгибе по предельному состоянию. Определение прогибов.
Понятие о внецентренном сжатии (растяжении). Условия возникновения внецентренного сжатия (растяжения). Понятие об эксцентрситете. Внецентренное сжатие бруса большой жесткости (случай, когда точка приложения силы лежит на одной из главных осей инерции, и общий случай.) Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса. Уравнение нулевой линии. Построение эпюр нормальных напряжений. Ядро сечения и его свойства.
Построение контура ядра простейших сечений (прямоугольного, кругового). Расчет на прочность.
Литература: 4,с.251-267.
Методические указания
При изучении данной темы следует ознакомиться с основными понятиями и определениями: силовая плоскость, нулевая линия, эксцентриситет, ядро сечения. Знать основные формулы расчета на прочность при косом изгибе и внецентренном сжатии. Следует особое внимание уделить понятию ядра сечения и его основным свойствам.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какой случай нагружения называется косым изгибом? 2.Какие элементы строительных конструкций работают на косой изгиб? 3. Может ли балка круглого сечения находиться в состоянии косого изгиба. 4.Как определяют нормальные напряжения в сечениях балки при косом изгибе? 5. Как определяют перемещения сечений балки при косом изгибе. 6.Напишите условия прочности при косом изгибе по допускаемым напряжениям и по предельному состоянию. Какие задачи могут быть решены с помощью этого условия? 7. Какой случай нагружения назы
вается внецентренным сжатием (растяжением)? 8. По каким формулам определяют нормальные напряжения в поперечных сечениях внецентренно нагруженного бруса большой жесткости? Какой вид имеет эпюра этих напряжений? 9 Как определяют положение нейтральной оси при внецентренном сжатии или растяжении? 10. Что такое ядро сечения? Как оно строится и в каких случаях нужно его построение?
Тема 2.7. Устойчивость центрально — сжатых стержней
Понятие об устойчивых и неустойчивых формах равновесия центрально-сжатых стержней. Явление продольного изгиба. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня. Эмпирическая формула Ясинского-Тетмайера.
Расчет центрально-сжатых стержней на устойчивость с применением коэффициента продольного изгиба. Рациональные формы поперечного сечения сжатых стержней.
Литература: 1,с.120-124; 4,с.267-278; 6,с.253-259.
Методические указания
Изучая данную следует уяснить понятия: устойчивая и неустойчивая формы равновесия центрально-сжатых стержней, критическая сила, критическое напряжение, гибкость, коэффициент продольного изгиба, коэффициент приведения длины. В случае сжатия стержня, размеры которого малы по сравнению с длиной, нужно решать вопрос об устойчивости. Необходимо усвоить основные расчетные формулы и методику подбора сечения центрально-сжатого стержня.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.В чем сущность явления продольного изгиба? 2. Что называется критической силой и критическим напряжением? 3.Какой вид имеет формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами? 4. Как записывается формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня в общем случае? 5.Как влияет жесткость ЕI поперечного сечения и длина стержня на критическую силу? 6. Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера? 7.Что называется приведенной длиной стержня? 8. Что называется коэффициентом приведения длины стержня? Укажите его значение для четырех основных случаев закрепления стоек. 9. Что такое гибкость стержня? 10. Укажите пределы применимости формулы Эйлера. 11. В каких случаях при расчете сжатых стержней применяют эмпирические формулы? 12. Как рассчитывают продольно- сжатые стержни с применением коэффициента продольного изгиба по предельному состоянию и по допускаемому напряжению?
Практическая работа N11
Подбор сечения центрально-сжатой колонны составного сечения и проверка её устойчивости.
Работа выполняется самостоятельно. Ознакомьтесь с содержанием и методикой проведения этой работы в Л. 11, инструкционно-технологическая карта № 11.
В рабочей тетради сделайте краткое описание последовательности ее выполнения.
Источник