Симметрия относительно осей координат растяжение и сжатие
Урок в 9 классе по теме: «Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат»
Учитель: Шарова С. Г., МБОУ «Гимназия» городского округа г. Урюпинск Волгоградской области
Тип урока: открытие нового знания.
Основные цели:
Метапредметные:
Тренировать умение фиксировать свое затруднение, выявлять причину его возникновения.
Тренировать умение ставить цель своей деятельности и планировать работу по реализации поставленной цели.
Тренировать умение работать в парах и группах.
Предметные:
Сформировать умение выполнять следующие преобразования графиков: симметрия относительно осей координат.
Сформировать умение применять данные преобразования графиков для построения графиков функций вида: y= f(–x), y= –f(x), y= –f(–x) из графика y= f(x).
Закрепить умение решать уравнения, содержащие знак модуля.
Ход урока
Мотивация к учебной деятельности
— Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим знакомство с преобразованиями графиков функций, которые позволяют строить графики более сложных функций оптимально.
— Как вы понимаете высказывание американского педагога Дайан Силверс Рейвич: «Человек, который знает «как», всегда найдёт работу, а человек, который знает «почему», будет его начальником». (слайд 2)
Возможный ответ: Перед человеком, задумывающимся о причинах тех или иных явлений, способов действий, открывается больше возможностей. Он может сделать или организовать что-то более продуктивно, более эффективно.
— Ребята, я вам желаю интересной работы на уроке: уверена, вы сегодня найдете интересные способы для достижения цели и будете пользоваться ими в дальнейшем осознанно.
— Подготовку к открытию нового начнем с проверки домашнего задания. Сейчас каждой группе будет предложен подробный образец выполнения задания из домашней работы. Организатор группы фиксирует все затруднения, возникшие у членов группы. В группах вы выявляете причины возникших затруднений.
— Не забудьте! При проверке домашнего задания вам нужно составить список эталонов, которыми пользовались при выполнении заданий.
2. Самостоятельная деятельность и организация учебного затруднения.
(Идет работа в группах)
Домашнее задание.
Задание №1.
a). Построить график функции.
Решение.Для того чтобы построить график данной функции, необходимо преобразовать правую часть, воспользовавшись формулой .
Получим . Сдвинем график вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево.
b) Построить график функции
Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб суммы. Получим .
.
Сдвиг по оси абсцисс влево на 1 единицу и вниз по оси ординат на 4 единицы.
в) Построить график функции .
Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб разности:
.
.
Сдвиг по оси абсцисс вправо на 5 единиц и вверх по оси ординат на 2 единичных отрезка.
Задание №2.
Построить график функции .
Построить график функции .
Решение.
Для того чтобы построить график функции , необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции вдоль оси OY вверх на 3 единицы.
Для того чтобы построить график функции , необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции вдоль оси OX влево на 1 единицу, вдоль оси OY вверх на 3 единицы.
а)
б)
Задание №3.
Построить график функции .
Построить график функции .
Решение.
Чтобы построить график , увеличим ординаты вспомогательного графика в 2 раза (k>1), не меняя область определения ),то есть растянем график от оси OX в 2 раза.
Чтобы построить график , уменьшим абсциссы вспомогательного графика в четыре раза (k>1), не меняя область значения функции ), то есть сожмем график к оси OY в 4 раза.
После проверки домашнего задания в группах.
Возможные ответы учащихся.
При выполнении заданий повторяли:
приемы построения графиков функций с помощью сдвигов вдоль осей координат.
Приемы построения графиков функций с помощью сжатия или растяжения вдоль осей координат.
-Задание на пробное действие.
— Ребята, при выполнении задания №3 вы работали с графиком функции .
— Как вы строили график данной функции?
Возможный ответ учащихся:
Составили таблицу значений функции
Теперь я предлагаю вам следующее задание:
Постройте графики функций:
; б) ; в) , преобразовав график .
Учащиеся самостоятельно пытаются построить графики заданных функций. Время на выполнение заданий ограничено.
— Обсудите в группах, какие затруднения могут быть?
Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.
Возможные варианты ответов:
Я не могу построить график данной функции.
Я не могу объяснить, что мой ответ верный.
Я не могу проанализировать, как изменится область определения и множество значений функций
и т. д.
3.Выявление места и причины затруднения.
-Посовещавшись в группах в течение 30 секунд, ответьте на вопрос:
Почему возникло затруднение?
Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.
Возможные варианты ответов:
– Необходимо было построить графики функций, содержащие знак корня, применяя преобразования. Затруднение возникло в определении преобразований. Причина в том, что мы не знаем пока, какое преобразование можно применить в тех случаях, когда функция содержит знак минус перед данной функцией, знак минус перед аргументом данной функции и знак минус одновременно перед данной функцией и перед ее аргументом.
4. Построение проекта выхода из затруднения.
— Посовещавшись в группах в течение 30 секунд:
1) сформулируйте цель дальнейшей деятельности;
2) сформулируйте тему урока.
Одна из групп озвучивает результат обсуждения, остальные уточняют, дополняют при необходимости.
Возможный вариант ответа:
Цель: Узнать, какие преобразования графика функции у = f(x) необходимо выполнить, чтобы получить графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x).
Тема урока: «Преобразования графиков функций».
– Составьте в группах план ваших действий.
Учащиеся работают в группах, составляют план действий.
Возможный вариант ответа:
Выполнить задания, предложенные учителем,
Проанализировать результаты.
Сформулировать правило.
Сравнить его с эталоном.
5.Реализация построенного проекта
— Итак, вернемся к заданию
Постройте графики функций:
а); б) ; в) , используя таблицу значений функции, и пронаблюдайте, как расположены построенные графики по отношению к графику относительно осей координат, начала отсчета. Обобщите сделанные вами наблюдения и составьте правила построения таких функций. Сопоставьте свои выводы с выводами на слайдах.
Возможный вариант ответа:
а)
б)
в)
а) Преобразование y= f(x) y= –f(x) изменяет все ординаты точек графика на противоположные при фиксированных значениях абсцисс. Область определения функции D (f) = [0; +∞), а область значений E(f) = (–∞; 0].
Значит, график функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Б) Преобразование y= f(x) y= f(–x) изменяет все абсциссы точек графика на противоположные при фиксированных значениях ординат. То есть область определения функции D (f) = (–∞; 0], а область значений E(f) = [0; +∞).
Значит, график функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.
В) Последовательное применение рассмотренных выше двух преобразований:
y= f(x) y= – f (–x) меняет абсциссы и ординаты точек графика на противоположные. Область определения функции D (f) = (–∞; 0], а область значений E(f) = (–∞; 0].
Значит, график функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат.
Учащиеся сравнивают свои правила с эталоном на слайде:
Случаи преобразования графика функции
Симметрия относительно оси абсцисс
График функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Симметрия относительно оси ординат
График функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.
Симметрия относительно начала координат
График функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат
– Удалось преодолеть затруднение?
− Что теперь необходимо сделать?
6. Первичное закрепление во внешней речи
— Выполните задание: постройте график функции у = f(–x), если f(x) =.
Работа выполняется фронтально.
Решение:
Для того чтобы построить график функции , можно преобразовать правую часть, выделив квадрат двучлена:
.
Для построения графика функции у = f(–x) необходимо построить график f(x) = и применить к нему следующее преобразование: симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) =.
-Выполните задание:
Постройте графики функций у = – f(x), у = – f(–x), если
Задание выполняется в парах, по вариантам. Проверка осуществляется по пробному образцу.
Пробный образец.
Для построения графиков функций у = – f(x), у = – f(–x) необходимо построить график и применить к нему следующие преобразования:
Симметрию относительно оси абсцисс: у = – f(x) =;
Симметрию относительно начала координат: у = – f(–x) =
После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то проговаривается, как надо было выполнить задание.
7.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
— Мы шли с вами по плану, предложенному вами:
Выполнить задания, предложенные учителем,
Проанализировать результаты.
Сформулировать правило.
Сравнить его с эталоном.
-Что дальше необходимо сделать?
— С какой целью будете выполнять самостоятельную работу?
Возможный вариант ответа:
Понять полностью ли разобрались в новой теме, нет ли затруднений.
Для самостоятельной работы учащимся предлагается задание:
Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если f(x)=
Учащиеся выполняют самостоятельную работу и проводят самопроверку по эталону для самопроверки.
Подробный образец.
f(x)= . Для построения графиков функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x) необходимо построить f(x) = и применить к нему следующие преобразования:
симметрию относительно оси абсцисс: у = –f(x) =;
симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) = ;
симметрию относительно начала координат: у = –f(–x) =.
Проанализируйте в группах результаты выполнения самостоятельной работы.
Назовите, в каких местах и почему возникли затруднения.
Организаторы групп озвучивают результаты анализа работ.
8. Включение в систему знаний и повторение.
Решите уравнения:
;
;
;
;
.
Решение.
Не имеет решения, так как по определению .
Уравнение не имеет решения, так как левая часть равенства по определению модуля числа неотрицательна, а правая – по условию и определению модуля неположительна. При выражение .
=2⇔⇔⇔.
9. Рефлексия деятельности на уроке
— Ребята, что необходимо сделать в конце урока?
Возможный вариант ответа:
Проанализировать свою работу.
Группы работают с карточкой.
Учащиеся обсуждают работу на уроке, организаторы озвучивают результаты анализа деятельности групп.
— А теперь каждый проанализируйте свою работу.
Учащиеся заполняют индивидуальные карточки
Домашнее задание
Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если:
,
,
.
Повторить эталоны.
Источник
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия
В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).
С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида ( pm {k_1} cdot f( pm {k_2} cdot (x + a)) + b,) где ({k_1},{k_2} > 0) — коэффициенты сжатия или растяжения (в зависимости от их значений) вдоль осей oy и ox соответственно. Знаки «минус» перед коэффициентами указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.
Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:
1. Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2, отличные от единицы, если (0 < {k_1} < 1,0 < {k_2} < 1) , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если ({k_1},{k_2} > 1) , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
2. Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
3. Третий вид — параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.
Это преобразование производится в последнюю очередь при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а — вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b — вниз на |b| единиц.
Рассмотрим примеры
Пример1
Построить графики функции (y = {x^2} — 10) и (y = {x^2} + 10) в одной координатной плоскости.
Построим для начала график функции (y = {x^2}) , это парабола с вершиной в точке (0;0) и ветвями вверх.
Для построения искомого графика функции (y = {x^2} — 10) необходимо параболу параллельно перенести в отрицательном направлении по У, т.е. вниз. Для построения искомого графика функции (y = {x^2} + 10) необходимо параболу параллельно перенести в положительном направлении по У, т.е. вверх.
Пример2
Построить графики функций (y = {left( {x + 2} right)^2}) и (y = {left( {x — 2} right)^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы, но параллельный перенос будем осуществлять вдоль оси Ох. По правилу переноса график сдвинется влево на 2 единицы для функции (y = {left( {x + 2} right)^2}) . А для функции (y = {left( {x — 2} right)^2}) сдвиг произойдет вправо.
Пример3
Построить график функции (y = — {x^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы. Производимое изменение графика носит название -отображение. Картинка получится симметричной исходной параболе, симметрия относительно Ох.
Пример4
Построить графики функций (y = left( {3{x^2}} right)) и (y = left( {frac{1}{3}{x^2}} right)) .
Для построения этих графиков произведем сжатие графика (y = {x^2}) для первой функции и растяжение – для второй.
Источник
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Пусть задан график функции y = f(x). Чтобы построить график функции
- y = mf(x), где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m. Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси x, если 0 < m < 1.
- y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x. (Преобразование симметрии — зеркальное отражение относительно прямой.)
- y = f(x) + n, получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0 и, соответственно на |n| единиц вниз, если n < 0.
- y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентомk к оси y (если 0 < k < 1 указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом 1/k)
- y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y
- y = f(x + l) получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего на l единиц влево, если l > 0 и, соответственно на |l| единиц вправо, если m < 0.
Функции одной переменной . Актуализирую два особо нужных сейчас термина: «икс» – независимая переменная или АРГУМЕНТ, «игрек» – зависимая переменная или ФУНКЦИЯ. При этом функцию можно обозначать как через «игрек», так равноценно и через «эф от икс», например:
Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси
Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:
Сжатие графика функции к оси ординат
Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать к оси в раз.
Пример 1
Построить график функции .
Сначала изобразим график синуса, его период равен :
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку
Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
Пример 2
Построить график функции
«Чёрная гармошка» сжимается к оси в 3 раза:
Итоговый график проведён красным цветом.
Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: (отграничен жёлтыми точками).
Растяжение графика функции от оси ординат
Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в раз.
Продолжим мучить синус:
Пример 3
Построить график функции
Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:
И растягиваем её от оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.
Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат
АРГУМЕНТ функции меняет знак.
Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Пример 5
Построить график функции
График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси ординат:
Как видите, всё просто.
Если при умножении аргумента на число значение параметра отрицательно и не равно минус единице, то построение выполняется в два шага.
Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Структура второй части статьи будет очень похожа.
1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.
2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.
Пример 11
Построить графики функций .
Берём синусоиду за макушку/пятки:
И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:
Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .
Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .
Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!
Поиск по сайту:
Источник