Типы задач на прочность при растяжении сжатии
При растяжении сжатии в поперечных сечениях возникает только нормальное напряжение:
где, А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (сжатии):
Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:
1. Проверять прочность стержня 5%;
2. Определять размеры поперечного сечения стержня (основная задача СМ):
3. Определять величину допускаемой продольной силы:
Расчеты на прочность.
В некоторых случаях работоспособность конструкции определяется величиной предельной деформации [Δl]:
где: Е – модуль продольной упругости.
Это неравенство называют условием жесткости, а расчеты – расчетами на жесткость.
Сдвиг
Сдвигомназывается такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – поперечная силаFy (Qy).
Если нагрузить брус, как показано на рисунке, то при определенной величине сил F произойдет срез – разделение бруса на 2 части по сечению АВ.
Касательные напряжения при срезе определяются соотношением:
где А – площадь поперечного сечения.
Условие прочности при срезе:
где [t] — допускаемое напряжение при срезе принимается:
[t] = (0,5÷0,6)·[σ]Р — для пластичных материалов;
[t] = (0,7÷0,9)·[σ]Р — для хрупких материалов.
На срез рассчитываются заклепочные, сварные, шпоночные и шлицевые соединения.
Кручение
Стержень, работающий на кручение называется валом.
Кручением называется такое напряженное состояние, при котором в поперечном сечении возникает только один ВСФ – крутящий момент MZ (ТК). Его величину определяют методом сечений. Крутящий момент является моментом внутренних сил упругости и численно равен моменту внешних сил, действующих по одну сторону сечения.
Правило знаков для крутящих моментов представлено на плакате.
Наглядное представление о величине MZ в любом сечении вала дают эпюры крутящих моментов.
Определим крутящие моменты в нашем примере методом сечений от свободного конца:
— делаем сечение на первом участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа внешних моментов нет следовательно крутящий момент равен нулю.
— делаем сечение на втором участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент 2М. Следовательно крутящий момент в сечении на втором участке равен 2М, со знаком минус, согласно правила знаков
МZ = – 2М.
— делаем сечение на третьем участке, отбрасываем левую часть, крутящий момент равен моменту внешних сил справа от сечения. Справа приложен момент –2М и +3М. Следовательно крутящий момент в сечении на третьем участке равен 1М, со знаком плюс МZ = +М.
По полученным результатам строим эпюру МZ – график изменения крутящего момента вдоль вала.
На эпюрах моментов в местах приложения сосредоточенных моментов имеются скачки равные этим моментам.
Величина MZ в сечении заделки равна MR – моменту реакции заделки.
При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
В центре тяжести τ = 0 и Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:
где — полярный момент момент сопротивления при кручении:
для круга: Wρ ≈ 0,2·d3
для кольца: Wρ ≈ 0,2·D3(1-с4), где с=d/D;
для квадрата:WК = 0,208 f, где f – сторона квадрата.
Условие прочности при кручении:
Допускаемые напряжения при кручении:
[τ] = (0,5…0,7)·[σ]р.
Допускаемый крутящий момент:
[MZ]=Wρ·[τ]
Определение размеров сечения при кручении:
Диаметр круглого вала:
Изгиб
Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержня, при котором происходит искривление продольной оси стержня под действием внешних сил.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Балка, заделанная одним концом, называется консолью.
Если в поперечном сечении возникает только один ВСФ – изгибающий момент МИ (МХ или MY) – изгиб называют чистым. Если вместе с изгибающим моментом возникает поперечная сила Fy (QX или QY) – изгиб называют поперечным.
При изгибе к внешним силам относят: сосредоточенные и распределенные по длине силы, пары сил – моменты и силы реакции опор.
Последние находят из уравнений статики. Исходная схема заменяется расчетной, где опоры заменены силами – реакциями опор.
Для расчетной схемы составляются уравнения равновесия, из которых находят силы реакций опор. Рассмотрим пример.
Знак y означает, что реакция в точке В направлена в противоположную сторону. Меняем направление реакции в
точке В. FB= 0.5 кН
Направление реакции верно.
Обязательная проверка:
∑Fу= – F+ FА- q·b – FB=0
-1+3,5+2·1- 0,5=0 0=0
Реакции опор определены верно.
Внутренние силовые факторы при изгибе – изгибающий моментМИ (МХ) и поперечную силу Q (Fy) определяют методом сечений.
Поперечная сила Fx,Fy(Q) есть равнодействующая внутренних сил упругости действующих в плоскости поперечного сечения. Она равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных перпендикулярно к балке по одну сторону сечения.
Изгибающий момент МХ, МУ есть момент внутренних сил упругости. Он численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения. Он считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх.
Правило знаков.
Наглядное представление о характере изменения ВСФ по длине балки дают эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определим Fy и МХ в нашем примере и построим их эпюры. Балка имеет 3 характерных участка:
Первый участок: 0≤Z1≤ a
Fy= — F = — 1 кН
MX= — F·Z1
Z1=0 MX=0
Z1=a MX= – F·a= – 1 кН·м.
Второй участок: а≤Z2≤ a+в
Fy= — F+ FА – q·(Z2 — a);
MX= — F·Z2 +FA·( Z2 — a) – q·(Z2 — a)2/2;
Z2=а Fy= – F+ FА =2,5 кН;
MX= – FA ·a= – 1 кН·м;
Z2=а+в Fy= – F+ FА – q·в=0,5 кН;
MX= – F·(а + в) +FA·в – q·в2/2=0,5 кН·м.
Третий участок рассмотрим справа налево, т.к. метод сечений рекомендует рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше внешних сил.
Третий участок: 0≤Z3≤ с (оси сил расположены противоположно)
Fy= FВ = 0,5 кН;
MX= — FВ·Z3
Z3=0 MX=0
Z3=с MX= — FВ·с= — 0,5 кН·м.
По полученным значениям строим эпюры Fy и МХ.
Построение эпюр Fy и МХ позволяет определить напряжения в любом сечении балки. Поперечная сила складывается из элементарных касательных напряжений, а изгибающий момент – из элементарных нормальных напряжений.
Наиболее опасными являются нормальные напряжения при изгибе.
ПЛАКАТ 21
При изгибе волокна на вогнутой стороне укорачиваются – сжимаются, а на выпуклой стороне удлиняются – растягиваются. Между ними существует слой который остается исходной длины – его называют нейтральным слоем;
На нейтральном слое σ = 0. Наибольшие напряжения будут в поверхностных слоях:
где – осевой момент сопротивления или момент сопротивления сечения изгибу.
Для круга:
Для прямоугольника:
Для прокатных сечений значение WX дано в сортаменте.
Условие прочности при изгибе:
При проектном расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения через момент сопротивления:
Для круглого сечения WX=0,1·d3.
Теории прочности
При объемном напряженном состоянии существуют площадки, по которым действуют только нормальные напряжения. Эти напряжения называют главными:
При объемном напряженном состоянии, опыт не может дать однозначный ответ на вопрос «Какое из трех главных напряжений, или какое их сочетание вызывает нарушение прочности – разрушение или текучесть».
Поэтому для составления условий прочности приходится прибегать к гипотезам о причинах нарушения прочности.
Суть применения теорий прочности для оценки прочности материала, заключается в замене фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным напряженным состоянием.
I теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшее из главных напряжений:
σmax = σ1 ≤ [σ]
II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является наибольшая относительная деформация.
εmax ≤ [ε]
Учитывая, что , получаем:
III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является сдвиг, вызванный касательными напряжениями, при этом условие прочности:
τmax ≤ [τ]
учитывая что:
получим:
σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ]
Для плоского напряженного состояния :
ПЛАКАТ 24
IV теория прочности – энергетическая теория прочности.
Предполагают, что причиной нарушения прочности является потенциальная энергия упругой деформации, накапливающаяся в единице объема материала. Условие прочности имеет вид:
U ≤ [U]
Выразив U и [U] через главные напряжения, получим:
Для плоского напряженного состояния:
V теория прочности – теория прочности Мора.
Условие прочности:
σэкв=σ1 – k·σ3≤[σ]
где
В настоящее время, в практических расчетах используют:
для пластичных материалов – III и IV теории прочности;
для хрупких материалов – теорию прочности Мора.
Источник
1. Проверочный расчет
2. Проектный расчет или подбор сечения
3. Определение допускаемой нагрузки
20. Цель расчёта по предельным состояниям первой группы заключается в том, чтобы предотвратить наступление любого из предельных состояний первой группы ( общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, хрупкое, вязкое или иного характера разрушение, разрушение под совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных влияний внешней среды), т.е. обеспечить несущую способность как отдельной конструкции, так и всего здания в целом.
Несущая способность конструкции считается обеспеченной, если удовлетворяется неравенство типа
N ≤ Ф,
где N – расчётные, т.е. наибольшие возможные усилия, могущие возникнуть в сечении элемента ( для сжатых и растянутых элементов – это продольная сила, для изгибаемых – изгибающий момент)
Ф – наименьшая возможная несущая способность сечения элемента, подвергающегося сжатию, растяжению или изгибу. Она зависит от прочностных свойств материала конструкции, геометрии (формы и размеров) сечения , т.е.
Ф = [R;А ],
где R – расчётное сопротивление материала
А – геометрический фактор ( площадь поперечного сечения – при растяжении и сжатии, момент сопротивления – при изгибе.
Цель расчёта по предельным состояниям второй группы – не допустить ни одного из предельных состояний второй группы (прогибы, осадки, углы поворота, колебания и трещины), т.е. обеспечить нормальную эксплуатацию строительных конструкций или здания в целом.
Считается, что предельные состояния второй группы не наступят, если будет удовлетворено условие
f ≤fₑ,
где f (в общем случае) – это определённая из расчёта деформация конструкции.
Для изгибаемых элементов это прогиб конструкции, для стержневых систем – укорочение или удлинение стержней, для оснований – величина осадки.
fₑ — предельная деформация конструкции, которая определяется СНиП
21. Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).
При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.
а) б)
Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:
Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,
Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .
Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления
Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:
и
где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .
Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При площадь ; подставляя эти значения, имеем:
и
Отсюда
,
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления
Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка :
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник