Условие равнопрочности при растяжении
В случае кручения, изгиба и сложных напряженных состояний, когда равенство напряжений по сечению принципиально недостижимо, равнопрочными считают детали, у которых одинаковые максимальные напряжения в каждом сечении (с учетом концентрации напряжений).
При изгибе условие равнопрочности заключается в равенстве отношения рабочего изгибающего момента, действующего в каждом данном сечении, к моменту сопротивления данного сечения. При кручении это условие состоит в равенстве моментов сопротивления кручению каждого сечения детали; при сложных напряженных состояниях — в равенстве запасов прочности.
Понятие равнопрочности применимо и к нескольким деталям, и к конструкции в целом. Равнопрочными являются конструкции, детали которых имеют одинаковый запас прочности по отношению к действующим на них нагрузкам. Это правило распространяется и на детали, выполненные из различных материалов. Так, равнопрочными являются стальная деталь с напряжением 200 МПа при пределе текучести σ0,2 = 600 МПа и деталь из алюминиевого сплава с напряжением 100 МПа при σ0,2 = 300 МПа. В обоих случаях коэффициент запаса прочности равен 3. Значит обе детали одновременно придут в состояние пластической деформации при повышении втрое действующих на них нагрузок. Независимо от этого каждая из сравниваемых деталей может еще обладать равнопрочностью в указанном выше смысле, т. е. иметь одинаковый уровень напряжений во всех сечениях.
Рабочие нагрузки и напряжения определяют расчетом. Деталь, рассчитанная как равнопрочная, будет действительно равнопрочной, если расчет правильно определяет истинное распределение напряжений во всех ее частях, что далеко не всегда имеет место.
Формы, требуемые условием равнопрочности, иногда трудно выполнить технологически, и их приходится упрощать. Неизбежные почти во всякой детали дополнительные элементы (цапфы, буртики, канавки, выточки, резьбы), вызывающие иногда местное усиление, а чаще концентрацию напряжений и местное ослабление детали, также вносят поправки в истинное распределение напряжений в детали.
По всем этим причинам понятие равнопрочности деталей относительно. Конструирование равнопрочных деталей практически сводится к приблизительному воспроизведению оптимальных форм, диктуемых условием равнопрочности, при всемерном уменьшении влияния всех источников концентрации напряжения.
Следует иметь в виду, что при прочих одинаковых условиях жесткость равнопрочных деталей меньше, чем жесткость деталей, имеющих хотя бы местные повышенные запасы прочности.
Выигрыш в массе от применения принципа равнопрочности зависит от типа нагружения и способа придания равнопрочности. Некоторое представление о порядке выигрыша в массе (а также снижения жесткости) дает пример консольных балок, нагруженных изгибающей силой Р (табл. 5).
На рис. 33 представлены способы придания равнопрочности цилиндрической детали, опертой по концам и подвергающейся изгибу поперечной силой, приложенной посередине пролета.
Случай 1. Равнопрочность детали придана изменением ее наружной конфигурации вдоль оси.
Максимальное нормальное напряжение в центральном сечении исходной цилиндрической детали 1 (рис. 33, а)
где М0 — изгибающий момент в центре балки, равный произведению опорной реакции на расстояние 0,5L от центрального сечения до плоскости действия опорной реакции.
Максимальное напряжение в произвольном сечении
где М = М02l/L — изгибающий момент в данном сечении; I — расстояние сечения от плоскости опорной реакции.
Следовательно,
Максимальное напряжение в любом сечении равнопрочной детали должно быть постоянным:
отсюда, текущий диаметр равнопрочной детали
Профиль равнопрочной детали 1 приведен на рис. 33, б. На рис. 33, в показано конструктивное оформление равнопрочной детали 1 для случая шестерни-вала, опертого на два подшипника качения. Формы равнопрочности упрощены. К телу детали присоединены цапфы для установки подшипников.
Случай 2. Равнопрочность детали 2 достигнута удалением материала изнутри при постоянстве наружного диаметра.
Условие равнопрочности
где а — отношение переменного диаметра d внутренней полости к постоянному наружному диаметру D0 детали.
Текущий диаметр отверстия
Профиль равнопрочной детали 2 для этого случая показан на рис. 33, б, а конструктивное оформление — на рис. 33, в.
Большой выигрыш в массе (масса равнопрочной детали составляет только 0,3 массы исходной) является результатом применения в данном случае наряду с принципом равнопрочности также принципа равного напряжения сечений.
Следует отметить, что при этом способе придания равнопрочности диаметр опорных подшипников увеличивается, что несколько уменьшает выигрыш в массе.
Случай 3. Равнопрочность полой детали 3 достигнута изменением ее наружной конфигурации.
По условию равнопрочности переменный наружный диаметр детали
где a0 = d0/D0 — отношение диаметра отверстия к наружному диаметру исходной детали; а — текущее значение d0/D для равнопрочной детали.
На рис. 33, б и в показаны профиль и конструктивное оформление равнопрочной детали.
Выигрыш в массе при умеренных значениях d0 в данном случае близок к выигрышу в случае детали 1.
Случай 4. Равнопрочность полой детали 4 достигнута применением конфигурации внутренней полости.
Из условия равнопрочности текущий диаметр внутренней полости
где а0 = d0/D0 — отношение диаметра внутреннего отверстия к наружному диаметру исходной детали.
Профиль и конструктивное оформление равнопрочной детали показаны на рис. 33, б и в.
Выигрыш в массе в этом случае близок к выигрышу в случае 2.
Снижение жесткости равнопрочных деталей можно предотвратить уменьшением напряжений (что, естественно, уменьшает выигрыш в массе) или применением в каждом отдельном случае рационального способа придания равнопрочности.
Так, равнопрочная деталь 2 (рис. 33, б), выполненная способом удаления металла изнутри, гораздо жестче детали 1, хотя уступает по жесткости исходной массивной цилиндрической детали 2 (рис. 33, а).
Фланцевый вал I (рис. 34, а), нагруженный постоянным крутящим моментом, на участке между фланцем и шлицами неравнопрочен. Напряжения максимальны на шлицевом участке; между шлицами и фланцем, где наружный диаметр вала увеличен, напряжения значительно меньше. Расчет из условия постоянства момента сопротивления кручению по сечениям вала приводит к равнопрочной конструкции II.
Конструкция вала-шестерни I (рис. 34, б) со сквозным отверстием постоянного диаметра при всей простоте и технологичности является неравнопрочной. Вал II со ступенчатой расточкой приближенно равнопрочен. Вал III представляет собой тщательно отработанную конструкцию (с целью повышения циклической прочности) с плавными очертаниями внутренней расточки.
Валы II и особенно III значительно дороже в изготовлении. Однако необходимость облегчения детали и повышения сопротивления усталости часто оправдывает усложнение и удорожание производства.
Особенно важно соблюдать условия равнопрочности для дисковых деталей, вращающихся с большой частотой (роторы турбин, центробежные и аксиальные компрессоры). Центробежные силы, возникающие в таких деталях, вызывают напряжения, возрастающие по направлению к ступице в результате суммировании центробежных сил кольцевых слоев металла по направлению от периферии к центру. Условие равнопрочности в данном случае требует утонения диска к периферии. Эта мера уменьшает массу диска; удаление металла с периферии способствует снижению максимальных напряжений в ступице.
Расчет равнопрочных быстроизнашивающихся дисков сложен, так как в ряде случаев приходится учитывать тепловые напряжения, возникающие от неравномерности температурного поля диска. Во многих случаях картина осложняется явлением теплового удара, вызываемого на некоторых режимах работы неустановившимися потоками тепла от периферии к центру или наоборот.
Равнопрочность узлов. Осуществление принципа равнопрочности в узлах и соединениях рассмотрим на примерах.
Конструкция соединения звеньев цепного конвейера 1 (рис. 35) неравнопрочна по трем признакам:
- запас прочности на разрыв у основания b проушин верхнего звена меньше, чем у нижнего, в 1,5 раза (отношение числа проушин на том и другом звеньях);
- запас прочности на срез пальца диаметром d (при обычном соотношении прочности на срез и разрыв 0,7) в 2 раза меньше запаса прочности на разрыв в проушинах нижнего звена;
- запас прочности на разрыв проушин по диаметру D в 1,5 раза больше, чем в их основании.
В равнопрочной конструкции 2 суммарная ширина оснований проушин верхнего и нижнего звеньев одинакова, что обеспечивает равенство напряжений в проушинах. Диаметр пальца увеличен, а стенки проушин утонены из условия равнопрочности.
В конструкции 3 равнопрочность пальца и проушин достигнута увеличением числа плоскостей среза до шести (вместо четырех в предыдущих конструкциях), вследствие чего диаметр пальца может быть уменьшен в √(2/3) = 0,8 раза по сравнению с конструкцией 2.
Конструкция тендера 4 неравнопрочна: элементарный расчет показывает, что напряжения разрыва в кольцевом сечении тендера в 3 раза меньше, чем в нарезных стержнях. Полная равнопрочность в данном случае неосуществима из-за технологически недопустимого утонения стенок тендера. В технологически приемлемой конструкции 5 запас прочности в тендере все же в 2 раза больше, чем в стержнях.
В качестве общего замечания к данному примеру отметим, что кольцевые сечения очень обманчивы при зрительной оценке на прочность. Прочность на разрыв таких деталей пропорциональна квадрату, на изгиб и кручение — кубу, а жесткость — четвертой степени диаметра. При глазомерной оценке конструктор обычно впадает в ошибку, заключающуюся в преувеличении размеров кольцевых деталей.
Источник
2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник