Сопромат задача на растяжение и кручение

Задача.  Для заданного стального бруса  d=50мм (материал – сталь Ст3)  построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при  . Сравнить сечения по расходу материала.

1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

Строим эпюру МК

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φА=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·105 МПа = 0,8·108 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

Если требуется перейти к градусной мере, то:

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

Строим эпюру φ

3.Проверим прочность бруса по формуле

Максимальный крутящий момент с эпюры МК = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

Тогда —прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с  .

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

Тогда—   прочность обеспечена.

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см2, а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см2, что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Объясняется это эпюрой касательных напряжений в сплошном брусе.

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

MIV=M4;

MIII=M4 – M3;

MII = M4 – M3 – M2;

MI = M4 – M3 – M2+M1.

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии. 

2) Определяем диаметр стержня из условия прочности:   Выразим  –полярный момент сопротивления при кручении круглого стержня через диаметр:тогда получим:     

 берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении, где  — модуль сдвига, а (см4) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет   – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где  ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений. 

Дано: 

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK:  МL= М4 = 5 кНм;  МК=М4=5кНм.

Участок KD:  МК= М4 — M3 = 5-8 =-3кНм; MD= М4 -M3=5-8=-3кНм;

Участок DC:  MD= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;  MC= М4 -M3+M2=5-8+6=3кНм;

Участок CB:   MC= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм;  MB= М4 -M3+M2-M1=5 -8+6-4=-1кНм.

Покажем эпюру  крутящих моментов  на рис.б.

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный  внутренний крутящий момент:

Тогда из условия прочности:

А  из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:

Рассчитаем касательные напряжения для участков:

Построим эпюру  касательных напряжений  на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:

Тогда:

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В,  в которой угол поворота равен 0):

Эпюра φ представлена на рис.д.

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на . Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.

При нагреве стержней  на  возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения   и разности температур .

Эти напряжения создадут усилия: 

  Тогда крутящий момент:

Касательные напряжения:

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждении – растягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

К стальному валу приложены три известных момента:

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;  4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины). 

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота  является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к  — крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига ,  — для стали

 — полярный момент инерции  

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

 (1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов  Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где —максимальное касательное напряжение,

 — максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

 — полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре  равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может: 

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины: 

Пусть:М1=5кНм,           М2=10кНм,           ℓ=1м,           [τ]=100МПа,           G=8∙1010Па

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2) Построить эпюру углов поворота.

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

(1)

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

φI+ φII+ φIII=0.

Учитывая, что

получаем:

(2)

Сократим на  , тогда будет:

(2′)

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

При h/b=2: β=0,229, и тогда IкIII= β∙h∙b3=0,229∙(2b)∙b3=0,458∙ b4=0,458∙ c4.

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

или после сокращения на с4:

(2′′)

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через МА:

  (а)

(б)

(в)

С учетом (а), (б) и (в)  уравнение (2′′), будет:

откуда находим значение МА:

— 13,892МА=3,33.

МА=-0,24кНм

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

Для круглого сечения

При заданном соотношении d=c:

Тогда

— на втором участке

Для кольцевого сечения

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

тогда:

— на третьем участке

Для прямоугольного сечения  . При соотношениях 

По таблице α=0,246. И тогда Wк=2∙0,246∙с3.

Из условия прочности

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

у которого 

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним у которого 

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого Iк=β∙h∙b3=0,229∙0,092∙0,0463=205∙10-8м4.

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α0=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси z не может,