Скорость деформирования при растяжении
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник
Измерения при однократном кратковременном механическом воздействии являются наиболее массовыми техническими измерениями механических свойств пластмасс. К этой группе относятся испытания на растяжение, сжатие, изгиб, раздир, твердость и др., в ходе которых производится нагружение образца до разрушения или до заданного значения напряжения (деформации).
При растяжении определяют упругость, предел текучести, предел прочности при растяжении. Характеристикой упругости является модуль упругости при одноосном растяжении (модуль Юнга) Ер, [Па]. Характеристикой предела текучести является sт (для полимеров говорят о sв.э. — пределе вынужденной эластичности).
Характеристикой прочности является предел прочности sр — временное сопротивление разрушению при растяжении. Зависимость напряжения от деформации при различных температурах, скоростях нагружения выражается обычно в виде графиков. Причем, деформация обычно задается с некоторой постоянной скоростью. Испытательные машины, в которых корректируется режим деформирования по мере нагружения, применяются редко.
На рис. 1 приведены типичные виды графических зависимостей напряжения от деформации образцов, получаемые в процессе испытаний на растяжение.
Рис.1. Зависимости напряжения от деформации при растяжении термопластов (1), реактопластов и композитов (2).
Рис.2. Зависимость напряжения от деформации при разных скоростях растяжения v1>v2>v3.
В ходе испытаний напряжение s и деформация d не измеряются непосредственно; получают зависимость нагрузки Р от смещения dа = L-Lo, по которой рассчитывается s и d, критические значения sт, sр и dр — oтносительное удлинение при разрыве. Величину sр рассчитывают на исходное сечение образца А: s=Р/А, а деформацию — по отношению к величине базового размера образца до испытания Lo d=dа/ Lo. Вид графиков показан на рис.1.
Наблюдаются два вида зависимостей — с пределом текучести (1) и без предела текучести (2). Показаны также схемы определения модуля упругости при растяжении Еp (а), секущего модуля Ер (б), условного предела текучести sт (б). Другие обозначения: sр — максимальное (разрывное) напряжение, dт — относительное удлинение при пределе текучести, dр — относительное удлинение при разрыве, dмакс — относительное удлинение при максимальном напряжении.
Измерения проводят при малых скоростях (менее 2 м/с), средних скоростях (менее 5 м/с) и при больших скоростях (более 5 м/с). Верхняя граница скоростей ограничена скоростью распространения упругих волн – в застеклованных полимерах около 1000 м/с и в эластомерах – около 10 м/м.
Когда нет явного предела текучести, определяют условный предел текучести графически, по точке пересечения зависимости s(d) с прямой, проведенной параллельно прямолинейному начальному участку и отсекающий на оси абсцисс участок удлинения, согласованный по НТД, а если нет, то при d=1% (или 0,5% для полимеров; для металлов 0,2%) (см. пунктир на рис.1)..
Преимущество испытаний при растяжении — простой способ достижения однородного поля деформаций в большом объеме. Типичные зависимости s(d) при разных скоростях нагружения V показаны на рис. 2 V1>V2>V3.
Типичные зависимости s(d) при разных температурах Т приведены на рис.3; если условия деформирования не выходят за пределы линейной вязкоупругости, то все зависимости могут быть обобщены. На рис.2 хотя и наблюдается заметное отличие в зависимостях s(d) от скорости растяжения, но это отличие заметно, когда скорости меняются на много порядков, например от 0,02 до 2000 мм/мин. Если же скорости меняются в пределах, указанных в стандарте, то результаты испытаний меняются ненамного.
Кроме обычных испытаний, проводят также ступенчатые испытания, когда один образец растягивают и затем выдерживают при заданной деформации. При этом находят зависимость s(t) и определяют равновесный модуль Е¥. Величину Е¥ измеряют для высокоэластических сшитых полимеров и используют для расчета плотности сетки химических связей или плотности сетки зацеплений.
Находят также изохронные зависимости s(d) по данным на ползучесть и откладывая против заданных напряжений деформации, достигнутые за время t. При этом получают зависимости s(d) при одном и том же времени нагружения.
Такие зависимости дают возможность определить область линейной вязкоупругости. Модуль упругости Ер находят по тангенсу угла наклона зависимости s(d) при d менее 0,5%. Если на зависимости s(d) нет предела текучести, то его находят по точке пересечения экспериментальной кривой s(d) с прямой, параллельной начальному участку и отсекающей величину заданной деформации (от 0,2% для металлов до 1% для полимеров) . За характеристику прочности принимают sр или sмакс. При испытаниях применяют образцы в виде лопаток прямоугольного сечения или гантелей (круглого сечения) (образцы типа 1 или 2, см. рис.4).
Толщина образцов — до 4 мм (желательно 2 мм), для образцов типа 2 допускается толщина до 10 мм.
Размеры могут быть уменьшены в 2 или 5 раз. Образцы типа 3 — полоски с небольшими отверстиями у концов для крепления в зажимах (применяются для композитов). Датчики деформации могут быть бесконтактные или контактные. В хороших современных
машинах датчик деформации индуктивный и крепится на образец. Деформация может также измеряться катетометром (оптическим уровнемером) или тензометром — зигзагообразная проволочка (тензометр) наклеивается на образец, в этом случае деформация измеряется по изменению электросопротивления проволочки при растяжении последней.
Выбор скорости деформирования осуществляется с учетом жесткости образца, скорости нарастания нагрузки и инерционности регистраторов силы.
Стандарт (ГОСТ 11262-80) требует, чтобы скорость деформации при испытаниях была указана в НТД на материал. Из числа рекомендуемых: для ПЭ, пластиката ПВХ 100,200 (или 250) , 500 мм/мин (тип образца 1); твердые и литьевые термопласты, реактопласты, компаунды 1,2,5,10,20 (или 25), 50,100 мм/мин (тип образца 2); волокнонаполненные реактопласты и ламинаты 2,5,10 мм/мин (тип образца 3 ).
Сжатие.Схема испытания образцов на сжатие показана на рис. Приспособление обеспечивает соосность приложение нагрузки. Определяют sмакс, sсж., sт — смещенный предел текучести при сжатии, предел пропорциональности и
секущий модульЕсж. Расчет s=Р/S, где S -исходное (начальное) поперечное сечение образца. Для материалов, которые не разрушаются при сжатии, определяют напряжение при заданной деформации, равной 25% (ГОСТ 4651-68). Деформацию определяют по изменению геометрических размеров образца: d=(Lo-L)/Lo, определяют dт, dсж.
Для повышения точности для испытаний требуется брать образцы с определенной гибкостью l=h/Rи, где h- высота и Rи -наименьший радиус инерции. Rи для образца в виде параллелепипеда с квадратным основанием равен 0,289а (а-наименьший размер основания), для цилиндрического образца Rи=0,25D (D-диаметр основания). Таким образом, отношение высоты h к наименьшему размеру основания параллелепипеда =0,289l, а у цилиндра =0,25l. Выбор l зависит от модуля упругости материала: если Еу>109 Па, то принимают l=10, а при Еу<109 принимают l=6. При определении модуля упругости и смещенного модуля текучести нужно, чтобы l=10…15.
Стандартные образцы: в виде параллелепипеда 10х10х15 или 10х10х30. Или в виде цилиндра диаметром 10 мм и высотой 15 мм или высотой 30 мм и диаметром 12 мм. Для сжимающих площадок требуется использовать закаленные стали, площадки должны быть параллельны друг-другу (отклонение не более 0,03 мм. Скорость сжатия v (мм/мин) = 0,03h (мм) или 2 ± 1 мм/мин.
Изгиб.На изгиб испытывают хрупкие материалы с целью определения деформационно-прочностных характеристик. Изгиб может быть трехточечным и четырехточечным.
4-х точечный метод используется, когда образец интенсивно разрушается под влиянием нагружающего наконечника. Расчет прогиба
D=L2d/6h — трехточечный изгиб
D=0,21dL2/h — 4-х точечный изгиб.
d- деформация растяжения; h-толщина образца, L -расстояние между опорами.
Напряжение равно s=3РL/(2bh2).
Рис.5. Схема испытаний при изгибе. А — трехточечный изгиб, В — четырехточечный
изгиб.
Значения деформации в относительных единицах могут быть рассчитаны : d=6Dh/L2. Здесь s-напряжение посередине образца, Р-нагрузка, L-расстояние между опорами, b-ширина образца, h-толщина образца. Модуль упругости при изгибе:
Еи=mL3/(4bh3),
где m=Р/D — тангенс угла наклона касательной к кривой нагрузка-деформация (прогиб)
(сила/смещение, Н/м). Для испытаний используют образцы, вырезанные из листов L=20h b=10.. 25 мм для гомогенных материалов и 20..50 мм для материалов с грубым наполнителем. Расстояние между опорами L=15-17 h. Скорость движения нагружающего наконечника (мм/мин)=h(мм)/2. Стандартные образцы 80х10х4 мм, скорость 2 ±0,5 мм/мин. Испытывают фено- и аминопласты, слоистые пластики, высокомодульные материалы, которые трудно закрепить в зажимах и которые крошатся при испытаниях на сжатие.
Сдвиг. Испытания на сдвиг проводят для труб. Определяют условный (смещенный) предел текучести sт и разрушающее напряжение при сдвиге tр при смещении 2% или же смещение оговаривается в ТУ. Значение tр определяют при разрушении или при появлении трещины. Деформацию сдвига определяют как произведение относительного угла закручивания на радиус образца. Относительную деформацию сдвига e определяют как отношение деформации сдвига к базе измерения L по формуле
e=rj/L,
база
j- угол закручивания , r-радиус образца.
Образец закрепляют без проскальзывания и закручивают со скоростью такой, чтобы испытание длилось не менее 1 мин. (скорость выбирают из ряда 0,002, 0,005, 0,01, 0,02, 0,05, 0,1 об/мин). Регистрируют крутящий момент М и деформацию образца. Разрушающее напряжение при сдвиге:
tр=М/(2prср2d)
М-крутящий момент в точке измерения, rср- средний радиус образца в рабочей части rср=(ro+ri)/2. ro и ri — наружный и внутренний радиусы образца в рабочей части. d-толщина стенки рабочей части.
Стандартный образец имеет длину 250 мм, длину рабочей части 120 мм, 2ro=30 мм и 2ri = 34 мм. (для образцов с модулем упругости менее 1 Гпа.)
Раздир.
Раздир характеризует поведение материалов в условиях концентрации напряжений. Метод разработан для пленок, листов, иногда применяется и для блочных образцов. Есть метод на определение энергии, затрачиваемой на раздир при растяжении. На рис. показан образец и график зависимости нагрузки от времени при раздиое.
Размер образца 2,5х?.% см, длина надреза 5 см.
Для одних материалов сила раздира примерно постоянна, для других она постоянно растет. В первом случае работа разрушения, отнесенная к единице
F F
е е
площади новообразованной поверхности Н=2F/h, где F — усилие и h — толщина образца. За величину усилия принимают среднее арифметическое 10 измерений. Во втором случае отмечают F начальное в начале раздира и F максимальное . Затем находят среднее арифметическое этих двух значений. Иногда используют образцы в виде полудиска с надрезом. Определяют потерю энергии маятниковым копром при ударном раздери (АСТМ D1922-67 и D1004-66).
Раскалывание. Для слоистых пластиков стандартизован метод раскалывания (см. схему ниже.
Иногда делают прорезь на образце и определяют максимальную нагрузку. Можно рассчитать работу образования новой поверхности
g=(Fd/w)(K/4L)
60°
Где F-максимальное усилие, при которой начинает расти трещина, d- прогиб образца в момент роста трещины, L-длина трещины, w- ширина трещины, К- экспериментальная константа (K<3). Значения К находят по тангенсу угла наклона прямой в координатах lg(F/d) — lg(L).
Источник