Ступенчатый стержень при осевом растяжении
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Транскрипт
1 Министерство образования Российской Федерации Кубанский государственный технологический университет Кафедра сопротивления материалов и строительной механики РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ Методические указания к расчетно-графической работе по курсу Сопротивление материалов для студентов -го курса всех строительных специальностей очной формы обучения КРАСНОДАР Издательство КубГТУ 007
2 Составители: канд. техн. наук, доц. В.Г. Алексеев, д-р. физ.-мат. наук, доц. Н.Н. Фролов, канд. физ.-мат. наук, доц. С.Ю. Молдаванов, канд. физ.-мат. наук, ст. преп. С.Б. Лозовой, ст. преп. В.П. Демченко. УДК 59. Расчет стержней на прочность при осевом растяжении или сжатии. Методические указания к расчетно-графической работе по курсу Сопротивление материалов для студентов -го курса всех строительных специальностей очной формы обучения / Кубан. гос. технол. ун-т ; сост. : В. Г. Алексеев, Н. Н. Фролов, С. Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой, В.П. Демченко. Краснодар, 00. с. Предлагаемые методические указания содержат решение типовых задач, входящих в состав расчетно-графической работы (РГР) по курсу Сопротивление материалов для студентов строительных специальностей. Предназначены для студентов -го курса всех строительных специальностей очной формы обучения. Ил. 9. Табл. 7. Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета Рецензенты: доц. кафедры строительных конструкций КубГТУ Х. С. Хунагов; доц. кафедры сопротивления материалов и строительной механики КубГТУ В. В. Попов.
3 ВВЕДЕНИЕ Если на стержень действуют внешние нагрузки, равнодействующая которых находится на оси стержня, то стержень продольно деформируется. Такой вид простого сопротивления стержня называется осевым растяжением или сжатием. В поперечных сечениях стержня, работающего в условиях одноосного растяжения или сжатия, возникают только продольные силы. При расчетах на осевое растяжение или сжатие встречаются как статически определимые, так и статически неопределимые задачи. В статически неопределимых системах число неизвестных, подлежащих определению, превышает число уравнений статики, которые могут быть использованы для этой цели. Разница между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число «лишних» неизвестных, или степень статической неопределимости системы. Для раскрытия статической неопределимости систему уравнений статики дополняют уравнениями, описывающими способность реальных тел сопротивляться деформированию. В данных методических указаниях рассмотрены основные виды расчета простейших стержневых систем, работающих в условиях одноосного растяжения или сжатия: — проектировочный расчет на прочность и вычисление перемещений для статически определимой стержневой системы; — проектировочный расчет на прочность статически неопределимого стержня, нагруженного заданной внешней нагрузкой; — проектировочный расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы, находящейся под воздействием заданной нагрузки с учетом заданного изменения температуры стержней и неточности их изготовления; — расчет на прочность стержневой системы по методу разрушающих нагрузок.
4 Часть. Расчет на прочность статически определимого ступенчатого стержня по допускаемым напряжениям Исходные данные для расчета: m =,8 k =,5 n =, l = 0, м F = 00 kh Стержень медный 5 Е Сu =, 0 МПа = МПа [ ] 75 Сu Решение: Рисунок. а) Рассматриваемый стержень состоит из участков, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения. Проводя произвольные сечения в пределах каждого участка стержня и рассматривая его нижнюю часть (отбрасывая часть с заделкой), находим продольные силы на каждом участке стержня, одновременно строя эпюру продольных сил N (рисунок ). По эпюре N можно, определить продольную силу в заделке, которая равна -0 кн. б) Для определении опасного сечения находим нормальные напряжения на каждом участке стержня: =. N 4
5 N = = N = = 0; 00 ; N ; k = = = =,5 4 = 40 ; 54,55 5 = ; 45,45 =. Из условий прочности для опасного (второго) участка при растяжениисжатии: 00 max = = [ ] = 75 МПа, отсюда Cu Н А = = = 40 м = 40см Па Далее можно определить площадь поперечного сечения каждого участка стержня. в) Построение эпюры нормальных напряжений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях участков равны: = 0; = = = 40 = 00 0 = = 50 МПа; 40 = 0 МПа; 4 =,4 МПа; 5 МПа ; =, МПа. По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рисунок ). г) Построение эпюры перемещений поперечных сечений вдоль оси. Для построения эпюры относительных перемещений используем закон Гука для абсолютных удлинений. Nl l Δ l = =. E E 5
6 Эпюру перемещений следует строить, начиная от заделки, перемещение сечения в которой равно нулю. Удлинения участков соответственно равны: Δ l = 0; l 75 0 Па 0,м Δ l = = = 0,00005м= 0,05 мм; 5 E, 0 0 Па ,45 5 Δ l =, 0 0 = 0, 05 мм; Δ l4 Δ l5 Δ l = 0,04 мм; = 0,07 мм; = 0,78 мм; Ординаты эпюры перемещений границ участков будут: у =Δ l = 0,78 мм; у5 =Δ l +Δ l5 = 0,78 + 0,07 = 0, мм; у =Δ l +Δ l +Δ l = 0,070 мм; у = Δ l = 0, 75 мм; i у = 0, 480 мм; у = 0, 480 мм. По полученным перемещениям сечений строим эпюру перемещений (рисунок ). Часть. Расчет статически неопределимого ступенчатого стержня Исходные данные для расчета все те же. К статически определимому стержню подводим вторую опору (заделку). Стержень становится однажды статически неопределим (рисунок ). Так как задача статически неопределима, то для определения опорных реакций необходимо рассмотреть три стороны задачи: статическую, геометрическую, физическую. а) Статическая сторона задачи: Из уравнения статического равновесия стержня АВ Σ y = 0 (рисунок ) имеем: -V V B = 0; V + V B = 0. б) Геометрическая сторона задачи: Воспользуемся условием совместности деформаций, выражающее
7 Рисунок. то, что расстояние между точками А и В не изменяется, т.е. Δ l B = 0; Δ lb = l+ l + l + l4 + l5 + l = 0. в) Физическая сторона задачи: Nl По закону Гука: Δ l =. Определим вначале продольные силы: E N = VB; N = VB 00; N = VB 00; N4 = VB = VB + 0; N5 = VB + 0; N = VB 0. Nl VB 0, Δ l = = ; E E Nl ( VB 00) 0, Δ l = = ; E E Nl ( VB 00) 0,45 Δ l = = ; E E,5 ( VB + 0) 0,45 Δ l4 = ; E,5 ( VB + 0) 0,54 Δ l5 = ; E, ( VB 0) 0,54 Δ l =. E, Подставляя все в уравнение совместности деформаций, получим: 7
8 VB 0, ( VB 00) 0, ( VB 00) 0, 45 ( VB + 0) 0,45 ( VB + 0) 0,54 ( VB 0) 0, = 0 E E E,5 E,5 E, E, 7,7 V B = 70,4 V B = 9,79 кн, тогда V А = 0 — V B =, кн. Т.к. обе реакции получились положительные, то их направление соответствует принятому. По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис. ). д) Для определении опасного сечения находим нормальные напряжения на каждом участке стержня: =. N N 9,79 = = ; N = = 0, ; N N 5,47 ; = = =,5 4 04,5 = ; 4,54 5 = ; 57,4 =. 0, max = = [ ] = 75 МПа, отсюда Cu 00 0, 0 Н А = = =,7 0 м = 7,см Па е) Построение эпюры нормальных напряжений i (рисунок ): 9,79 9,79 0 = = = 5,7 0 Па = 5,7 МПа;,7 0 0, 0 = = 75 МПа;,7 0 = 50 МПа; = 8,57 МПа; 4 = 5, МПа; 5 =, МПа. ж) Построение эпюры относительных перемещений: 8
9 l Δ l = E l 5,7 0 Па 0,м Δ l = = = 5 E, 0 0 Па м= мм l 75 0 Па 0,м 5 5 9,74 0 0,097 ; Δ l = = E, 0 0 Па = 0,05 мм; Δ l Δ l4 Δ l5 Δ l = 0,05 мм; = 0,58 мм; = 0,58 мм; = 0,04 мм; Ординаты эпюры перемещений границ участков будут: у =Δ l = 0,04 мм; у5 =Δ l +Δ l5 = 0,04 + 0,58 = 0,54 мм; у =Δ l +Δ l +Δ l = 0, мм; у = Δ l = 0,07 мм; i у = 0,098 мм; у = 0,00мм 0. Таким образом, полное удлинение ступенчатого стержня, равное алгебраической сумме удлинений всех участков оказалось равным нулю, что свидетельствует о достаточной точности приведенного выше расчета. По полученным значениям у i строим эпюру перемещений (рисунок ). ВЫВОДЫ: Сравнивая эпюры продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений сечений рассмотренных статически определимого (рисунок ) и статически не определимого (рисунок ) стержней, можно сделать следующие заключения: ) Произошло изменение продольных сил и напряжений на многих участках стержня. Участок, не работавший в статически определимом стержне, стал работать на растяжение в статически неопределимом стержне. ) Напряжения в поперечных сечениях всех участков статически неопределимого стержня оказались меньше чем в статически определимом, следовательно его несущая способность выше несущей способности последнего. Уменьшилась площадь поперечного сечения участков статически неопределимого стержня, следовательно, применение такой конструкции экономически выгодно с точки зрения расхода материала. ) В соответствии с изменениями напряжений изменился характер деформаций участков стержня и осевых перемещений его поперечных сечений. 9
10 Часть. Расчет плоской, статически неопределимой стержневой системы Исходные данные: h = 4 м, а = м, F = 00 кн, А /А =, Стержни алюминиевые, 5 Е l = 0,9 0 МПа, = МПа, [ ] 55 l 5 α ‘,5 0 C =, Δ t = 80 C, δ = 0,5cм.. Определение усилий в стержнях и. Для выявления усилий, возникающих в элементах заданной системы под действием только силы F, вырежем жесткий стержень АВС с прилегающими к нему деформируемыми стержнями и (рисунок ). Рисунок. Стержень АВС находится в равновесии под действием плоской системы сил V, H, N (P), N (P), P, где N (P), N (P) усилия в стержнях и, передающиеся стержню АВС. Таким образом, задача является однажды статически неопределимой, так как число неизвестных усилий равно четырем V, H, N (P), N (P), а число возможных уравнений статического равновесия равно трем. Для раскрытия статической неопределимости системы рассмотрим три стороны задачи. а) Статическая сторона задачи: Из уравнений статического равновесия стержня АВС следует (рисунок ): 0
11 Σ x = 0; N( F)sinα + H = 0, () Σ y = 0; N( F) N( F)cosα + V F = 0, () m 0; Σ = N( F) a+ N( F)cosα a F a = 0 () б) Геометрическая сторона задачи: Под действием силы F = 00 кн жесткий брус АВС повернется вокруг точки А на малый угол γ << и займет положение АВ С (рисунок 4). При этом стержень удлинится на величину ВВ = Δ l ( F), а стержень удлинится на величину СС = Δl ( F) : Рисунок 4. BB CC Из подобия треугольников АВВ и АСС следует B =. C СС = Δl ( F) Δl ; ВВ = ( F ) Δl( F) a, тогда = или cosα cos α Δl( F) a Δ l( F) = Δ l( F)cos α (4) Уравнение (4) представляет собой условие совместности деформаций элементов системы. a tgα = = ; α = 0 ‘; sin α = 0,5, cos α = 0,94. h 8 Длины стержней l = = 8,54 м, l = h= 4 м. sinα в) Физическая сторона задачи. Удлинения стержней и вызваны усилиями N (P), N (P), действующими в этих стержнях. На основании закона Гука: N( F) l N( F) Δ l( F) = = E E sinα N ( F) l N ( F) h Δ l = = ( F) (5) E E
12 N( F) N( F) h Подставим (5) в (4): = cosα Esinα E N ( F) 0,48 N ( F) = () Решим совместно систему уравнений () и (): N( F) +,8 N( F) = 00 N( F) =,5 кн, ;. N( F) = 0,48 N( F) N( F) = 8,98кН г) Выбираем наиболее напряженный стержень: N ( F),5 ; = = А А N ( F) 8,98 5,97. = = = А А/ А Из условий прочности для второго стержня, определим безопасную площадь поперечного сечения: 45,97 max = = [ ] = 55 МПа, отсюда l 5,97 0 Н А = =,0 0 м = 0,см Па д) Напряжения и удлинения в стержнях равны: N( F),5 0 = = =,04 МПа; А, 0 0 N ( F) 8,98 0 = = = 54,95 МПа. А,5 0,04 0 8,54 5 l Па м 5 Δ l = = = 49,0 0 м =,49 мм E 0,9 0 0 Па l 54,95 0 Па 4м 5 Δ l = = = 8,55 0 м=,9мм 5 E 0,9 0 0 Па. Определение температурных напряжений и перемещений. При изменении температуры в стержнях системы возникают дополнительные усилия N (t) и N (t). Разъединим мысленно стержни в узлах и дадим им возможность свободно удлиняться при действии температуры. Тогда удлинения стержней и будут равны: -5 o Δ l( t) = α ‘ lδ t =,5 0 8,54 80 = 7,088 0 м; (7) -5 o Δ l() t = α ‘ lδ t =, = 80 м. Отложив в масштабе значения Δ l () t и Δl () t видим, что стержень нужно сжать на величину Δl t, а стержень растянуть на Δ lt. В соответствии с этим выбираем направления N (t) сжимающее стержень и N (t) растягивающее стержень.
13 Рисунок 5. Для определения температурных усилий N (t) и N (t) вырежем жесткий стержень АС, который находится в равновесии под действием усилий V, H, N (t), N (t). Число неизвестных усилий равно четырем, а число возможных уравнений статического равновесия равно трем. Следовательно, задача однажды статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим, как обычно, три стороны задачи. а) Статическая сторона задачи: Σ x = 0; H N()sin t α = 0, Σ y = 0; V + N( t) cos α N( t) = 0, m 0; Σ = N() t a N()cos t α a = 0 N ( t) = N ( t)cosα N() t = 0,47 N() t (8) б) Геометрическая сторона задачи: BB B Из подобия треугольников АВВ и АСС следует =. Так как СС = () ВВ Δl() t Δl t Δ l t +Δl t ; ВВ = =, то cosα cosα Δl() t Δl t a = или cos α ( Δ l( t) +Δlt ) a ( Δl( t) Δ l t) = ( Δ l( t) +Δ lt)cosα — (9) уравнение совместности деформаций элементов системы. в) Физическая сторона задачи: Удлинения стержней и, вызванные усилиями N (t) и N (t), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука равны: N () t l () t ; N t l Δ l = Δ lt = (0) E E Подставляя выражения (7) и (0) в уравнение (9), получим: CC C
14 () () α N t l N t l ‘ l t ‘ l t cos E α Δ = Δ+ E α N() t 8,54 N() t 4 7, , ,9 0 0,0 0 = + 0,9 0 0,5 0 или после преобразований 0, N( t) + 0,00008 N( t) =,8. Решив это уравнение совместно с (8), получим: N ( t) 70,54кН = — сжимающее усилие, N () t =, кн — растягивающее усилие. г) Напряжения в стержнях и от усилий N (t) и N (t) равны: N( t) 70,54 0 () t = = = 89,4 МПа, А,0 0 N ( t), 0 () = = = 8,9 МПа. t А,5 0 д) Результирующие удлинения стержней: N( t) l 70,54 0 8,54 Δ l t = Δl( t) Δ l t = α ‘ lδt = 7,088 0 = 5,988 0 м 5 E 0,9 0 0,0 0 N () t l Δ l = Δl t Δ l = α l Δ t+ = м t ( ) t ‘,84 0. E Проверим, выполняется ли равенство (9): Погрешность вычислений: = = < что допустимо в технических расчетах. Δ l = Δl cosα t t 5,988 0 =,84 0 0,9,97,040,040,97 δ 00% 0,5% %,,97,. Определение напряжений и перемещений, вызванных неточностью изготовления стержня. Так как стержень изготовлен длиннее, чем предусмотрено схемой, то при сборке системы жесткий стержень АС займет положение АС (рисунок ). При этом в стержне возникнет сжимающее усилие N ( δ ), а в стержне растягивающее усилие N ( δ ). Стержень АС находится в равновесии под действием усилий V, H, N (δ), N (δ). Задача, как и в предыдущих случаях, однажды статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости рассматриваем снова три стороны задачи. 4
15 Рисунок. а) Статическая сторона задачи. Σ x = 0; H N( δ)sinα = 0, Σ y = 0; V + N( δ) cos α N( δ) = 0, m 0; Σ = N( δ)cos α a N( δ) a = 0 () б) Геометрическая сторона задачи BB B Из подобия треугольников АВВ и АСС следует =. ВВ δ Δlδ Так как ВВ = =, СС = Δ cosα cosα l δ, то δ Δl δ a = = или Δlδ cosα a ( δ Δ l δ) = Δ lδ cosα — () уравнение совместности деформаций элементов системы. в) Физическая сторона задачи: Укорочение стержня и удлинение стержня, вызванные усилиями N (δ), N (δ), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука равны: N () t l () t ; N t l Δ l = Δ lt = () E E Подставляя выражения () в (), будем иметь: N( δ) l N( δ) l δ = cosα. E E Решив это уравнение совместно с (), получим: ( δ) 8,54 ( δ) 4 N N 0,005 0, ,9 0 0,0 0 = 0,9 0 0,5 0 N( δ) 0,94 N( δ) = 0, 5 CC C
16 откуда N ( ) 4,кН δ = — сжимающее усилие, N ( ) 0,8кН δ = — растягивающее усилие. г) Монтажные напряжения в стержнях и от усилий N (δ), N (δ) равны: N ( δ ) 0,8 0 ( δ) = = = 0,0 МПа, А,0 0 N ( δ ) 4, 0 ( ) = = = 9,4 МПа. δ А,5 0 д) Перемещения стержней и равны: N( δ ) l 0, 8 0 8,54 Δ l δ = δ Δ l δ = δ = 0,005 = 0,000м= 0,0см, 5 E 0,9 0 0,0 0 N ( δ ) l Δ = Δ = = 0,00055 = 0,055. lδ lδ м см E Проверим, выполняется ли равенство (): Δ l δ =Δlδ cosα 0,0 = 0,055 0,9 0,05 = 0,05.4 Определение усилий, напряжений и перемещений стержней Для определения усилий, напряжений и перемещений стержней системы пользуемся принципом независимости действия сил. а) Усилия в стержнях равны: N = N( F) + N( t) + N( δ ) =,5 70,54 0,8 = 4,47 КН, N = N( F) + N( t) + N( δ ) = 8,98 +, + 4, =,8 КН. Проверка: Σ mа = 0; N а + Ncosα а F a =,8 4, 47 0,9 00 = = 4,8 45,8 =,95;,95 Погрешность вычислений: δ = 00% = 0,% < %, что допустимо в технических расчетах. 4,8 б) Напряжения в стержнях равны: = ( F) + ( t) + ( δ) =,04 89,4 0,0 = 87, МПа, = ( F) + ( t) + ( δ) = 54,95 + 8,90 + 9,4 = 48,8 МПа. в) Перемещения в стержнях равны: 5 Δ l = Δ l( F) +Δ l t +Δ l δ = 49, , ,000 = 7,74 0 м, 5 Δ l = Δ l( F) +Δ lt +Δ l δ = 8,55 0 +, ,00055 =,59 0 м. г) Геометрическая проверка
17 Рисунок 7. Вычисленные перемещения Δ l и Δ l, отложенные в масштабе (рисунок 7), должны удовлетворять условию совместности деформаций системы, т.е. должно соблюдаться равенство = или CC C α BB B 7,74 0 0,94,59 0 Δl а = = сos Δl а = 0,5, откуда 0,5 = 0,5 ВЫВОДЫ: ) В статически неопределимых системах в отличие от статически определимых систем: а) изменение температуры и неточность изготовления элементов системы приводят к появлению температурных и монтажных усилий и напряжений; б) температурные и монтажные усилия и напряжения пропорциональны вызвавшим их факторам; в) усилия по элементам системы распределяются пропорционально относительным жесткостям элементов. ) Суммарные напряжения во втором стержне оказались значительно выше допускаемых. Снизить эти напряжения можно различными способами, например: а) уменьшить δ первого стержня; б) создать +δ второго стержня; в) увеличить рабочую температуру второго стержня; г) увеличить сечения стержней, сохранив заданное соотношение площадей и др.. 7
Источник