Сжатие и растяжение графиков функций вдоль оси оу

3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

Рассмотрим
функцию вида y=A,
где A>0.
Нетрудно заметить, что при равных
значениях аргумента ординаты графика
этой функции будут в A
раз больше ординат графика функции
y=f(x)
при A>1
или в
раз меньше ординат графика функцииy=f(x)
при A<1.
Таким образом, получаем следующее
правило.

Для
построения графика функции y=A
следует построить график функции y=f(x)
и увеличить его ординаты в A
раз при A>1
(произвести растяжение графика вдоль
оси ординат) или уменьшить его ординаты
в
раз приA<1
(произвести сжатие графика вдоль оси
ординат). Полученный график является
графиком функции y=A.

Пример
13. Построить
график функции y=2cos
x.

Р
е ш е н и е: Строим график функции y=cos
x
(рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением
этого графика вдоль оси ординат в 2
раза получаем график функции y=2cos
x
(сплошная кривая).

Пример
14. Построить
график функции y=x2.

Р
е ш е н и е: Строим график функции y=x2
и сжатием этого графика в 3 раза вдоль
оси ординат получаем график функции
y=x2
(рис.17).

Рис.16

Рис.17

3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

Пусть
требуется построить график функции
y=f(x),
где >0.
Рассмотрим функцию y=f(x),
которая в произвольной точке x=x1
принимает значение y1=f(x1).

Очевидно,
что функция y=f(x)
принимает такое же значение в точке
x=x2,
координата

которой
определяется равенствомx1=x2,
или x2=,
причём это равенство справедливо для
совокупности всех значений x
из области определения функции.
Следовательно, график функции y=f(x)
оказывается сжатым (при >1)
или растянутым (при <1)
вдоль оси абсцисс относительно графика
функции y=f(x).
Таким образом, получаем следующее
правило.

Для
построения графика функции y=f(x)
следует построить график функции y=f(x)
и уменьшить его абсциссы в 
раз при >1
(произвести сжатие графика вдоль оси
абсцисс) или увеличить его абсциссы в
раз при<1
(произвести растяжение графика вдоль
оси абсцисс). Полученный график является
графиком функции y=f(x).

П

Рис. 18

ример 15.Построить
график функции
x.

Ре ш е н и е: Строим график функции
x
(рис.18 – пунктирная кривая), и проводя
его сжатие в 
раз вдоль оси абсцисс, получаем график
функции
x
(сплошная кривая). Период этой функции
уже равен не 2,
а
=2.
График пересекает ось абсцисс в точкахx=0,…
.

Пример
16. Построить
график функции
.

Р
е ш е н и е: Строим график функции
и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3
раза, получаем график функции.

4. Комбинация переноса, отражения и деформации

Рис.
19

Очень часто при построении графиков
функций применяют композицию приёмов,
изложенных в пунктах 1-3. Последовательное
применение ряда таких приёмов позволяет
существенно упростить построение
графика исходной функции и нередко
свести его в конце концов к построению
одной из простейших элементарных
функций.

Рассмотрим,
как с учётом изложенного следует,
например, построить
график функции вида y=Af(x+a)+b.
Запишем
исходную функцию в виде y=Af
[ 
( x+
) ] +b
и схему поэтапного её упрощения
(последовательность преобразований):

1.y=Af
[ 
( x+
) ] + b
; перенос оси абсцисс на b
единиц;

2.y=Af
[ 
( x+
) ]; перенос оси ординат на

единиц;

3. y=Af
[ 
x
]; отражение графика относительно оси
абсцисс

(этап
выполняется только приA<0);

4.y=A·
f
(x); сжатие
или растяжение графика

вдоль оси ординат;

5. y=f
(x) отражение
графика относительно оси ординат

(этап
выполняется только при<0);

6.y=f
(
x); сжатие
или растяжение вдоль оси абсцисс;

7. y=f
( x);

Проводя
построение графика шаг за шагом в
порядке, обратном порядку упрощения
вида функции с учётом всех указанных
правил, получим график исходной функции.

Пример 17. Построить
график функции y=.

Ре ш е н и е: Схема построения графика :

1. y=

2. x0,
   y=;

3. y=;

4. у=;

5. y=;

Итак,
построение графика исходной функции
следует начинать с построения графика
функции y=.
График (рис.20) пересекает ось ординат
в точке(из условияx=0),
а ось абсцисс в точках x=1
(из условия y=0,
т.е.=0).

В
заключении отметим, что порядок упрощения
целесообразно проводить в следующей
последовательности.

1. Использование
   чётности или нечётности функции.

2. Перенос осей.

3. Отражение и
   деформация.

Построение
же графика, как обычно, выполняется в
обратной последовательности.

Рис.20

Задание для
самостоятельного выполнения

Ниже
приводятся тексты заданий для
самостоятельного выполнения. Вам
необходимо построить графики функций,
оформить работу отдельно от решений по
другим предметам и выслать в адрес
Хабаровской краевой заочной
физико-математической школы.

М.11.2.1 С
помощью элементарных преобразований
постройте графики следующих функций:

1. y=x2-2;

2. y=(x+1)2;

3. y=sinx;

4. y=-
   3sin x;

5. y=tg;

М.11.2.2.
Написать последовательность преобразований
и построить графики следующих функций:

1. y=;

2. y=(x-1)3+2;

3. y=ln
   (1-x);

4. y=tg(-);

5. y=cos(2x-1)-2.

Хабаровская краевая заочная
физико-математическая школа