Сопротивление растяжению и сжатию
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
1)Сопротивление растяжению
При механических воздействиях стекла ведут себя не так, как например металлы, у которых при сжатии или растяжении сначала получаются пластические деформации, затем появляется текучесть и, наконец, происходит разрыв. У стекол почти отсутствует область текучести. Обладая высоким модулем упругости, стекло выдерживает только медленные и не очень сильные механические воздействия; при динамических или ударных нагрузках оно легко ломается.
Величина сопротивления растяжению является одним из важнейших свойств стекла, от которого зависит прочность стеклянных изделий.
При слишком быстром и неравномерном охлаждении в стекле возникают напряжения растяжения и сжатия. Величину этих напряжений в каждом отдельном случае необходимо учитывать в соответствии с величиной сопротивления растяжению. Для стеклянных изделий значительных размеров разрывающие напряжения считаются допустимыми, если их величина не превышает 1/5 прочности стекла на растяжение.
Прочность на растяжение промышленных стекол, в зависимости от состава, колеблется в пределах от 4 до 12 кг/мм2. Расхождение опытных данных с данными, полученными расчетным путем, весьма часто достигают ±20%. При испытании на разрыв на соответствующем приборе необходимо, чтобы усилие, приложенное к палочке стекла, было направлено точно вдоль ее оси, во избежание возникновения изгиба, ведущего к преждевременному разрушению образца. Необходимо также учитывать качество отжига стекла, так как только хорошо отожженные стекла дают сравнимые результаты.
Закаленное стекло имеет более высокие показатели сопротивления растяжению, чем отожженное стекло того же состава, так как в закаленном стекле преобладают напряжения сжатия, поэтому при разрыве образца необходимо преодолеть эти напряжения и лишь после этого приложенные растягивающие усилия начнут оказывать действие на образец.
Химический состав также имеет влияние на величину разрывающего усилия. Оказалось, что при замещении SiO2 окислами типа R2O повышается прочность, причем K2O оказывает большее влияние, чем Na2O. Окислы типа RO повышают сопротивление растяжению; при этом на первом месте стоит CaO, за ним следует BaO и PbO. Окиси магния и цинка оказывают меньшее влияние.
Хрупкий разрыв стеклообразных веществ. Наблюдения многих исследователей при испытании стеклянных палочек на разрыв, показали, что при рассмотрении поверхности разрыва стекла часто можно заметить две области; одна из них – зеркальногладкая, а другая – шероховатая, покрытая раковистыми извилинами, идущими от зеркальногладкого участка разрыва. Прочность образцов зависит от величины зеркальногладкой части поверхности. Результаты испытаний можно свести к следующему: относительная величина зеркальногладкой части образца тем больше, чем меньше прочность стекла на растяжение.
Поэтому зеркальная часть поверхности разрыва обладает весьма малой прочностью, и чтобы получить истинные значения прочности, необходимо действующую нагрузку относить не ко всему сечению образца S, как это принято в формуле:
(1)
где: P – разрывающее усилие в кг;
S – площадь поперечного сечения разорванного образца в мм2.
Таким образом, прочность на растяжение является постоянной величиной и отклонение от нее зависит только от дефектов, дающих на поверхности излома зеркальный разрыв.
2) Сопротивление сжатию
Сопротивление сжатию отожженных стеклянных образцов приблизительно в 15-16 раз выше, чем сопротивление растяжению, и в среднем составляет от 60 до 160 кг/мм2.
Сопротивления сжатию и растяжению являются для стекла свойствами, приблизительно аддитивными.
Стеклообразующие окислы по влиянию их на сопротивление сжатию располагают в следующем убывающем порядке:
Al2O3 SiO2, MgO, ZnO B2O3 Fe2O3 BaO, CaO, PbO, Na2O K2O.
Заключенные в рамки окислы приблизительно одинаково влияют на величину сопротивления сжатию.
3)Сопротивление изгибу
На величину сопротивления изгибу оказывает влияние целый ряд различных факторов. найдено, что прочность на изгиб понижается с увеличением продолжительности приложения нагрузки.
Таблица
Среднее сопротивление изгибу образцов стекла различной ширины в кг/мм2
| Стекло | Ширина образца в см | |
| Оконное | 6,05 | 4,47 |
| Зеркальное | 4,56 | 3,80 |
| Армированное | 4,08 | 3,13 |
Состав стекла оказывает существенное влияние на величину сопротивления изгибу. Экспериментальные данные дают возможность расположить стеклообразующие окислы по влиянию на сопротивление изгибу в следующем возрастающем порядке: CaO BaO PbO ZnO MgO B2O3 Fe2O3 SiO2 Al2O3.
Прочность на изгиб в лабораторных условиях определяется по формуле:
, (2)
где: W – разрушающая нагрузка в кг,
l – расстояние между опорами,
b – ширина образца,
d – толщина.
Модуль упругости
Модуль упругости стекла определяется путем измерения угла поворота стержня, покоящегося на двух опорах, или по величине стрелы прогиба стеклянной пластинки прямоугольного сечения.
В первом случае расчет ведут на основании данных, полученных опытным путем по следующей формуле:
(кг/мм2), (3)
где: P – нагрузка в кг,
l – расстояние между опорами в мм,
a – толщина пластинки в мм,
b – ширина пластинки в мм,
j — угол поворота.
Если же известна стрела прогиба стеклянной пластинки, то пользуются несколько видоизмененной формулой:
(кг/мм2),
где h – стрела прогиба в мм.
Для стекол различного состава величину модуля ориентировочно можно подсчитать по формуле:
где: е1, е2, е3,… еn – коэффициент для данного типа стекла;
х1, х2, х3,…хn – процентное содержание окислов.
Практическое значение модуля упругости заключается в том, что чем больше его численное значение, тем меньшую деформацию способен выдержать стеклянный образец, так как с увеличением Е соответственно возникают большие напряжения в образце. Таким образом, при постоянной деформации стекло тем прочнее, чем меньше модуль упругости.
Величина модуля упругости для наиболее ходовых стекол колеблется в пределах от 5000 до10000 кг/мм2.
Хрупкость
Тело считается хрупким, если разрушение его наступает немедленно после перехода за предел упругости. Стекло очень хрупко при обыкновенной температуре. Предел упругости для него настолько близок к разрушающему напряжению, что закон Гука действителен с большой точностью до момента разрушения.
Под понятием «хрупкость» принято подразумевать способность данного тела ломаться при некотором превышении предела упругости. Всякое упругое тело воспринимает удар, не изменяя своей формы до тех пор, пока не будет достигнут предел упругости.
Если силой удара преодолен предел упругости, то хрупкие тела будут ломаться, тогда как тела, пластически деформируемые, например, металлы, будут еще в течение более или менее значительного времени находится в так называемой стадии «текучести», пока не перейдут границу прочности.
Тела, приближающиеся к идеально хрупким, обладают особым свойством, которое заключается в том, что пределы упругости и прочности у них совпадают. У хрупкого тела отсутствуют пластические деформации.
Таким образом, если предел упругости и предел прочности лежат весьма близко друг от друга, то такое тело почти до разрушения будет испытывать лишь упругие деформации и его принято называть хрупким.
Твердость
Твердость стекла имеет большое практическое значение, в особенности при механической обработке его, как, например, при резке, шлифовке, полировке и сверлении.
Твердость стекла принято измерять величиной поверхностной энергии, характерной для каждого вещества. Известно, что частицы тела, находящиеся в пограничном слое, испытывают одностороннее давление, направленное внутрь данного вещества. Поэтому молекулы, находящиеся в поверхностном слое, обладают некоторым избытком свободной энергии по сравнению с внутренними. Избыток потенциальной энергии, отнесенный к единице поверхности, называется поверхностной энергией, или поверхностным натяжением.
Для определения твердости стекла пользуются методом затухающих колебаний маятника, предложенным В.Д. Кузнецовым. Этот метод благодаря простоте и точности широко применяется в лабораторной практике. Метод основан на следующем принципе: если одно тело обладает поверхностной энергией Э1, а второе Э2, причем Э1>Э2, то первое тело способно царапать второе, т. е. Оно будет тверже второго. Кроме приведенного метода измерения часто пользуются шкалой твердости, по которой твердость стекол лежит в пределах 4,5 и 7,0.
Источник