Три типа задач на прочность при растяжении и сжатии
1. Проверочный расчет
2. Проектный расчет или подбор сечения
3. Определение допускаемой нагрузки
20. Цель расчёта по предельным состояниям первой группы заключается в том, чтобы предотвратить наступление любого из предельных состояний первой группы ( общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, хрупкое, вязкое или иного характера разрушение, разрушение под совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных влияний внешней среды), т.е. обеспечить несущую способность как отдельной конструкции, так и всего здания в целом.
Несущая способность конструкции считается обеспеченной, если удовлетворяется неравенство типа
N ≤ Ф,
где N – расчётные, т.е. наибольшие возможные усилия, могущие возникнуть в сечении элемента ( для сжатых и растянутых элементов – это продольная сила, для изгибаемых – изгибающий момент)
Ф – наименьшая возможная несущая способность сечения элемента, подвергающегося сжатию, растяжению или изгибу. Она зависит от прочностных свойств материала конструкции, геометрии (формы и размеров) сечения , т.е.
Ф = [R;А ],
где R – расчётное сопротивление материала
А – геометрический фактор ( площадь поперечного сечения – при растяжении и сжатии, момент сопротивления – при изгибе.
Цель расчёта по предельным состояниям второй группы – не допустить ни одного из предельных состояний второй группы (прогибы, осадки, углы поворота, колебания и трещины), т.е. обеспечить нормальную эксплуатацию строительных конструкций или здания в целом.
Считается, что предельные состояния второй группы не наступят, если будет удовлетворено условие
f ≤fₑ,
где f (в общем случае) – это определённая из расчёта деформация конструкции.
Для изгибаемых элементов это прогиб конструкции, для стержневых систем – укорочение или удлинение стержней, для оснований – величина осадки.
fₑ — предельная деформация конструкции, которая определяется СНиП
21. Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).
При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.
а) б)
Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:
Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,
Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .
Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления
Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:
и
где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .
Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При площадь ; подставляя эти значения, имеем:
и
Отсюда
,
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления
Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка :
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.
Источник
При растяжении сжатии в поперечных сечениях возникает только нормальное напряжение:
где, А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (сжатии):
Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:
1. Проверять прочность стержня 5%;
2. Определять размеры поперечного сечения стержня (основная задача СМ):
3. Определять величину допускаемой продольной силы:
Расчеты на прочность.
В некоторых случаях работоспособность конструкции определяется величиной предельной деформации [Δl]:
где: Е – модуль продольной упругости.
Это неравенство называют условием жесткости, а расчеты – расчетами на жесткость.
Сдвиг
Сдвигомназывается такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – поперечная силаFy (Qy).
Если нагрузить брус, как показано на рисунке, то при определенной величине сил F произойдет срез – разделение бруса на 2 части по сечению АВ.
Касательные напряжения при срезе определяются соотношением:
где А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при срезе:
где [t] — допускаемое напряжение при срезе принимается:
[t] = (0,5÷0,6)·[σ]Р — для пластичных материалов;
[t] = (0,7÷0,9)·[σ]Р — для хрупких материалов.
На срез рассчитываются заклепочные, сварные, шпоночные и шлицевые соединения.
Кручение
Стержень, работающий на кручение называется валом.
Кручением называется такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – крутящий момент MZ (ТК). Его величину определяют методом сечений. Крутящий момент является моментом внутренних сил упругости и численно равен моменту внешних сил, действующих по одну сторону сечения.
Правило знаков для крутящих моментов представлено на плакате.
Наглядное представление о величине MZ в любом сечении вала дают эпюры крутящих моментов.
Определим крутящие моменты в нашем примере методом сечений от свободного конца:
— делаем сечение на первом участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа внешних моментов нет следовательно крутящий момент равен нулю.
— делаем сечение на втором участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент 2М. Следовательно крутящий момент в сечении на втором участке равен 2М, со знаком минус, согласно правила знаков
МZ = – 2М.
— делаем сечение на третьем участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент –2М и +3М. Следовательно крутящий момент в сечении на третьем участке равен 1М, со знаком плюс МZ = +М.
По полученным результатам строим эпюру МZ – график изменения крутящего момента вдоль вала.
На эпюрах моментов в местах приложения сосредоточенных моментов имеются скачки равные этим моментам.
Величина MZ в сечении заделки равна MR – моменту реакции заделки.
При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
В центре тяжести τ = 0 и Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:
где — полярный момент момент сопротивления при кручении:
для круга: Wρ ≈ 0,2·d3
для кольца: Wρ ≈ 0,2·D3(1-с4), где с=d/D;
для квадрата:WК = 0,208 f, где f – сторона квадрата.
Условие прочности при кручении:
Допускаемые напряжения при кручении:
[τ] = (0,5…0,7)·[σ]р.
Допускаемый крутящий момент:
[MZ]=Wρ·[τ]
Определение размеров сечения при кручении:
Диаметр круглого вала:
Изгиб
Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержня, при котором происходит искривление продольной оси стержня под действием внешних сил.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Балка, заделанная одним концом, называется консолью.
Если в поперечном сечении возникает только один ВСФ – изгибающий момент МИ (МХ или MY) – изгиб называют чистым. Если вместе с изгибающим моментом возникает поперечная сила Fy (QX или QY) – изгиб называют поперечным.
При изгибе к внешним силам относят: сосредоточенные и распределенные по длине силы, пары сил – моменты и силы реакции опор.
Последние находят из уравнений статики. Исходная схема заменяется расчетной, где опоры заменены силами – реакциями опор.
Для расчетной схемы составляются уравнения равновесия, из которых находят силы реакций опор. Рассмотрим пример.
Знак y означает, что реакция в точке В направлена в противоположную сторону. Меняем направление реакции в
точке В. FB= 0.5 кН
Направление реакции верно.
Обязательная проверка:
∑Fу= – F+ FА- q·b – FB=0
-1+3,5+2·1- 0,5=0 0=0
Реакции опор определены верно.
Внутренние силовые факторы при изгибе – изгибающий моментМИ (МХ) и поперечную силу Q (Fy) определяют методом сечений.
Поперечная сила Fx,Fy(Q) есть равнодействующая внутренних сил упругости действующих в плоскости поперечного сечения. Она равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных перпендикулярно к балке по одну сторону сечения.
Изгибающий момент МХ, МУ есть момент внутренних сил упругости. Он численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения. Он считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх.
Правило знаков.
Наглядное представление о характере изменения ВСФ по длине балки дают эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определим Fy и МХ в нашем примере и построим их эпюры. Балка имеет 3 характерных участка:
Первый участок: 0≤Z1≤ a
Fy= — F = — 1 кН
MX= — F·Z1
Z1=0 MX=0
Z1=a MX= – F·a= – 1 кН·м.
Второй участок: а≤Z2≤ a+в
Fy= — F+ FА – q·(Z2 — a);
MX= — F·Z2 +FA·( Z2 — a) – q·(Z2 — a)2/2;
Z2=а Fy= – F+ FА =2,5 кН;
MX= – FA ·a= – 1 кН·м;
Z2=а+в Fy= – F+ FА – q·в=0,5 кН;
MX= – F·(а + в) +FA·в – q·в2/2=0,5 кН·м.
Третий участок рассмотрим справа налево, т.к. метод сечений рекомендует рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше внешних сил.
Третий участок: 0≤Z3≤ с (оси сил расположены противоположно)
Fy= FВ = 0,5 кН;
MX= — FВ·Z3
Z3=0 MX=0
Z3=с MX= — FВ·с= — 0,5 кН·м.
По полученным значениям строим эпюры Fy и МХ.
Построение эпюр Fy и МХ позволяет определить напряжения в любом сечении балки. Поперечная сила складывается из элементарных касательных напряжений, а изгибающий момент – из элементарных нормальных напряжений.
Наиболее опасными являются нормальные напряжения при изгибе.
ПЛАКАТ 21
При изгибе волокна на вогнутой стороне укорачиваются – сжимаются, а на выпуклой стороне удлиняются – растягиваются. Между ними существует слой который остается исходной длины – его называют нейтральным слоем;
На нейтральном слое σ = 0. Наибольшие напряжения будут в поверхностных слоях:
где – осевой момент сопротивления или момент сопротивления сечения изгибу.
Для круга:
Для прямоугольника:
Для прокатных сечений значение WX дано в сортаменте.
Условие прочности при изгибе:
При проектном расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения через момент сопротивления:
Для круглого сечения WX=0,1·d3.
Теории прочности
При объемном напряженном состоянии существуют площадки, по которым действуют только нормальные напряжения. Эти напряжения называют главными:
При объемном напряженном состоянии, опыт не может дать однозначный ответ на вопрос «Какое из трех главных напряжений, или какое их сочетание вызывает нарушение прочности – разрушение или текучесть».
Поэтому для составления условий прочности приходится прибегать к гипотезам о причинах нарушения прочности.
Суть применения теорий прочности для оценки прочности материала, заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием.
I теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшее из главных напряжений:
σmax = σ1 ≤ [σ]
II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшая относительная деформация.
εmax ≤ [ε]
Учитывая, что , получаем:
III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является сдвиг, вызванный касательными напряжениями, при этом условие прочности:
τmax ≤ [τ]
учитывая что:
получим:
σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ]
Для плоского напряженного состояния :
ПЛАКАТ 24
IV теория прочности – энергетическая теория прочности.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является потенциальная энергия упругой деформации, накапливающаяся в единице объема материала. Условие прочности имеет вид:
U ≤ [U]
Выразив U и [U] через главные напряжения, получим:
Для плоского напряженного состояния:
V теория прочности – теория прочности Мора.
Условие прочности:
σэкв=σ1 – k·σ3≤[σ]
где
В настоящее время, в практических расчетах используют:
для пластичных материалов – III и IV теории прочности;
для хрупких материалов – теорию прочности Мора.
Источник
Сопротивление материалов
Решение задач на растяжение и сжатие
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.
Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:
s = σпред / σ,
где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.
Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:
[σ] = σпред / [s].
Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:
σmax≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].
Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σр] и [σс].
Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:
σ = N / А ≤ [σ]
и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.
На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:
— проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
— проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.
***
Растяжение под действием собственного веса
Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.
Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:
Σ Z = 0; Nz — Gz = 0, откуда:
Nz = Gz = γ А z,
где γ — удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.
Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:
σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,
т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:
σmax = γ l.
Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:
lпр = [σ] / γ.
***
Статически неопределимые задачи
Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.
Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.
Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2). 
При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.
Составим для стержня уравнение равновесия:
Σ Z = 0; RС — RВ = 0,
откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:
N = RС = RВ.
Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:
Δlt = ΔlСВ
т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.
Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α — коэффициент линейного расширения стержня.
Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).
Приравняв правые части равенств, получим:
αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.
Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.
***
Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:
- Примеры решения задач по сопромату.
- Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
- Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.
Срез
Правильные ответы на вопросы Теста № 6
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
Источник