Условие прочности при внецентренном растяжении
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. Рассмотрим, например, колонну, на которую опирается балка перекрытия (рис. 11.11). Поскольку сила Р, характеризующая передачу нагрузки от балки на колонну, действует по отношению к ее оси с эксцентриситетом е, колонна испытывает сжатие с изгибом. При этом в поперечных сечениях колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна М = Ре.
Таким образом, внецентренное растяжение и сжатие стержня имеют место в случае, когда нагрузки действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. Будем рассматривать в основном задачи внецентренного сжатия, наиболее характерные для элементов строительных конструкций. При внецентренном растяжении во всех приводимых ниже формулах надо изменить знак перед силой Р на противоположный.
Рассмотрим стержень, нагруженный на торце внецентренно приложенной в точке К сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох (рис. 11.12, а). Обозначим координаты точки приложения силы через ур и zp- Перенесем силу в центр тяжести сечения и согласно правилам статики добавим два момента Mz=—Pyp и Му = —Pzp (рис. 11.12, б). При этом внутренние усилия в произвольном поперечном сечении стержня будут равны:
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Согласно принятому правилу знаков внутренние усилия являются отрицательными, поскольку в точках первой четверти сечения они вызывают сжатие. Отметим также, что величины внутренних усилий не изменяются по длине стержня и, таким образом, распределение нормальных напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставив (11.11) в (11.1), получим формулу для определения нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где iy, iz — главные радиусы инерции сечения, определяемые по формулам:
Приравняв выражение (11.12) к нулю, получим уравнение нулевой линии
Полагая в этом уравнении последовательно у = 0 и z — 0, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проведем нулевую линию (рис. 11.13), в каждой точке которой о = 0. Отметим, что при внецентренном сжатии (растяжении) нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, а ее положение не зависит от величины силы Р.
Поскольку знаки величин ^и^ противоположны знакам соответственно zp и у , нулевая линия проходит через те четверти системы координат, которые не содержат точки приложения силы (рис. 11.13).
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Положение нулевой линии зависит от геометрических характеристик сечения и от координат точки приложения силы. При этом величины Zq, zp и у0, ^являются обратно пропорциональными по отношению друг к другу.
Исследуем изменение положения нулевой линии при перемещении точки приложения силы вдоль прямой, проходящей через центр тяжести сечения. Из формул (11.14) следует, что все нулевые линии будут при этом параллельными, причем при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения величины zp и у уменьшаются и нулевая линия удаляется от него, и наоборот (рис. 11.14).
Нетрудно доказать также следующее положение. Если точка приложения силы перемещается вдоль прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается относительно некоторой точки (рис. 11.15). Справедливо и обратное утверждение. Это свойство используется при построении особой фигуры — ядра сечения.
Рис. 11.16
Рис. 11.15
Нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону, увеличиваясь по абсолютной величине по мере удаления от нулевой линии. Эпюра о строится на прямой, перпендикулярной к нулевой линии. При этом она может быть разнозначной или однозначной (см. рис. 11.14). Последнее имеет место в случае, если точка приложения силы Р расположена вблизи центра тяжести сечения. Напомним, что при центральном сжатии или растяжении нормальные напряжения являются одинаковыми по величине, а эпюра с представляет собой прямоугольник.
В точках прямой, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной нулевой линии, нормальные напряжения равны °о =—P/F.
Рассмотрим случай разнозначной эпюры с (рис. 11.14, а). Так же как и при косом изгибе, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии (угловые точки А и В на рис. 11.14). Для произвольного сечения эти точки и их координаты устанавливаются с помощью касательных к сечению, параллельных нулевой линии (например, точка А на рис. 11.16). В общем случае онбф |онм|.
Если материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо обеспечить выполнение двух условий прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям в точках А и В:
где Rp и Rc — расчетные сопротивления материала при растяжении и сжатии; zA, УА и zB, У в ~ координаты наиболее напряженных точек сечения.
Из условий прочности (11.15) можно определить величину предельной расчетной силы.
Для стержней из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (R^ = Rc = R), а также в случае однозначной эпюры о (рис. 11.14, б) достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности по точке с наибольшими по абсолютной величине напряжениями.
В инженерной практике чаще имеет место случай внецент- ренного сжатия (или растяжения), когда точка приложения силы Р расположена на одной из главных осей (рис. 11.17, а). При этом согласно формулам (11.14) нулевая линия параллельна другой главной оси (рис. 11.17, б). Нормальные напряжения определяются по двухчленной формуле. Например, для случая, показанного на рис. 11.17, имеем
Рис. 11.17
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка, чугун и др.) плохо сопротивляются растяжению. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов, работающих на вне- центренное сжатие, нежелательно появление растягивающих нормальных напряжений. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы расположена внутри или на границе некоторой области вокруг центра тяжести, которая называется ядром сечения.
Граница или контур ядра строится с помощью нулевых линий, которые являются касательными к сечению. При этом координаты точек контура ядра определяются с помощью формул
(11.14):
Здесь у0, Zq — координаты точек пересечения нулевых линий, касательных к контуру сечения, с осями координат; ур, zp — координаты точек контура ядра, соответствующие положению данной касательной.
Таким образом, если точка приложения силы расположена на контуре ядра, то нулевые линии являются касательными к сечению, а эпюра с представляет собой треугольник. При приложении силы внутри ядра нулевая линия проходит вне сечения (условная нулевая линия) и эпюра о является трапецией.
Ядро сечения содержит центр тяжести и является выпуклой фигурой, поскольку соответствующие границе ядра нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
При построении контура ядра его точки надо соединить соответствующими линиями. Если нулевые линии, касательные к сечению, перемещаются при переходе от одного положения к другому путем поворота вокруг угловых точек, то на основании изложенного выше положения линии контура ядра являются прямыми.
Рис. 11.18
Рис. 11.19
Рис. 11.20
Построим ядро сечения для некоторых фигур. Для прямоугольника достаточно провести две нулевые линии, являющиеся касательными к сечению (рис. 11.18). Для касательной 1 — 1 имеем у() = И/2 и Zq= °°. Учитывая, что
определяем координаты точки 1 контура ядра сечения:
Аналогично для касательной 2—2 находим координаты точки 2: zp = — b/6, ур = 0. Точки 3 и 4 расположены симметрично по отношению к точкам 1 и 2. Ядро сечения представляет собой ромб с длинами диагоналей h/З и Ь/3 (рис. 11.18).
Ядро сечения для двутавра также представляет собой ромб, значительно вытянутый вдоль оси Оу (рис. 11.19), поскольку J. » Jy. Ядро сечения для швеллера является четырехугольником, симметричным относительно оси Oz (рис. 11.20).
При построении ядра сечения для круга достаточно провести одну касательную 1—1 (рис. 11.21), для которой у0 = R, Zq = °°.
Рис. 11.21
Рис. 11.22
Учитывая, что для круга
находим координаты точки 1:
Очевидно, что ядро сечения для круга представляет собой также круг с радиусом г = R/4. Такой же вид имеет ядро для кольцевого сечения (рис. 11.22), однако радиус ядра значительно больше, чем для сплошного круга. Нетрудно показать, что при 5 « R2 радиус ядра сечения приближенно равен Rq/2, где Rq — средний радиус кольца.
Рис. 11.23
При построения ядра сечения, показанного на рис. 11.23, достаточно провести четыре касательные к сечению и определить координаты четырех точек контура ядра. Точки 1, 2 и 3 надо соединить прямыми линиями. Контур ядра между точками 3, 4 является криволинейным. Точки 5 и 6 симметричны по отношению к точкам 3 и 2.
Пример 11.5. Для короткого чугунного стержня коробчатого сечения, испытывающего внецентренное сжатие (рис. 11.24, а), определим расчетную величину силы Р из условий прочности. Построим эпюру о и ядро сечения. В расчетах примем Rp = = 50 МПа = 5 кН/см2, Rc = 150 МПа = 15 кН/см2 и ус = 1,0.
Рис. 11.24
Определяем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 11.24, б):
Координаты точки приложения силы Р равны: ур = 6 см, zp — = —4,5 см. Определяем по формулам (11.14) величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проводим нулевую линию, которая пересекает сечение и делит его на зоны растяжения и сжатия. Эпюра с является разнозначной (рис. 11.24, б). Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в угловых точках Ли В, наиболее удаленных от нулевой линии. Координаты этих точек равны: уА = —6 см, zA = 4,5 см, ув= 6 см, zB = —4,5 см.
Из условий прочности при растяжении и сжатии находим два значения расчетной силы Р:
Для обеспечения прочности стержня в зонах растяжения и сжатия принимаем с округлением меньшую силу Р = 100 кН. При этом напряжения в точках Ли В равны:
Прочность стержня обеспечена. Эпюра о приведена на рис. 11.24, б.
Для построения ядра сечения достаточно провести две нулевые линии, касательные к контуру сечения, и определить координаты двух точек контура ядра.
Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Проведенные касательные соответствуют точкам 1 и 2 контура ядра сечения. Симметрично расположены точки 3 и 4. Поскольку касательные переходят из одного положения в другое путем поворота вокруг угловых точек сечения, все линии контура ядра являются прямыми. Ядро сечения представляет собой ромб (рис. 11.24, б). Так как точка приложения силы принадлежит одновременно касательным 1—1 и 2—2 , нулевая линия проходит по линии контура ядра 1—2.
Пример 11.6. Для короткого стального стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного сжатия (рис. 11.25, а), определим величину расчетной силы Риз условия прочности. В расчетах примем Р = 210МПа = 21 кН/см2 и ус = 0,9. Построим эпюру о и ядро сечения.
Поскольку zp = 0, данная задача относится к частному случаю внецентренного сжатия. Определяем необходимые геометрические характеристики сечения:
Определяем положение нулевой линии:
Рис. 11.25
Нулевая линия параллельна оси Oz и не пересекает сечение. Эпюра а является однозначной (рис. 11.25, б). Наибольшие сжимающие напряжения действуют в крайних верхних точках сечения (у = ув = —11 см). Из условия прочности определяем расчетное значение силы Р:
При действии силы Р = 744 кН наибольшие сжимающие напряжения в крайних верхних точках сечения по абсолютной величине равны уCR = 189 МПа. Определяем напряжения в крайних нижних точках сечения (у = уА= 11 см):
Напряжения в поперечных сечениях стержня являются сжимающими. Эпюра а приведена на рис. 11.25, б.
Ядро сечения представляет собой ромб, координаты вершин которого определяем с помощью двух касательных к сечению. Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Точка приложения силы расположена внутри ядра сечения (рис. 11.25, б).
Источник
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник