Температурные напряжения при растяжении
Изменение температуры стержней статически неопределимых систем вызывает температурные деформации, которые, как правило, не удовлетворяют условиям совместности деформаций. Поэтому в стержнях возникают упругие напряжения и соответствующие им упругие деформации.
Общие деформации, состоящие из температурных и упругих, должны удовлетворять уравнениям совместности деформации. Рассмотрим простейший пример, когда стержень помещен при температуре между неподвижными стенками, после чего температура его повышается до t. Условие совместности деформации заключается в том, что .
Температурная часть удлинения:
здесь — коэффициент линейного температурного расширения, материала.
Упругая часть:
Таким образом,
Отсюда
Схема решения более сложных статически неопределенных задач о температурных напряжениях ничем не отличается от общей схемы, данной в предыдущем параграфе, только в пункте 2 схемы вместо закона Гука следует пользоваться формулой
Пример. В системе, изображенной на рис. 31 и собранной при температуре , средний стержень нагрет до , температура крайних осталась без изменения. Площади сечения стержней одинаковы, материал — сталь. Требуется найти напряжения.
Рис. 31.
При построении диаграммы перемещений мы учтем, что система деформируется симметричным образом, поэтому
Так как стержень не нагревается, то , но
Вставив эти значения в уравнение деформаций, получим:
или
Отсюда и из уравнения статики
находим:
При 30° получим:
При вычислениях принято .
Если бы нагревался один из боковых стержней, мы должны были бы рассмотреть более общий случай деформации, сопровождаемый горизонтальным смещением узла, и поступить так, как в примере 2 параграфа 23.
Как видно из решенного примера, температурные напряжения достигают довольно большой величины при сравнительно незначительных разностях температур. В стержневых системах температурные напряжения сами по себе не представляют опасности, так как наступающая пластичность ограничивает рост напряжений, а температурные деформации остаются во много раз меньше тех деформаций, при которых происходит разрушение (если речь не идет о весьма хрупких материалах). Однако наличие температурных напряжений может существенно повлиять на картину распределения усилий в системе.
Практическое осуществление статически неопределимых стержневых систем требует весьма точного изготовления стержней, чтобы при сборке концы их соединялись в узлах без применения усилия.
В противном случае сборка становится возможной только за счет упругой деформации стержней, и в системе возникают напряжения, называемые начальными или монтажными.
Предположим, например, что в предыдущем примере средний стержень сделан короче крайних на величину А (рис. 32). При решении вопроса о монтажных напряжениях будем предполагать, что усилия положительны и стержни удлиняются, хотя очевидно, что удлиняется только средний стержень, а крайние укорачиваются.
Рис. 32.
Уравнение совместности деформаций будет
.
Отсюда
Уравнение равновесия:
Полученная система уравнений весьма похожа на уравнения для тем пературных напряжений, только вместо стоит — А. И действительно, совершенно безразлично, сделать ли стержень короче или сделать его надлежащей длины, но потом укоротить путем охлаждения. Очевидный результат решении задачи следующий:
Источник
Макеты страниц
Напряжения, возникающие при изменении температуры всей конструкции или отдельных ее частей по сравнению с начальной температурой (температурой сборки), называются температурными напряжениями.
При совместном воздействии на брус внешних сил и температуры относительная деформация может быть представлена как сумма силовой и температурной деформации:
где а — коэффициент линейного теплового решения; — изменение температуры.
Температурные напряжения существенно зависят от закона распределения температур по брусу. В этом разделе рассматривается лишь случай равномерного распределения температуры как по площади сечения, так и по длине всего бруса или отдельных его участков.
Если все элементы бруса могут свободно расширяться или сжиматься, то изменение температуры не вызывает напряжений. Так, при нагреве бруса с одним закрепленным и другим свободным концом ничто не препятствует тепловому расширению бруса и поэтому в нем внутренние силы не возникают, что подтверждается также уравнением равновесия отсеченной части бруса (рис. 2.34). Но, если тот же брус поместить между двумя абсолютно жесткими стенками (рис. 2.35), препятствующими его температурному расширению, то нагрев бруса вызовет появление в нем внутренних сил. Эти силы не могут быть найдены из уравнений равновесия, так как данная система является статически неопределимой. Уравнение
Рис. 2.34
Рис. 2.35
равновесия бруса показывает лишь, что опорные реакции и равны по величине и противоположны по направлению. Записывая условие равенства нулю суммы температурного расширения бруса и деформации его силами
находим сначала опорную реакцию а затем и температурные напряжения в поперечных сечениях бруса
Полученные результаты показывают, что сила давления бруса на стенки зависит не только от температуры нагрева и свойств материала, но и от площади сечения бруса, а напряжения в нем от площади сечения не зависят. Поэтому никаким увеличением площади сечения бруса нельзя добиться уменьшения в нем температурных напряжений, можно лишь увеличить нагрузку на соединенные с ним детали конструкции. Температурные напряжения можно уменьшить, применяя материал с меньшими Е и а; иногда для той же цели предусматривается устройство специальных температурных швов (зазоров).
Приведенные примеры показывают, что температурные напряжения при равномерном нагреве возникают лишь в статически неопределимых системах.
Пример. Определить усилия в стержнях системы при нагреве стержня 2 на (рис. 2.36). Подвешенный на стержнях брус рассматривать как абсолютно жесткий и невесомый.
Решение. Изобразим систему после деформации. Если бы стержней и 3 не было, то при нагреве стержня 2 узел В занял бы положение Но стержни и 3 препятствуют свободному расширению стержня 2 и поэтому узел В занимает положение В. В результате стержень 2 сжимается, а стержни 1 и 3 растягиваются. Между перемещениями узлов А, В и С существует зависимость (см. рис. 2.36)
где
Рис. 2.36
Следовательно, уравнение совместности деформаций запишется так:
Составляя еще два уравнения равновесия бруса (см. рис. 2.36)
и решая совместно все эти уравнения, получаем
Усилию приписываем знак минус, так как полученный положительный результат подтверждает, что стержень 2 действительно сжат.
Источник
1. Материал конструкции является однородным и сплошным, т.е. его свойства во всех точках одинаковы.
2. Материал конструкции изотропен, т.е. его свойства по всем направлениям одинаковы.
Например, сталь – материал изотропный, а дерево не является изотропным материалом, дерево – материал анизотропный.
3. Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости, т.е. полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.
4. Деформация материала в каждой его точке прямо пропорциональна напряжению. ( Это одна из формулировок закона Гука).
5. Деформации конструкции считаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияние на взаимное расположение нагрузок и на расстояния от точек приложения нагрузок до рассматриваемых точек.
6. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействий каждой нагрузки в отдельности. (Эта формулировка называется принципом независимого действия сил).
7. Поперечные сечения конструкции, плоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном состоянии. (Эта формулировка называется гипотезой Бернулли).
Основная литература: 1;2
Дополнительная литература: 1;2
Контрольные вопросы.
1. Что такое деформация?
2. Что такое упругая деформация?
3. Что такое пластичная деформация?
4. Единицы измерения линейной и угловой деформаций.
5. Сформулируйте основные предпосылки (гипотезы), применяемые в сопромате
Лекция №5.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.
Цели занятия:
1. Рассмотреть деформацию растяжение – сжатие, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при растяжении – сжатии, какие деформации возникают при растяжении – сжатии.
2. Рассмотреть температурные и монтажные напряжения, при каких обстоятельствах они возникают, какие меры принимают, чтобы устранить температурные и монтажные напряжения.
План занятия:
1. Основные понятия и определения растяжения и сжатия.
2. Закон Гука при растяжении – сжатии.
3. Поперечная деформация.
4. Температурные напряжения.
5. Монтажные напряжения.
Основные понятия и определения растяжения и сжатия.
Растяжение и сжатие – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает следующий внутренний силовой фактор – продольная сила N.
При растяжении или сжатии возникают нормальные напряжения, которые вычисляются по следующей формуле:
σ =N/S (1)
Деформация при растяжении и сжатии называется удлинением.
Δl – абсолютное удлинение (м, см, мм)
Δl =N·l/ES (2)
где l – длина бруса
Е – модуль упругости Ι рода, характеризует жесткость бруса при растяжении и сжатии, величина табличная.
Например, для стали E = 2·105 МПа,
для меди E = 1·105 МПа,
для алюминия E = 0,7·105 МПа
Величина ES называется жесткостью при растяжении или сжатии.
Подставим выражение (1) в выражение (2), получим
Δl = σ·l/E (3)
ε – относительное удлинение
ε = Δl/l (4)
Подставим выражение (3) в выражение (4), получим
ε = σ/Е (5)
или
σ = ε·Е (6)
Выражения (5) и (6) являются законом Гука при растяжении и сжатии, формулируется следующим образом: удлинение прямо пропорционально напряжению.
При растяжении и сжатии также возникает поперечная деформация
Δb – абсолютная поперечная деформация
ε| — относительная поперечная деформация
ε| = Δb/b
μ – коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона, величина табличная
| ε|/ε | =μ
Например, для стали μ = 0,3
Для большинства металлов μ = 0,24…0,36
Температурные и монтажные напряжения.
При нагреве или охлаждении металлического стержня его длина изменяется. Удлинение от действия температуры вычисляется по формуле
Δl =α·l· Δt
где α – коэффициент температурного расширения, величина табличная.
Например, для стали α = 1,25·10 – 5 1/град
Δt – изменение температуры
В связи с нагревом или охлаждением в металлических конструкциях могут возникнуть дополнительные температурные напряжения. Вычислив удлинение от действия температуры, из формулы (3) можно вычислить температурные напряжения.
Часто встречаются случаи, когда стержневые элементы конструкций изготавливаются короче или длиннее проектной длины. При монтаже конструкции такие стержни приходится растягивать или укорачивать, что приводит к возникновению дополнительных монтажных напряжений. Эти напряжения можно вычислить из формулы (3).
Основная литература: 1;2
Дополнительная литература: 1;2
Контрольные вопросы.
1. Какой внутренний силовой фактор возникает при деформации растяжение и сжатие?
2. Какое напряжение возникает при деформации растяжение и сжатие?
3. По какой формуле определяется напряжение при растяжении и сжатии?
4. Какие деформации возникают при растяжении и сжатии?
5. Какой буквой обозначается модуль упругости I рода, в каких единицах измеряется?
6. По каким формулам вычисляются деформации при растяжении и сжатии?
7. Как обозначается жёсткость при растяжении и сжатии?
8. Сформулируйте закон Гука при растяжении и сжатии?
9. Какой буквой обозначается коэффициент Пуассона?
10. По какой формуле вычисляется коэффициент Пуассона, в каких единицах измеряется?
11. Что такое статически неопределимая система?
12. Порядок расчёта статически неопределимых систем.
13. Каким образом вычисляются температурные напряжения?
14. Какой буквой обозначается и в каких единицах измеряется коэффициент температурного расширения?
15. Каким образом вычисляются монтажные напряжения?
Лекция №6.
Цели занятия:
1. Рассмотреть диаграмму растяжения малоуглеродистой стали, как она получается, какие механические характеристики материалов существуют.
2. Рассмотреть условие прочности при растяжении – сжатии.
План занятия:
1. Диаграмма растяжения.
2. Условие прочности при растяжении – сжатии.
Диаграмма растяжения.
Испытаем на растяжение стальной стержень ( например из материала Ст 3). Испытания проводятся на универсальных испытательных машинах, снабженных силоизмерителем и аппаратом для автоматической записи диаграммы в координатах «сила – удлинение». График зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца Δl называется диаграммой растяжения. Эту диаграмму можно переделать в зависимость между напряжением σ и относительным удлинением Δl.
Диаграмму можно условно разделить на четыре зоны. Первая зона называется зоной упругости,на этом участке свойства материала подчиняются закону Гука, деформация материала упругая. Наибольшее напряжение, до которого в материале соблюдается закон Гука, называется пределом пропорциональности, или пределом упругости,обозначается σпц.
Для Ст 3 σпц =210 МПа
При дальнейшем растяжении, когда напряжение превысит значение предела пропорциональности, следует зона пластичности.Здесь закон Гука уже не соблюдается, деформация материала пластичная. Вскоре напряжение достигнет значения предела текучести,которое обозначается σт.
Предел текучести – напряжение, при котором происходит удлинение без увеличения напряжения.
Для Ст 3 σт =240 МПа
При дальнейшем растяжении стержня значение напряжения снова будет увеличиваться. Это будет третья зона – зона упрочнения.Здесь будет происходить явление повышения упругих свойств материала в результате пластического деформирования. Это явление называется поверхностным упрочнениемили наклёпом.
При дальнейшем растяжении напряжение достигнет значения предела прочности,обозначается σВ.
Предел прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать материал.
Для Ст 3 σВ =360…470 МПа
Далее следует четвёртая зона – зона местной текучести.Здесь происходит удлинение стержня при уменьшении растягивающей силы и сопровождается образованием шейки– местного сужения. Вскоре происходит разрыв стержня.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Источник
В статически неопределимых системах при изменении температуры возникают температурные напряжения (рис. 4.15).
Рис. 4.15. Расчетная схема стержня при температурном воздействии
1. Составим уравнение равновесия: , ·
2. Отбросим правую заделку, составим уравнение совместности деформаций:
·
отсюда по абсолютной величине
,
где ;
– коэффициент линейного температурного расширения.
3. Согласно закону Гука имеем:
.
Таким образом,
,
где А – площадь поперечного сечения стержня.
4. Определим температурные напряжения:
.
Полученная формула справедлива лишь для определения напряжений в стержнях постоянного сечения с жесткой заделкой обоих концов.
Из этой формулы следует, что в статически неопределимых системах изменение температуры вызывает дополнительные напряжения. Они будут сжимающими при повышении температуры и растягивающими при понижении температуры. В статически определимых системах температурные напряжения не возникают. Для снятия температурных напряжений в практике широко применяются температурные швы и зазоры.
Задача 7. Стержень АВ состоит из двух соединенных между собой частей. Верхняя часть АС (рис. 4.16) – медная, имеет площадь поперечного сечения Ам = 25 см2, а нижняя СВ – стальная, имеет площадь поперечного сечения Аст = 12,5 см2. Между нижним концом стержня В и неподатливой опорой оставлен зазор Δ = 0,2 мм. Найти напряжения в обеих частях стержня при повышении температуры на Δt = 60 ○С и проверить его прочность, если [σ]м = 40 МПа, [σ]ст = 160 МПа.
Рис. 4.16. а – схема составного стержня;
б – отсеченная нижняя часть стержня
Решение.
Определяем температурное удлинение составного стержня (рис. 4.16, а):
Так как Δ = 0,2 мм, то зазор между нижним концом стержня В и неподатливой опорой будет перекрыт и в опорах возникнут реакции.
2. Составим уравнение равновесия (рис. 4.16, а):
3. Составим уравнение совместности деформаций (рис. 4.16, а, б):
.
Отсюда
.
4. Согласно закону Гука определим для составного стержня:
см,
отсюда
5. Определим значения нормальных напряжений в сечениях составного стержня:
; .
6. > ; < <
Прочность составного стержня не обеспечивается.
Задача 8.Определить напряжения в стержнях жесткой невесомой балки (рис. 4.17, а) от температурного воздействия ∆t = 50 ºC на стержень 1.
Исходные данные: A1 = 6 см2, А2 = 10 см2, E1 = E2 = 2´104 , l1 = = 1,2 м, l2 = 1,5 м, а = 1 м, .
Рис. 4.17. а – схема балки, подвергаемой температурному воздействию; б – расчетная схема для определения температурных напряжений в стержнях 1 и 2
Решение.
1. Определим деформацию стержня 1 от температурного воздействия:
.
2. Деформацию стержня 2 определим из выражения
, откуда см.
3. Определим нормальные усилия, возникающие в стержнях 1 и 2:
кН;
кН.
4. Определим напряжения, возникающие в стержнях 1 и 2:
; .
4.8. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.Для заданной схемы нагружения бруса (рис. 4.18) построить эпюру нормальных сил и напряжений.
Рис. 4.18. Схема нагружения бруса
нормальными усилиями
Задача 10.Стальной ступенчатый стержень нагружен, как показано на рис. 4.19 Площади поперечных сечений соответственно равны: А1 = 8 см2; А2 = 5 см2; А3 = 2см2. Проверить прочность и жесткость стержня, если [σ] = 160МПаи [Δl] = 3мм.
Рис. 4.19. Схема нагружения ступенчатого бруса
Задача 11.Определить, какой должна быть площадь поперечного сечения A деревянной колонны (сосна), длиной l = 2 м, сжимаемой силой F = 30 кН, чтобы опускание верхнего конца колонны не превышало 3 мм (рис. 4.20). Допускаемое напряжение [σ] = 10 МПа, Е = 104 МПа.
Рис. 4.20. Схема нагружения
деревянной колонны
Ответ: A = 30 см2.
Задача 12.Определить наибольшее значение допускаемой силы F для ступенчатого бруса, если [σ]р = 40 кПа, [σ]cж = 120 кПа. Площадь поперечного сечения соответственно равна А = 10 см2,А1 = 2А (рис. 4.21).
Рис. 4.21. Схема нагружения бруса
Ответ: [F] = 53 кН.
Задача 13.Жесткий стержень ВС, шарнирно прикрепленный к стене в точке В, опирается на стойку 1 и поддерживается стержнем 2 (рис. 4.22). Определить допускаемую нагрузку F, если стойка и стержень стальные и имеют одинаковую площадь поперечного сечения A = 20 см2. Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.
Рис. 4.22. Схема нагружения стержня
Ответ: [F] = 30 кН.
Задача 14.Медный круглый стержень вставлен в стальную трубу (рис. 4.23). Длина медного стержня больше длины стальной трубы на Δ = 0,05 мм. Какая должна быть приложена к жесткой плите нагрузка, чтобы после сжатия стержня и трубы в их сечениях возникли напряжения сжатия одинаковой величины, если их площади сечений одинаковы и равны А = 40 см2.
Рис. 4.23. Схема нагружения стержня
Ответ: F = 500 кН.
Задача 15.Определить усилия в четырех ножках стола, изображенного на рис. 4.24. Крышку стола и пол считать абсолютно твердыми.
Рис. 4.24. Схема нагружения стола
Ответ: N1 = 16,5 Н, N2 = N4= 27,5 Н, N3= 38,5 Н.
4.9. Контрольные вопросы
1. Что такое растяжение (сжатие) бруса (стержня) при осевом действии внешней нагрузки?
2. Какие внутренние силовые факторы возникают при центральном растяжении (сжатии)?
3. Как формулируется закон Гука, какова область его применения при осевом растяжении (сжатии) бруса?
4. Что такое напряжения и деформации при осевом растяжении (сжатии)? Как они определяются?
5. Что такое модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона при осевом растяжении (сжатии)? От чего они зависят?
6. Как построить эпюры нормальных усилий, напряжений и перемещений характерных сечений бруса при одноосном растяжении (сжатии)?
7. Как формулируются условия прочности и жесткости при растяжении (сжатии) бруса?
8. Какие виды расчетов вытекают из условий прочности и жесткости одностержневых систем при растяжении (сжатии)?
9. Потенциальная энергия упругой деформации. Как она определяется при одноосном растяжении (сжатии) бруса?
10. Какие системы называются статически неопределимыми при растяжении (сжатии)? Виды этих систем.
11. Как осуществляется расчет статически неопределимых одностержневых и многостержневых систем при действии на них температурных нагрузок и технологических неточностей?
12. В чем заключается особенность расчета напряжений и деформаций при учете собственного веса системы?
Источник