Сопромат расчет на прочность стержневой системы растяжения сжатия
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, расчет которых не может быть произведен с помощью одних только уравнений статики, поскольку этих уравнений недостаточно для определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения исходя из рассмотрения деформированного состояния стержня или стержневой системы.
Рассмотрим примеры решения статически неопределимых задач.
Пример 3.4. Для стержня ступенчато-постоянного поперечного сечения, закрепленного на обоих торцах (рис. 3.14, а), построим эпюру N, определим осевые перемещения характерных сечений и построим эпюру и.
Поскольку стержень закреплен с двух сторон, возникают две опорные реакции R{ и R2. Составим уравнение равновесия:
Из этого уравнения нельзя определить опорные реакции Rx и R2. Поскольку стержень закреплен с двух сторон, его длина после действия нагрузки не изменится. Отсюда следует условие деформации стержня: А/ = 0.
Раскроем это условие следующим образом. Отбросим мысленно одно из закреплений (например, нижнее) и введем в этом сечении неизвестную силу, равную реакции в отброшенной связи Х= R2 (рис. 3.14, б).
Поставим условие, что образованный таким образом статически определимый стержень должен деформироваться так же, как и заданный. Тогда на основании принципа независимости действия сил можно записать:
где Alp и Alx — величины удлинений (укорочений) стержня (см. рис. 3.14, б) от действия заданной нагрузки и силы X.
Эти величины равны:
Решаем дополнительное уравнение:
Определяем вторую опорную реакцию из уравнения статики:
Направления опорных реакций соответствуют принятым в начале расчета. Эпюра N приведена на рис. 3.14, в.
Рис. 3.14
Определим величины удлинений и укорочений участков стержня и проверим выполнение условия его деформации:
Задача решена правильно. Вычислим осевые перемещения характерных сечений:
Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 3.14, г. Осевые перемещения в пределах всех участков изменяются по линейному закону. Поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси Ох, т.е. вниз.
Пример 3.5. Стальная труба, заполненная бетоном, находится под действием сжимающей силы (рис. 3.15, а). Определим величины продольных сил и нормальных напряжений в трубе и бетоне при условии их совместной работы. Эффекты, связанные с поперечными деформациями, учитывать не будем.
Суммарная продольная сила в стержне является сжимающей и равна N = -Р. Она воспринимается одновременно стальной трубой и бетоном. Составим уравнение равновесия:
где Nc и Nq — сжимающие продольные силы в трубе и бетоне (рис. 3.15, б).
Задача является статически неопределимой. Из условия совместной деформации трубы и бетона их укорочения должны быть одинаковыми по величине: А/с = А/б. Раскроем это условие:
где ECFC и Е6Р6 — жесткости стальной трубы и бетона при сжатии.
Решив совместно полученные два уравнения, находим:
Из этих формул следует, что сила Р распределяется между элементами стержня пропорционально их жесткостям.
Рис. 3.15
Выполним числовой расчет, приняв сечение трубы 0 200 x10 мм, Ес = 2,1 • 105 МПа, Еб = 0,2- 105 МПа и Р= 500 кН. Площади поперечных сечений трубы и бетона равны:
Определяем продольные силы и напряжения в элементах стержня:
В статически неопределимых системах внутренние усилия и напряжения могут возникнуть не только при силовом, но и при тепловом воздействии (нагреве или охлаждении), а также при монтаже в случае неточного изготовления отдельных элементов и при смещении (осадке) опор.
Рассмотрим, например, закрепленный с двух сторон стержень постоянного поперечного сечения, подвергаемый нагреву на величину Т (рис. 3.16, а). Закрепления препятствуют свободному удлинению стержня. В силу этого возникают две равные по величине и противоположные по направлению опорные реакции Rx = R2 = R. Статически неопределимый стержень при нагреве испытывает сжатие силой N=—R.
Для определения продольной силы и напряжений в стержне используем условие его деформации: А/ = AlR + А1Т = 0, где AlR = —Rl/EF — возможное укорочение стержня от действия продольной силы N = —R (рис. 3.16, б) и A lT = a IT — возможное его удлинение при нагреве (рис. 3.16, в), где а — коэффициент линейного температурного расширения материала.
Составим уравнение относительно R, решив которое получим:
Рис. 3.16
Напряжения в стержне прямо пропорциональны коэффициенту а, модулю упругости материала Е и величине температуры Т.
При охлаждении статически неопределимый стержень будет испытывать растяжение.
Пример 3.6. Латунный цилиндрический стержень ступенчато-постоянного сечения закреплен на торцах и находится под действием сосредоточенной силы Р = 40 кН и температуры Т = 20 °С (рис. 3.17, а). Построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1,1 • 105 МПа и а = 1,65 • 10-5.
Под действием силы и температуры на закрепленных торцах возникают опорные реакции Rx и R2. Составим уравнение равновесия:
Отбросим мысленно нижнее закрепление и заменим его силой X = R2 (рис. 3.17, б), для определения которой используем условие деформации стержня: А/ = А1Р + А1Х+ А 1Т= 0.
Учитывая, что площади поперечных сечений стержня равны Рх = к ? 32/4 = 7,07 см2 и Р2 = п • 52/4 = 19,63 см2, определим величины Alp, А1Х и A If.
Рис. 3.17
Подставив эти величины в условие деформации стержня, решим его относительно X
Вторая опорная реакция равна R = Р — R2 = 40 — 67,57 = = —27,57 кН. Истинное направление R{ показано пунктиром. Эпюра N приведена на рис. 3.17, в. Оба участка стержня испытывают сжатие. Определим величины напряжений в стержне и удлинений и укорочений его участков.
Первый участок
Проверим выполнение условия деформации стержня:
Эпюры о и и приведены на рис. 3.17, г, д. Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох, т.е. вверх. В пределах обоих участков перемещения изменяются по линейному закону.
Пример 3.7. При монтаже изображенной на рис. 3.18, а стержневой системы оказалось, что длина среднего стержня меньше проектной на величину 6 = 0,2 см. Определим величины усилий и напряжений в стержнях после монтажа и вертикальное перемещение узла В. В расчетах примем Fx = F3 = 10 см2, F2 = 12 см2, Е= 2,1 • 105 МПа.
При установке среднего стержня его надо подвергнуть предварительному растяжению. Крайние стержни после монтажа системы будут испытывать сжатие.
Вырежем мысленно узел В (рис. 3.18, б) и рассмотрим его равновесие под действием усилий Nx, N2 и N3:
Двух уравнений статики недостаточно для определения трех усилий Nx, N2, N3 в стержнях. Система является статически неопределимой, и для ее расчета необходимо рассмотреть схему деформации системы и составить дополнительное уравнение.
Рис. 3.18
В силу симметрии системы относительно оси Оу узел В после монтажа переместится вертикально вверх на величину ВВ’ = 5 — А/2 (рис. 3.18, в), где А/2 — величина удлинения среднего стержня. Крайние стержни укоротятся на величины А/, = А/3 = ВВ’ sin a = (5 — А/2) sin a.
Выразив A/j и Д/2 через усилия в стержнях, составим дополнительное уравнение: где /j = у/1,52 + 1,52 = 2,12 м и /2 = 3 м — длины стержней.
Длина среднего стержня взята без учета весьма малой величины 5.
Учитывая соотношение между Nx и N2, находим усилия в стержнях:
Усилия TVj и N3 являются сжимающими, a N2 — растягивающим. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).
Стержни АВ и BD
Стержень СВ
Вертикальное перемещение узла В равно
Пример 3.8. В процессе работы стержневой системы (рис. 3.19, а) шарнирная опора А жесткой балки АВ получила осадку 5 = 0,5 см. Определим усилия и напряжения в поддерживающих балку стержнях CD и BE и их удлинения (укорочения). В расчетах примем Е1 = 10 см2, F2 = 15 см2 и Е= 2,1 • 105 МПа.
При осадке жесткой балки на шарнирной опоре возникает опорная реакция RA, а в поддерживающих балку стержнях — усилия TVj и N2 (см. рис. 3.19, а). По физическому смыслу задачи очевидно, что усилие Nl является растягивающим, a N2 — сжимающим.
Рис. 3.19
Система является статически неопределимой. Составим уравнение равновесия, не содержащее опорную реакцию RA:
Схема деформации системы показана на рис. 3.19, б. Соотношение между величиной удлинения первого стержня A/j и величиной укорочения второго стержня Д/2 получим из подобия треугольников:
Выразив А/, и Д/2 через усилия в стержнях, получим следующее равенство:
где /j = /2 = 3 м — длины стержней.
Подставив числовые значения Е, Fx, F2, 1Х, /2 и соотношение между Nx и N2 и решив полученное уравнение, находим:
Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).
Первый стержень
Второй стержень
Источник
Расчеты на прочность стержней и других элементов конструкций составляют одну из основных задач сопротивления материалов. Целью этих расчетов является обеспечение надежной и безопасной работы элементов конструкций и сооружений в течение всего периода эксплуатации при минимальном расходе материала.
Расчеты на прочность производятся на основе определенных методов, позволяющих сформулировать условия прочности элементов конструкций при различных воздействиях.
Основным методом расчета на прочность элементов строительных конструкций является метод предельных состояний. В этом методе значения всех нагрузок, действующих на конструкцию в течение всего периода ее эксплуатации, разделяются на нормативные и расчетные. Нормативные значения нагрузок характеризуют их действие на конструкцию при нормальных условиях ее эксплуатации. Это собственный вес конструкции, атмосферные воздействия снега, ветра, вес технологического оборудования, людей и т.п. Нормативные значения нагрузок приведены в строительных нормах и правилах (СНиП).
Расчетные значения нагрузок Рр определяются путем умножения нормативных значений Рн на коэффициенты надежности по нагрузке уу-:
С помощью коэффициентов производится учет возможного отклонения нагрузок от их нормативных значений в неблагоприятную для работы конструкции сторону. Значения коэффициентов надежности по нагрузке устанавливаются нормами проектирования с учетом различных факторов в пределах от 1,05 до 1,4.
В качестве основного параметра, характеризующего сопротивление материала конструкции различным воздействиям, принимается нормативное сопротивление RH, соответствующее значению предела текучести для пластичных материалов или временного сопротивления для хрупких материалов. Последние определяются с помощью механических испытаний.
При оценке прочности элементов конструкций величина нормативного сопротивления материала должна быть уменьшена за счет различных неблагоприятных факторов (например, ухудшения качества материала). Для этого вводится расчетное сопротивление, которое определяется по формуле
где ут — коэффициент надежности по материалу, изменяющийся в различных пределах в зависимости от физико-механических свойств материала. Например, для стали он изменяется в пределах от 1,025 до 1,15.
Кроме того, в условие прочности вводится коэффициент условий работы ус, с помощью которого учитываются конструктивные особенности и виды нагружения сооружений. Коэффициент ус может быть больше или меньше единицы.
Величины нормативных и расчетных сопротивлений и значения коэффициентов ур ут и ус приведены в соответствующих разделах строительных норм и правил (СНиП).
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии, согласно методу предельных состояний, имеет следующий вид:
где N — продольная сила в стержне, вычисленная от действия расчетных нагрузок; F — площадь поперечного сечения стержня.
Условие (3.27) обычно ставится для сечения стержня, в котором действуют наибольшие нормальные напряжения.
С помощью условия прочности (3.27) можно выполнить подбор сечения стержня, т.е. определить размеры поперечного сечения или установить номер прокатного профиля по сортаменту, а также определить грузоподъемность стержня или стержневой системы. Подбор сечения стержня выполняется по формуле
При расчете на прочность элементов машиностроительных конструкций используется метод расчета по допускаемым напряжениям. В этом методе внутренние усилия и напряжения в элементах конструкции вычисляются от действия нормативных нагрузок, допускаемых при нормальной эксплуатации данной конструкции. Сопротивление материала различным воздействиям характеризуется допускаемым напряжением [а], которое определяется по формулам: для хрупких материалов
для пластичных материалов
где пви пт — коэффициенты запаса прочности по отношению к временному сопротивлению ов и пределу текучести от.
Коэффициенты запаса принимаются с учетом целого ряда факторов, таких как физико-механические свойства материала, условия работы конструкции, характер действия нагрузок и т.п.
Величины допускаемых напряжений [о] для различных материалов приведены в соответствующих нормативных документах.
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии по методу допускаемых напряжений имеет следующий вид:
С помощью условия (3.31) можно также решать задачи подбора сечения стержня и определения грузоподъемности.
Пример 3.9. Жесткая балка АВ нагружена сосредоточенной силой и поддерживается с помощью стержня CD (рис. 3.24). Подберем сечение стержня в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков и в виде двух стальных тяг круглого сечения. В расчетах примем нормативное значение силы Рн = 100 кН, yf= 1,4, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Определим расчетное значение силы:
Определим с помощью уравнения равновесия расчетное значение продольной силы в стержне CD:
Вычислим значение требуемой по условию прочности площади поперечного сечения стержня:
В первом варианте принимаем по сортаменту сечение стержня в виде двух равнобоких уголков (рис. 3.25, а) _|1_56х56х5. Площадь поперечного сечения стержня равна F= 2 • 5,41 = 10,82 см2.
Во втором варианте определяем требуемый диаметр сечения каждого стержня (рис. 3.25, б):
Рис. 3.24
Рис. 3.25
Округлив в большую сторону, примем D = 2,6 см.
Определим для первого варианта сечения значения напряжений в поперечном сечении стержня:
Прочность стержня обеспечена с небольшим запасом.
Пример 3.10. Стержневая система состоит из жесткой балки АВ, имеющей шарнирно-неподвижную опору С, и двух стержней BD и АЕ, поддерживающих балку (рис. 3.26). К балке приложена сила Р, нормативное значение которой равно 300 кН. Определим усилия в стержнях и подберем их сечения в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков. В расчетах примем соотношение между площадями поперечных сечений стержней F2/F] = 1,3, yf = 1,2, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Расчетное значение силы Р равно Рр = 300 • 1,2 = 360 кН.
Данная стержневая система является статически неопределимой, поскольку для определения четырех неизвестных величин /V,, N2, Rcи Нсможно составить только три независимых уравнения статики. Используем уравнение равновесия относительно усилий в стержнях /V, и N2. Учитывая, что г, = 3 sin 30° = 1,5 м, получим
Для получения дополнительного уравнения относительно N{ и N2 рассмотрим схему деформации системы. При повороте жесткой балки АВ на малый угол у (рис. 3.27) удлинения стержней составят:
Рис. 3.26
Рис. 3.27
Определим из подобия треугольников АА’С и В В’ С соотношение между величинами А/, и Д/2:
Выражаем величины удлинений стержней через действующие в них усилия и составляем дополнительное уравнение относительно N, и N2:
где /j = 3/cos 30° = 3,46 ми /2 = 1,5 м — длины стержней.
Подставляем соотношение между усилиями в уравнение равновесия и определяем величины усилий в стержнях:
Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений стержней:
Проверим выполнение принятого в начале расчета соотношения между площадями F{ и F2:
Поскольку принятое соотношение не выполняется, при подборе сечений стержней надо увеличить требуемую площадь поперечного сечения первого стержня и принять ее равной
Принимаем по сортаменту сечения стержней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, определяем действующие в стержнях напряжения и проверяем их прочность. Стержень BD (2|_75х75х8)
Стержень (2L 110x110x7)
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.11. Для данной системы (рис. 3.28) определим величину допустимой силы Р из условий прочности стержней Л В и ВС. Определим усилия и напряжения в стержнях. В расчетах примем R = 220 МПа = 22 кН/см2 иус = 0,9.
Рис. 3.28
Составим уравнения равновесия:
Определим площади поперечных сечений стержней и выразим действующие в них напряжения через силу Р:
Напряжения в стержне АВ являются большими по величине. Определим из условия прочности этого стержня величину силы Р:
Примем Р = 245 кН и вычислим значения усилий и напряжений в стержнях:
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.12. Для латунного стержня ступенчато-постоянного сечения (рис. 3.29, а) определим величину силы .Риз условия прочности стержня. Определим напряжения в пределах каждого участка стержня. В расчетах используем метод допускаемых напряжений, приняв [о] = 80 МПа = 8 кН/см2.
Площади поперечных сечений стержня равны:
Строим эпюру продольных сил (рис. 3.29, б). Определяем нормальные напряжения в пределах участков стержня и выражаем их через силу Р.
Первый участок
Второй участок
Рис. 3.29
Эпюра о приведена на рис. 3.29, в. Ставим условие прочности по напряжениям на первом участке и определяем величину Р:
Примем Р = 40 кН и определим усилия и напряжения в стержне:
Источник