Решение задач по центральному растяжению и сжатию стержней

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку.  Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.  

Составляем уравнения равновесия

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:

, где ВВ1=Δℓ1  (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

Из рисунка видно, что СС2 = СС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.

Но СС2= Δℓ2 , тогда Δℓ2= СС1·sinα, откуда:

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через  N2

Подставим   соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

N1 = 7,12кН (растянут),

N2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

Задача решена.

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3,  модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.

∑у=0                RA — F1 + F2 — RВ=0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.

2. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N1 = — RА

N2 = 120 — RА

N3 = 120 — RА

N4 = 30- RА

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит

             Δℓ1+ Δℓ2+ Δℓ3+ Δℓ4= Δ  (величина зазора).

Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации  составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м

Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.

N1=- RА=-47,5кН

N2=120 — RА=72,5кН

N3=120 — RА=72,5кН

N4=30- RА=-17,5кН.

5. Определяем нормальные напряжения σ  по формуле и строим их эпюры

Строим эпюру нормальных напряжений.

Проверяем прочность.

σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

6. Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.

Идем от стены А к зазору.

Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений.

Задача решена.

Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.

∑у=0                — RA+F3 — F2+ F1 =0

RA= F3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.

2. Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.

Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.

Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.

3. Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле  . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.

Строим эпюру σ.

Проверим прочность по условию прочности 

|σmax|= 75 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

4. Определяем перемещение бруса.

Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.

Формула Гука для определения абсолютной деформации участка

Определяем перемещения:

Строим эпюру перемещений ω.

Задача решена.

На стальной стержень  действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2,  а = 3,0 м, в = 3,0 м,  с= 1,3 м,  Р = 2 кН.

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а,  так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как  Оно будет вызываться собственным весом участка а+в

Тогда полное перемещение сечения 1-1:

Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению   ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести     4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры:  а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2

Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

 (1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы: (2)

По закону Гука имеем:

Длины стержней: Тогда получим:

 Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

Определяем напряжение в стержнях:

Допускаемая нагрузка:

В предельном состоянии:  Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

При сравнении видим увеличение нагрузки:

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части 

Составим уравнение статики:                NC+ NM — P= 0  , NC+ NM = P                                        (1)

Задача статически неопределима.  Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы: (2)  или  Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне  :

 (3)   Подставим найденное значение в уравнение  (1), получим:

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При  ЕС = 2·105 МПа,   ЕМ = 1·105 МПа:

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2.105 МПа, А = 25 см2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим   уравнение статики:  ∑y = 0;   С + В – Р = 0;   (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ1+∆ℓ2=0,3 мм (2);   

Чтобы   найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С,  на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций:      (3)

Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1)  B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.

Точки С, D и К переместятся в положения С1, D1 и К1

Согласно картине деформирования СС1=Δℓ1, DD1=Δ−D1D2 = Δ−Δℓ2, KK1= Δℓ3, при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие, а стержень 2 – растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС1 и BDD1, треугольников  ВСС1 и BKK1следует:

Согласно  закона Гука абсолютные деформации:

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия , получим:

N1=14,3 кН (стержень сжат), N2=71,5 кН (стержень растянут), N3=42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения: Задача решена.

Ступенчатый медный стержень  нагревается от температуры tН=20ºС до tК=50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим ,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из  условия, что перемещения внешних связей равны 0 —  WВ=0 или WК=0. Таким образом:Откуда:

В результате RB=20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:

Согласно результатам расчетов σmax=│69,1│MПа, при этом σmax< σadm, (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.

Расчет стержня с зазором. Для  стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой  требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня:

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня:

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации:

Определим нормальные (продольные) силы методом сечений, идем от стены к зазору:

Подставим все найденные значения в  дополнительное уравнение:

После подстановки исходн?