Сопромат на кручение растяжение
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Введение.
Формы тел, изучаемых в сопротивлении материалов.
Гипотезы о свойствах материала.
Связи.
Расчётная модель.
Основные принципы.
Силы внешние и внутренние.
Метод сечений, РОЗУ.
Внутренние силовые факторы.
Виды нагружения стержня.
Напряжения.
Зависимости между напряжениями и внутренними силовыми факторами.
Деформации.
Введение
01 — Введение-7.pdf
Adobe Acrobat Document
1.2 MB
Растяжение и сжатие прямого стержня.
Связь внутренних сил с внешними нагрузками.
Перемещения и деформации.
Связь деформаций в продольном и поперечном направлениях, коэффициент Пуассона.
Напряжения в поперечных и наклонных сечениях.
Закон Гука для одноосного напряжённого состояния.
Объёмная деформация.
Потенциальная энергия деформации и работа внешних сил.
Статически неопределимые задачи растяжения (сжатия), их особенности.
Механические характеристики материалов.
Закон разгрузки.
Технические (условные) характеристики.
Схематизация диаграмм.
Расчёт на прочность.
Пластическое деформирование систем.
Расчёт по предельным нагрузкам.
Характеристики пластичности материалов при растяжении.
Влияние различных факторов на механические характеристики материалов.
Растяжение (сжатие)
02.pdf
Adobe Acrobat Document
2.7 MB
Основные понятия кручения.
Гидродинамическая и мембранная аналогии.
Напряжённое состояние «чистый сдвиг». Свойство парности касательных напряжений.
Закон Гука для сдвига.
Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге.
Связь характеристик упругости материала E, G и ν.
Кручение стержня круглого поперечного сечения.
Определение напряжений, углов поворота сечений, энергия деформации и работа внешних моментов.
Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Кручение тонкостенных замкнутых и разомкнутых профилей.
Расчёт на прочность.
Кручение
03.pdf
Adobe Acrobat Document
2.3 MB
Перечень геометрических характеристик.
Виды координатных осей.
Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей.
Моменты инерции простейших фигур, пример расчёта составной фигуры.
Плоские фигуры
04.pdf
Adobe Acrobat Document
869.8 KB
Виды изгиба, гипотезы, напряжения.
Прямой чистый изгиб прямого стержня.
Определение напряженй и кривизны оси стержня.
Потенциальная энергия деформации.
Рациональные формы поперечных сечений.
Расчёт на прочность.
Поперечный изгиб. Оценка величины касательных напряжений.
Дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня. Метод Коши-Крылова определения перемещений и углов поворота поперечных сечений прямого изогнутого стержня.
Косой изгиб.
Внецентренное растяжение и сжатие.
Изгиб.
05.pdf
Adobe Acrobat Document
1.7 MB
Определение напряжений, перемещений и потенциальной энергии деформации.
Энергетические теоремы: Кастилиано, Лагранжа, Бетти (взаимности перемещений).
Интеграл Мора для определения перемещений. Способ Верещагина.
Пружины.
Общий случай нагружения.
06.pdf
Adobe Acrobat Document
2.8 MB
Введение.
Плоские статически неопределимые конструкции:
— один раз статически неопределимые;
— два раза статически неопределимые;
— n раз статически неопределимые;
— рамы с замкнутым контуром, учёт свойств прямой и косой симметрии;
— многоопорные балки.
Плоско-пространственные рамы.
Раскрытие статической неопределимости методом сил.
07.pdf
Adobe Acrobat Document
1.6 MB
Стержень прямоугольного поперечного сечения.
Стержень произвольного поперечного сечения.
Остаточные напряжения.
Расчёт по предельным нагрузкам при изгибе (пластические шарниры).
Упруго-пластический изгиб.
08.pdf
Adobe Acrobat Document
1.1 MB
Напряжённое состояние в точке тела.
Тензор напряжений.
Главные площадки и главные напряжения и их определение.
Типы напряжённых состояний.
Эллипсоид напряжений.
Круговая диаграмма Мора.
Шаровой тензор и девиатор.
Деформированное состояние в точке тела.
Тензор деформаций.
Главные дефомации.
Обобщённый закон Гука для изотропного материала.
Объёмная деформация.
Удельная потенциальная энергия деформации, её деление на энергию изменения формы и энергию изменения объёма.
Сложное н.с.
09.pdf
Adobe Acrobat Document
2.1 MB
Принципы построения критериев пластичности и разрушения. Основные понятия.
Эквивалентное напряжение.
Теория максимального касательного напряжения.
Энергетическая теория.
Теория прочности Мора.
Пределы применимости теорий прочности.
Понятие о механизме разрушения. Энергетический и силовой подход.
Теория Гриффитса.
Коэффициент интенсивности напряжений.
Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений как характеристика трещиностойкости материала.
Компьютерное исследование разрушения материала.
Разрушение.
10.pdf
Adobe Acrobat Document
3.0 MB
Явление усталости.
Механизм усталостного разрушения.
Характеристики циклов переменных напряжений.
Кривые усталости и предел выносливости.
Влияние концентрации напряжений, размера и чистоты обработки детали на её сопротивление усталости.
Диаграмма предельных амплитут.
Расчёт на прочность при одноосном напряжённом состоянии и при кручении.
Вероятностный характер усталостного разрушения.
Накопление усталостных повреждений и влияние нестационарного нагружения на сопротивление усталости.
Закон линейного суммирования повреждений.
Усталостное разрушение.
11.pdf
Adobe Acrobat Document
1.1 MB
Понятие об устойчивых и неустойчивых формах равновесия.
Критическая нагрузка.
Устойчивость продольно сжатых стержней — задача Эйлера.
Сравнение поведения идеальных и реальных стержней при сжатии.
Зависимость критического напряжения от гибкости стержня.
Пределы применимости формулы Эйлера.
Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости.
Энергетический метод определения критической нагрузки.
Расчёт продольно сжатых стержней по коэффициенту понижения допускаемого напряжения сжатия.
Устойчивость.
12.pdf
Adobe Acrobat Document
1.7 MB
Особенности задач продольно-поперечного изгиба.
Дифференциально уравнение оси изогнутого стержня, его интегрирование, определение перемещений и напряжений.
Приближённый метод определения прогибов при продольно-поперечном изгибе (формула С.П.Тимошенко).
Сжато-изогнутые балки.
13.pdf
Adobe Acrobat Document
888.7 KB
Геометрия тонкостенной оболочки вращения, меридиональные и окружные сечения.
Безмоментная теория расчёта осесимметрично нагруженных тонкостенных оболочек вращения.
Цилиндрическая, сферическая и коническая оболочки, находящиеся под действием постоянного давления.
Безмоментная теория осесимметричных оболочек.
14.pdf
Adobe Acrobat Document
2.8 MB
Основные соотношения.
Диски постоянной толщины.
Отверстие в центре — концентратор напряжений.
Диск равного сопротивления.
Диски.
15.pdf
Adobe Acrobat Document
761.1 KB
Определение напряжений и радиальных перемещений в толстостенных цилиндрах, нагруженных внутренним и внешним давлениями.
Частные случаи нагружения цилиндров:
— цилиндр под действием внутреннего давления;
— плита под действием внутреннего давления;
— труба под действием внешнего давления;
— вал, нагруженный давлением;
— равномерно растянутая плита с отверстием.
Расчёт составных труб.
Автофретирование.
Расчёт толстостенных цилиндров, нагруженных давлениями (задача Лямэ).
16.pdf
Adobe Acrobat Document
1.5 MB
Note:
Please fill out the fields marked with an asterisk.
Источник
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник