Сопротивление растяжению при изгибе
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое. Полагая, что гипотеза о ненадавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения в поперечном сечении вычислять при поперечном изгибе по той же формуле, что и при чистом изгибе. Вопрос о проверке прочности балки на касательные напряжения, а также о расчете балок на жесткость будет изложен в последующих параграфах.
Расчетная формула на прочность при изгибе имеет вид
и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле а = Mnm&x)W , не должно превышать допускаемое. Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как и при растяжении и сжатии. Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибающих моментов или расчетом. Так как момент сопротивления изгибу Wв расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньше будут расчетные напряжения.
Определим моменты сопротивления изгибу наиболее распространенных сечений.
1. Прямоугольник bxh (рис. 6.15):
Рис. 6.15
Если балку прямоугольного сечения положить плашмя, то КР =hb2 /б , тогда
следовательно, при прочих равных условиях максимальные нормальные напряжения а’ у прямоугольной балки, положенной плашмя, будут больше, чем у той же балки, когда ее наибольший габаритный размер h вертикален (имеется в виду, что изгиб происходит в вертикальной плоскости).
Из сказанного следует правило: для обеспечения максимальной прочности ось, относительно которой момент инерции максимален, должна быть нейтральной.
2. Круг диаметром d:
3. Кольцо с размерами Dxd:
Момент сопротивления кольцевого сечения нельзя вычислять как разность моментов сопротивлений большого и малого кругов. Нетрудно подсчитать, что при одинаковой площади поперечного сечения, то есть при одинаковом расходе материала момент сопротивления кольцевого сечения больше момента сопротивления сплошного круглого сечения.
Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, но весьма широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Моменты инерции, моменты сопротивления и другие характеристики прокатных фасонных профилей стандартных размеров даются в таблицах ГОСТа.
Для балок, материал которых неодинаково работает на растяжение и сжатие (например, чугун), целесообразно применять профили, не симметричные относительно нейтральной оси, например тавровый или П-образный. Так как у несимметричного профиля при изгибе возникают неодинаковые напряжения растяжения и сжатия, то сечение, например, чугунной балки выгодно располагать так, чтобы меньшие напряжения были в зоне растянутых, а большие — в зоне сжатых волокон (рис. 6.16).
Рис. 6.16
Проведем сравнение экономичности по массе балок двутаврового, прямоугольного и квадратного сечений. Предположим, что из расчетного уравнения мы определили момент сопротивления изгибу балки: W = Л/итахДа] = 1,2-10_3 м3 =1200 см3. По таблицам ГОСТа выбираем двутавровый профиль № 45 с площадью поперечного сечения Л№ = — 83 см2.
Определим размеры прямоугольного сечения, полагая И = 2b:
Отсюда b = lj1200-3/2 = 12,2 см; И = 2Ь = 24,4 см; Апр=ЬИ = 12,2 * • 24,4 = 297 см2.
При прочих равных условиях массы балок пропорциональны площадям поперечных сечений и, следовательно, отношение их масс равно Апр/Аав = 297/83 » 3,5 . Таким образом, балка прямоугольного сечения в три с половиной раза тяжелее балки двутаврового профиля при одинаковой прочности и прочих равных условиях.
Определим размеры квадратного сечения со стороной а: поскольку W = a3/6 = 1200 см2, то
см; АЮ}=а1 = 375 см2;
Лсв/Аш = 375/83 « 4,5. Таким образом, балка квадратного сечения в четыре с половиной раза тяжелее балки двутаврового профиля при одинаковой прочности и прочих равных условиях.
Для балок из хрупкого материала (например, чугуна) составляют два условия прочности — на сжатие и на растяжение, так как хрупкий материал неодинаково сопротивляется сжатию и растяжению.
Пример 6.5
Определить номер профиля консольной балки двутаврового сечения, если допускаемое напряжение при изгибе [а] = 120 МПа, F= 2000 Н, q = 4000 Н/м, /= 2 м (рис. 6.17).
Рис. 6.17
Решение. Очевидно, что у данной балки, работающей на изгиб, максимальный изгибающий момент будет в заделке и определится по формуле Мнтах = -Fl-ql2/8 . Подставив данные, получим абсолютное значение момента
Расчетное уравнение на прочность при изгибе имеет вид атах = = MKmax/Wx [а], откуда
Найдя по таблицам сортамента ближайшее большее значение для Wx, выбираем двутавровое сечение № 12, для которого Wx = 58,4 см2. Если сечение балки повернуть на 90°, то есть расположить полки вертикально, а стенку — горизонтально (рис. 6.17), то потребуется профиль № 30 (при таком расположении сечения двутавр подбирается по 1VX). В этом случае балка окажется в три раза тяжелее.
Пример 6.6
Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 6.18, если F= 20 кН, q = 20 кН/м, т = 8 кН м, а = 0,8 м. Проверить балку на прочность, если ее профиль — двутавр № 20, а допускаемое напряжение [а] = 150 МПа.
Решение. Определим опорные реакции RBw RD, составив уравнение моментов относительно точек BwD.
Подставив данные и произведя вычисления, получим RD = 22 кН.
Подставив данные и произведя вычисления, получим RB = 14 кН.
Рис. 6.18
Построение эпюры Q. На первом участке Qx = 0, так как алгебраическая сумма сил пары всегда равна нулю. На втором участке Q2 = Rg= 14 кН. На третьем участке 03 = RB — F= 14 — 20 = —6 кН. На этих участках эпюра Q изображается прямыми линиями, параллельными оси.
Четвертый участок рассмотрим, взяв начало координат на правом конце балки: 04 = qz, где z изменяется от 0 до а. Тогда при z = 0 04 = 0, при z = aQ4 = = qa = 20 • 0,8 = 16 кН. На этом участке эпюра изображается прямой наклонной линией. В точке D эпюра Q имеет «скачок», равный опорной реакции RD.
Построение эпюры Мн. На первом участке М1и = —т = —8 кН. На втором и третьем участках строим эпюру по значениям изгибающего момента на границах участков: в сечении В имеем М2н = —т = —8 кН; в сечении С имеем М2к = —т + RB ? а = — 8 + 14 • 0,8 = 3,2 кН м; в сечении D имеем М3и = —т + + RB ? За -F- 2а = — 8 + 14 • 3 • 0,8 — 20 • 2 • 0,8 = —6 кН м. На первых трех участках эпюра Мц изображается прямыми линиями.
Четвертый участок рассмотрим, взяв начало координат на правом конце балки: М4и = -qz212 , где z изменяется от 0 до а. Тогда при z = 0 М4и = 0, при Z = а М4и = —qa2/2 = —20 • 0,82/2= —6,4 кН м. На этом участке эпюра Ми — дуга параболы.
Проверка балки на прочность. Наибольший изгибающий момент будет на первом участке: | Митах = 8 кН м. Расчетная формула на прочность при изгибе: а = MKmax/Wx [а]. По таблицам сортамента находим значение момента сопротивления для двутавра № 20: Wx = 184 см3 = 184-10 6 м3. Подставляя значения и учитывая размерности, получим
Условие прочности а
Источник
(1) Значение fxk1 определяют как сопротивление растяжению при изгибе по неперевязанному сечению – с плоскостью излома параллельной горизонтальным швам, и значение fxk2 как сопротивление растяжению при изгибе по перевязанному сечению – с плоскостью излома перпендикулярной горизонтальным швам (см. рисунок 3.1).
| a) Неперевязанное сечение. Плоскость излома параллельна горизонтальным швам, fxk1 | b) Перевязанное сечение. Плоскость излома перпендикулярна горизонтальным швам, fxk2 |
Рисунок 3.1 — Сечения и плоскости излома при изгибе каменной кладки
(2)P Нормативное сопротивление каменной кладки растяжению при изгибеfxk1 и fxk2 определяют по результатам испытаний.
Примечание — Результаты могут быть получены на основании испытаний, проводимых для конкретного объекта, или из существующей базы данных.
(3) Нормативное сопротивление каменной кладки растяжению при изгибедопускается определять посредством испытаний согласно EN 1052-2 или посредством обработки результатов испытаний на прочность при изгибе элементов каменных конструкций при установленном сочетании камней (блоков) и раствора.
Примечание 1 — Значения fxk1 и fxk2 устанавливают в национальном приложении настоящего стандарта.
Примечание 2 — При отсутствии результатов испытаний на прочность каменной кладки при изгибе с применением раствора общего назначения, раствора, укладываемого тонким слоем, или легкого раствора допускается применять значения из таблиц этого примечания, если раствор, укладываемый тонким слоем, и легкий раствор соответствуют классу не менее M5.
Примечание 3 — Для каменной кладки из ячеистого бетона с применением раствора, укладываемого тонким слоем, значения fxk1 и fxk2 получают из таблицы этого примечания или рассчитывают по следующим формулам:
fxk1= 0,035 fb , с или без заделки раствором вертикальных швов;
fxk2= 0,035 fb , с заделкой раствором вертикальных швов или 0,025 fb — без заделки раствором вертикальных швов.
Значения fxk1, неперевязанное сечение — плоскость излома параллельно горизонтальным швам
| Камни и блоки | fxk1 (Н/мм2) | |||
| Раствора общего назначения | Раствор, укладываемый тонким слоем | Легкий раствор | ||
| fm < 5 Н/мм2 | fm ≥ 5 Н/мм2 | |||
| Кирпич | 0,10 | 0,10 | 0,15 | 0,10 |
| Силикатный блок | 0,05 | 0,10 | 0,20 | Не применяют |
| Бетонный блок | 0,05 | 0,10 | 0,20 | Не применяют |
| Блок из ячеистого бетона | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,10 |
| Бетонный блок заводского изготовления | 0,05 | 0,10 | Не применяют | Не применяют |
| Блок из природного камня | 0,05 | 0,10 | 0,15 | Не применяют |
Значения fxk2, перевязанное сечение — плоскость излома перпендикулярно горизонтальным швам
| Камни и блоки | fxk2 (Н/мм2) | ||||
| Раствора общего назначения | Раствор, укладываемый тонким слоем | Легкий раствор | |||
| fm < 5 Н/мм2 | fm ≥ 5 Н/мм2 | ||||
| Кирпич | 0,20 | 0,40 | 0,15 | 0,10 | |
| Силикатный блок | 0,20 | 0,40 | 0,30 | Не применяют | |
| Бетонный блок | 0,20 | 0,40 | 0,30 | Не применяют | |
| Блок из ячеистого бетона | ρd < 400 кг/м3 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,15 |
| ρd ≥ 400 кг/м3 | 0,20 | 0,40 | 0,30 | 0,15 | |
| Бетонный блок заводского изготовления | 0,20 | 0,40 | Не применяют | Не применяют | |
| Блок из природного камня | 0,20 | 0,40 | 0,15 | Не применяют |
Примечание 4 — Значение fxk2 не должно превышать прочность каменной кладки на растяжение при изгибе.
Конец примечаний
Источник