Условие прочности при осевом центральном растяжении сжатии имеет вид
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Ульяновское высшее авиационное училище
Гражданской авиации (институт)
И.Н. Карпунина
Н.Ф. Леденева
И.А. Мельникова
И.Е. Сиднева
МЕХАНИКА
Методические указания
по выполнению расчетно-графических работ
(раздел «Сопротивление материалов»)
Ульяновск 2012
ББК В2
К 26
Карпунина, И. Н. Механика : метод. указания по выполнению расчетно-графических работ (раздел «Сопротивление материалов») / И. Н. Карпунина, Н. Ф. Леденева, И. А. Мель-никова, И. Е. Сиднева. – Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2012. – 44 с.
Содержат задания и методические рекомендации по выполнению расчетно-графических работ по курсу «Механика» (раздел «Сопротивление материалов»). Для каждой темы приведены 30 вариантов схем, для каждой схемы – по 10 вариантов числовых значений.
Предназначены для курсантов направления 161000.62 – Аэронавигация, профилей подготовки 161000.62.08 – Поисковое и аварийно-спасательное обеспечение полетов воздушных судов и 161000.6209 – Обеспечение авиационной безопасности; для курсантов направления 280700.62 – Техносферная безопасность, профиля подготовки 280700.62.02 – Безопасность технологических процессов и производств.
Печатается по решению Редсовета института.
© Ульяновское высшее авиационное училище
гражданской авиации (институт), 2012
оглавление
1. Растяжение и сжатие. 4
1.1. Основные понятия. 4
1.2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений
и осевых перемещений. 6
1.3. Условие прочности при растяжении (сжатии) 8
1.4. Задание на расчетно-графическую работу № 1. 9
1.5. Пример выполнения расчетно-графической работы № 1. 9
1.6. Варианты расчетных схем.. 13
2. Сдвиг и кручение. 19
2.1. Основные понятия. 19
2.2. Задание на расчетно-графическую работу № 2. 20
2.3. Пример выполнения расчетно-графической работы № 2. 21
2.4. Варианты расчетных схем.. 24
3. Изгиб. 28
3.1. Основные понятия. 28
3.2. Задание на расчетно-графическую работу № 3. 30
3.3. Пример выполнения расчетно-графической работы № 3. 30
3.4. Варианты расчетных схем.. 34
Библиографический список. 42
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Основные понятия
Растяжение (сжатие) – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N. При растяжении продольная сила направлена от сечения, при сжатии – к сечению.
На растяжение (сжатие) работают тросы, тяги приводов управления, шатуны, болты и многие другие детали.
Как показывает опыт, плоские поперечные сечения, перпендикулярные оси бруса, остаются плоскими и перпендикулярными к его оси при растяжении или сжатии (рис. 1.1). Это положение называют гипотезой плоских сечений. Из этой гипотезы следует, что напряжение во всех точках поперечного сечения одинаково, а значит, его можно найти как отношение внутренней силы N к площади поперечного сечения А.
Рис. 1.1
В поперечном сечении I–I при растяжении (сжатии) возникает только нормальное напряжение s, так как сила N перпендикулярна плоскости сечения:
. (1.1)
Под действием растягивающей силы (рис. 1.2) происходит удлинение бруса в продольном направлении и одновременное сужение в поперечном направлении.
Рис. 1.2
Абсолютное удлинение бруса:
. (1.2)
Относительное удлинение (относительная продольная деформация):
.(1.3)
Абсолютное сужение:
. (1.4)
Относительное сужение (относительная поперечная деформация):
. (1.5)
При растяжении абсолютная и относительная продольные деформации – величины положительные, поперечная деформация – величина отрицательная (так как ). При сжатии, наоборот, поперечная деформация – положительна, продольная – отрицательна.
Как показывает опыт, продольная и поперечная деформации связаны прямопропорциональной зависимостью:
, (1.6)
где m – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – физическая постоянная материала, характеризующая его упругие свойства.
Величина коэффициента Пуассона определяется опытным путем. Его значения для разных материалов лежат в пределах . Для большинства сталей m = 0,3.
Для большинства материалов в определенных пределах справедлив закон Гука. Применительно к растяжению (сжатию) закон Гука формулируется так: нормальное напряжение при растяжении (сжатии) прямопропорционально относительной продольной деформации:
, (1.7)
где Е – модуль упругости (модуль Юнга) – физическая постоянная, характеризующая жесткость материала. Для сталей E = 2 × 105 МПа.
Подставим в формулу (1.7) зависимости для определения напряжения (1.1) и деформаций (1.3). Получим
,
откуда
. (1.8)
По формуле (1.8) определяют абсолютное удлинение (укорочение) бруса. Произведение EA называется жесткостью при растяжении (сжатии).
1.2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений
и осевых перемещений
Для проведения расчетов на прочность и жесткость необходимо знать, как изменяются продольные силы, нормальные напряжения и осевые перемещения по длине бруса. С этой целью строят специальные графики, называемые эпюрами. Рассмотрим построение эпюр на следующем примере.
Пусть ступенчатый брус с площадью поперечного сечения А в правой части и 2А – в левой нагружен осевыми силами F и 4F (рис. 1.3, а). Последовательность расчета бруса такова:
1. Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил и места изменения поперечного сечения.
2. Методом сечений на каждом участке определяем продольную силу N. Расчет начинаем со свободного конца бруса. Разрежем третий участок произвольным поперечным сечением и отбросим левую часть. Покажем оставшуюся часть бруса и заменим действие отброшен-ной части продольной силой N3 (рис. 1.3, б).
Составляем уравнение равновесия:
, , .
Таким образом, третий участок испытывает сжатие ( ). По аналогии на втором и первом участках имеем
, ,
т. е. первые два участка испытывают растяжение.
s
Для построения эпюры продольных сил (рис. 1.3, д) проводим нулевую линию 0–0 параллельно оси бруса. Будем откладывать положительные величины вверх, а отрицательные – вниз от нулевой линии. На первом участке , т. е. первые два участка испытывают
растяжение. Поскольку сечение было сделано произ-вольно, можно утверждать, что в любом сечении на первом участке , т. е. эпюра имеет вид прямо-угольника, высота которого в выбранном масштабе равна силе 3F и отложена вверх от нулевой линии.
Рис. 1.3
По аналогии строится эпюра на втором и третьем участках.
3. Находим нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса на каждом участке:
.
На первом участке продольная сила N1 = 3F, площадь поперечного сечения – 2А, поэтому
.
На втором и третьем участках имеем
, .
Откладывая от нулевой линии найденные значения в масштабе, строим эпюру нормальных напряжений (рис. 1.3, е). Из эпюры видим, в частности, что максимальное напряжение возникает на втором участке.
4. Вычисляем осевые перемещения Δ. В заделке перемещение отсутствует (Δ = 0), поэтому расчеты начнем с заделки. В начале первого участка (z = 0) Δ0 = 0. В конце первого участка (z = 2a) перемещение будет равно удлинению бруса на этом участке, которое найдем по формуле (1.8):
,
.
В конце второго участка (z = 3a) перемещение будет складываться из перемещения правого конца первого участка и удлинения второго участка:
.
По аналогии на третьем участке (z = 4a):
.
В промежуточных точках участков перемещения определяются точками прямых, соединяющих значения Δ на границах участков, так как удлинение прямопропорционально расстоянию до сечения. С учетом этого строим эпюру осевых перемещений (рис. 1.3, ж). Из эпюры, в частности, видно, что свободный конец бруса переместится вправо (знак «+») на величину
Иногда производится расчет по условию жесткости, в соответствии с которым максимальное перемещение сравнивается с допускаемым значением осевого перемещения [Δ]: .
Условие прочности при растяжении (сжатии)
При расчете на прочность по допускаемым напряжениям считается, что прочность обеспечена, если максимальное возникающее в нем напряжение не превышает допускаемого напряжения, поэтому при растяжении (сжатии) условие прочности имеет следующий вид:
, (1.9)
здесь
или
где sТ – предел текучести; sВ– предел прочности; [n] – заданный запас прочности.
Условие прочности позволяет решать три типа задач:
1. Определение необходимых размеров поперечного сечения бруса.
Из неравенства (1.9) находится необходимая площадь поперечного сечения бруса:
.
Если сечение бруса – круг, то, зная площадь сечения, находят его диаметр; если сечение – прямоугольник, то по заданному соотношению сторон находят их размеры. Сечение бруса может быть стандартным профилем (уголок, двутавр, швеллер), в этом случае по найденной площади сечения находят соответствующий профиль по ГОСТам сортамента проката.
2. Определение безопасной нагрузки для бруса.
Из условия прочности (1.9) допустимое значение продольной силы, возникающей в брусе, удовлетворяет следующему условию:
.
По найденному значению Ν определяется и безопасная внешняя осевая нагрузка F. Если продольная сила постоянна по длине бруса, то F = Ν.
3. Проверка прочности бруса.
По заданным нагрузкам и размерам бруса определяется максимальное напряжение, возникающее в нем, и сравнивается с допустимым. Расхождение этих величин характеризует недогрузку или перегрузку бруса:
.
Рекомендуется, чтобы эта величина лежала в пределах ± 5 %.
Если материал бруса по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, то проверку прочности ведут отдельно для растянутых и сжатых участков:
, .
Задание на расчетно-графическую работу № 1
Расчетно-графическая работа № 1 по теме «Растяжение и сжатие» включает две задачи: подбор сечений статически определимого бруса из хрупкого материала (чугуна) и определение безопасной нагрузки для статически определимого бруса.
Задача 1. Для чугунного бруса построить эпюру продольных сил. Из расчета на прочность подобрать размеры круглого и квадратного поперечных сечений участков бруса.
| Вариант | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |
| F, кH | ||||||||||
| sВР, МПа | ||||||||||
| sВС, МПа | ||||||||||
| [n] | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 3,5 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 3,5 |
Варианты расчетных схем к задаче 1 приведены на с. 13–15.
Задача 2. Для стального бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений. Из расчета на прочность по допускаемым напряжениям определить безопасное значение силы F. Вычислить перемещение точки приложения этой силы.
| Вариант | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |
| A, мм2 | ||||||||||
| l, мм | ||||||||||
| [s], МПа |
Варианты расчетных схем к задаче 2 приведены на с. 16–18.
Дата добавления: 2017-02-11; просмотров: 4181 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2021 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник