Решение задач на растяжение типовые
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
1.1 (Вариант 4) Конструкция состоит из двух стержней, соединенных между собой и с основанием шарнирами (рис.1). К шарнирному болту С привязан груз Р. Требуется определить внутренние усилия в стержнях и подобрать их сечение по допускаемым напряжениям на сжатие и растяжение. Величина силы Р, форма сечения и допускаемые напряжения приведены в табл.1. 
Таблица 1
| Сечение стержней | Величина Р, кН | [σ]С, МПа | [σ]Р, МПа |
 | 10 | 160 | 100 |
Ответ: NBC=7,1 кН, NAC=-7,1 кН, D=15,0 мм, d=9,0 мм.
1.2 (Вариант 29) Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на рис.23 (схемы I-X) нагружены силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е=2·105 МПа. Числовые значения сил F1 и F2, а также площадей поперечных сечений ступеней A1 и A2 для своего варианта взять из табл.8.
Таблица 8 — Исходные данные
| № задачи и схемы на рис.23 | F1, кН | F2, кН | А1, см2 | А2, см2 |
| 62,II | 4,8 | 10,0 | 0,4 | 0,8 |
Ответ: Δl=0,113·10-3 м.
1.3 (Вариант 2396) Для консольного бруса переменного сечения (рис.3.1) построить эпюры нормальной силы, нормальных напряжений и продольных перемещений. Определить из условия прочности допустимое значение нагрузки F и при найденном значении нагрузки вычислить наибольшее перемещение бруса, а также максимальное удлинение участка a.
Принять А=200 мм², l=200 мм, s=2, остальные данные взять из табл.3.1 и табл.3.2.
Источник
Требуется построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений.
Задача 1. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 1);
Е= 2·104 кН/см2.
Решение. 1. Определяем реакцию в заделке А:
;
— Rа + F2 — F1 = 0;
Rа = F2 — F1 = 150-100 = 50 кН.
2. Разбиваем стержень на участки — границами являются концевые сечения, места изменения поперечного сечения и точки приложения сил.
Имеем два участка (рис. 2).
3. Определяем продольные усилия на участках:
участок 1-1
N1 — F1 = 0;
N1 = F1 = 100 кН;
участок 2-2
— Rа — N2 = 0;
N2 = — Rа = — 50 кН.
- 4. По значениям продольных усилий N строим эпюру (рис. 3, а).
- 5. Определяем напряжения по участкам:
- 1 = N1 / А 1 = 100 / 10 = 10 кН/см2;
- 2 = N2 / А 2 = — 50 / 20 = — 2,5 кН/см2;
- 6. По значениям напряжений строим эпюру напряжений (рис. 3, б).
Участок 1-1 Участок 2-2
Рис. 2. Расчетные схемы к определению продольных сил методом сечений
- 7. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?1 = N1?1 / ЕА 1 = 100·200 / 2·104·10 = 0,1 см;
- ?2 = N2?2 / ЕА 2 = — 50·100 / 2·104·20 = — 0,0125 см.
- 8. Вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня:
вв = ?2 = — 0,0125 см;
сс = вв + ?1 = — 0,0125 + 0,1 = 0,0875 см.
9. По значениям перемещений строим эпюру (рис. 3,в).
Рис. 3. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
Задача 2. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 4); А 1 = 10 см 2; А 2 = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F1 = 100 кН; F2 = 50 кН; Е = 2·104 кН/см 2.
Рис. 4. Расчетная схема стержня к задаче 2
Решение. 1. Определяем степень статической неопределимости системы:
F(у) = 0;
— Rа + F2 — F1 — Rс = 0;
Получили одно уравнение статики, неизвестных — две. Следовательно, система один раз статически неопределима.
2. Обратимся к изучению деформации системы (рис. 5). Мысленно отбросим нижнюю заделку. Предположим, что конструкция под действием внешних сил укоротилась на ?F.
С другой стороны, реакция Rс должна вернуть сечение с-с в первоначальное положение, т.е. получили дополнительное уравнение совместности деформаций: |?Rc| = |?F|, или
Рис. 5. Схема к анализу деформации системы
?Rc + ?F = 0.
Запишем это уравнение, используя закон Гука:
?Rс = RcL1 / ЕА1 + RcL2 / ЕА2:
С учетом того, что А 2 = 2А 1 и L1 = 2L2 получим:
?F = F1L1 / 2EA1 + F1L2 / EA1 — F2L2 / 2EA2;
RcL1 / EА 1 + RcL1 / EА 2 + F1L1 / 2EА 2 + F1L2 / 2EА 2 — F2L2 / 2EА 2 = 0;
Rc(2L2 / A1 + L2 / A1) = F2L2 / 4A1 — F12L2 / 2A1 — F1L2 / 2A1;
2,5Rc = 0,25F2-1,5F1;
Rc = (0,25F2-1,5F1) / 2,5 = (0,25·150-1,5·100) / 2,5 = — 45 кН;
Rc = — 45 кН.
На расчетной схеме изменяем направление реакции Rc (рис. 4).
Рассуждая аналогично, найдем реакцию в верхней заделке Ra.
Уравнение совместности деформаций:
- ?Ra + ?F = 0;
- ?Ra = — RаL2 / EA2 — RaL1 / EA1;
- ?F = — F1L1 / 2EA1 + F2L2 / 2EA2 + F2L1 / EA1;
С учетом, что А 2 = 2А 1 и L1 = 2L2 имеем:
- — RаL2 / E2A1 — Rа 2L2 / EA1 — F12L2 / 2EA1 + F2L2 / 2E2A1 + F22L2 / EA1=0;
- — Rа (1/2 + 2) = F1 — F2 / 4-2F2;
Rа = (2,25F2 — F1) / 2,5 = (2,25·150-100) / 2,5 = 95 кН;
Rа = 95 кН.
3. Проводим проверку правильности определения реакций. Составляем сумму проекций всех сил на ось У:
F(у) = 0; — Rа + F2 — F1 + Rс = 0;
- — 95 + 150-100 + 45 = 0;
- — 195 + 195 = 0;
Реакции определены верно.
- 4. Разбиваем стержень на участки сечениями А-А, В-В. Д-Д, Е-Е и С-С (рис. 4). Имеем четыре участка.
- 5. Определяем продольные усилия на каждом участке стержня, используя метод сечений (рис. 6).
Участок I-I: F(у) = 0;
N1 + Rс = 0;
N1 = — Rс = — 45 кН.
Участок II-II: F(у) = 0;
N2 + Rс — F1 = 0;
N2 = F1 — Rс = 100-45 = 55 кН.
Участок III-III: F(у) = 0;
N3 — F1 + Rс = 0;
N3 = F1 — Rс = 100-45 = 55 кН.
Участок IV-IV: F(у) = 0;
— RА — N4 = 0;
N4 = — R 4= — 95 кН.
6. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис. 7, а). деформация эпюра напряжение неопределимость
Рис. 6. Расчетные схемы к определению внутренних усилий по участкам стержня
- 7. Определяем напряжения по участкам стержня:
- 1 = N1 / А 1= — 45 / 10 = — 4,5 кН/см 2;
- 2 = N2 / А 1 = 55 / 10 = 5,5 кН/см 2;
- 3 = N3 / А 2= 55 / 20 = 2,75 кН/см 2;
- 4 = N4 / А 2= — 95 / 20 = — 4,75 кН/см 2.
- 8. По значениям напряжений на участках стержня строим эпюру напряжений (рис. 7,б).
- 9. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ? = N? / EA = ? / E;
- ?1 = 1?1 / 2E = — 4,5·100 / 2·104 = — 0,0225 см;
- ?2 = 2?1 / 2E = 5,5·100 / 2·104 = 0,0275 см;
Рис. 7. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
- ?3 = 3?2 / 2E = 2,75·50 / 2·104= 0,006875 см;
- ?4 = 4?2 / 2E = — 4,75·50 / 2·104= — 0,011875 см.
- 10. Вычисляем значения перемещений граничных сечений участков стержня, начиная расчет от нижней заделки:
ЕЕ = ?1 = — 0,0225 см;
DD = ЕЕ + ?2 = — 0,0225 + 0,0275 = 0,005 см;
BB = DD + ?3 = 0,005 + 0,006875 = 0,011875 см;
AA = ВВ + ?4 = 0,011875-0,011875 = 0.
11. По значениям перемещений граничных участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 7, в).
Задача 3. Исходные данные: двухступенчатый стержень с зазором (рис. 8) нагревается под действием температуры t = 60 0С; материал — сталь 3; = 0,3 мм; Е = 2·104 кН/см 2; = 125·10-7; А 1 = 10 см 2; А 2 = = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см.
Рис. 8. Расчетная схема стержня к задаче 3
Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что конструкция является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия температуры:
?t = ·t·(L1 + L 2) = 125·10-7·60·(200 + 100) = 0,225 см.
Получили, что ?t=2,25 мм =0,3 мм.
Следовательно, при нагревании стержня зазор = 0,3 мм будет перекрываться, и система является один раз статически неопределимой (рис. 9).
2. Поскольку F(у) = 0; Rc — Rа = 0, то можем составить только одно уравнение статики с двумя неизвестными реакциями.
Определяем реакцию Rc (Rа = Rc), составляя дополнительное уравнение совместности деформаций:
?t + ?Rc = .
Запишем составляющие этого уравнения:
?t = 0,225 см;
= 0,03 см;
- ?Rc = — RcL1 / ЕА 1 — RcL2 / ЕА 2;
- 0,225 — RcL1 / ЕА 1 — RcL2 / ЕА 2 = 0,03;
- 0,225-0,03 = Rс(L1 / EA1 + L2 / EA2);
Rc =0,195Е / (L1 / A1 + L2 / A2) = 156 кН.
Rа =Rc = 156 кН.
Используем метод сечений для определения продольных усилий по участкам стержня. Они постоянны на всех участках: Ni = Rc = — 156 кН (рис. 10, а).
- 4. Вычисляем напряжения по участкам стержня и по найденным значениям i строим эпюру напряжений (рис. 10, б):
- 1 = N / A1 = — 156 / 10 = — 15,6 кН/см 2;
- 2 = N / A2 = — 156 / 20 = — 7,8 кН/см 2.
- 5. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?1 = ТL1 — 1L1 / Е = 125·10-7·60·200- — 15,6·200 / 2·104 = — 0,006 см;
- ?2 = ТL2 — 2 L2 / Е = 125·10-7·60·100-7,8·100 / 2·104 = 0,036 см.
Рис. 9. Схема к анализу деформации системы
6. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:
BB = ?2 = 0,036 см;
СС = BB + ?1 = 0,036-0,006 = 0,03 см.
По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 10, в).
Задача 4. Исходные данные: двухступенчатый статически неопределимый стержень с зазором (рис. 11) находится под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок; материал — сталь; зазор = 0,1 мм; Е = 2·104 кН/см 2; А 1 = 10 см 2; А 2 = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F = 100 кН; q = 2 кН/см.
Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что система является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия внешних сил F и q:
- ?F= (qL1L1 / 2) / EA1 + qL1L2 / EA2 — (FL2/2) / EA2;
- ?F = (2200·200 / 2) / 210410 +2200100 / 210420-10050 / 210420 =
= 0,2875 см.
а) б) в)
Рис. 10. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
Получили ?F = 0,2875 см = = 0,1 см. Следовательно, при нагружении стержня зазор = 0,1 см будет перекрываться, и данная система будет статически неопределимой. Можем составить уравнение статики:
F(у) = 0;
Rc+Rа + F — qL1 = 0.
Это уравнение статики с двумя неизвестными реакциями. Следовательно, получили один раз статически неопределимую систему. Определяем реакцию Rc,мысленно отбросив для этого заделку СС, и составляем дополнительное уравнение совместности деформаций:
?F + ?Rс =;
Рис. 11. Расчетная схема стержня к задаче 4
- ?F = 0,2875 см; = 0,1 см;
- ?Rc = — RcL1 / EA1 — RcL2 / EA2;
- 0,2875-0,1 = Rc(L1 / EA1 + L2 / EA2);
Rc = 0,18752104 / (200 / 10 +100 / 20) = 150 кН.
Аналогично определяем реакцию Rа
- ?F + ?Rа=;
- ?F = (FL2 / 2) / EA2 + FL1 / EA1 — (qL1L1/2) / EA1;
- ?Rа = RаL2 / EA2 + RаL1 / EA1;
FL2 / 2EA2 + FL1 / EA1 — qL12 / 2EA1 + Rа(L2 / A2 + L1 / A1) / Е = ;
Rа = E + qL12/ 2A1 — FL2 / 2A2 — FL1 / A1 / (L1 / A1 + L2 / A2)=0,12104 +
+ 22002 / 210-100(100 / 220 + 200 / 10) / (200 / 10 + 100 / 20) =150 кН.
Проводим проверку правильности определения реакций:
F(у) = 0;
Rс + Rа + F — qL1 = 0;
- 150 + 150 + 100-2·200 = 0;
- 400-400 = 0.
Следовательно, реакции определены правильно.
- 2. Разбиваем стержень на участки с границами АА; ВВ; СС и ДД.
- 3. Используя метод сечений, определяем продольные усилия на каждом участке стержня (рис. 12).
Участок АД (0 Z1 50 cм):
F(у) = 0;
N1 = Rа = 150 кН.
Участок ДВ (0 Z2 50 cм):
F(у) = 0;
Rа + F — N2 = 0;
N2 = Rа + F = 150 + 100 = 250 кН.
Участок ВС (0 Z3 200 cм):
F(у) = 0;
N3+ Rc — qZ3=0;
N3= qZ3 — Rc;
Рис. 12. Расчетные схемы к определению внутренних усилий по участкам стержня
NZз = о = — Rc = — 150 кН;
NZз = 200 = 2 200-150 = 250 кН.
4. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис. 13, а). Найдем значение Z3, при котором продольная сила N3 = 0:
N3 = qZ3 — Rc = 0;
Z3 = Rс / q = 150 / 2 = 75 cм.
- 5. Зная продольные усилия и площади поперечного сечения участков стержня, определяем напряжения на них:
- 1 = N1 / A2 = 150 / 20 = 7,5 кН/см 2;
- 2 = N2 / A2 = 250 / 20 = 12,5 кН/см 2;
в 3 = Nв 3 / A1 = 250 / 10 = 25 кН/см 2;
с 3 = Nс 3 / A1 = — 150 / 10 = — 15 кН/см 2.
- 6. По значениям напряжений на участках строим эпюру напряжений (рис. 13, б).
- 7. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?AD = 1L2 / 2Е = 7,5·50 / 2·104 = 0,01875 см;
- ?DB = 2L2 / 2Е = 12,5·50 / 2·104 = 0,03175 см.
а) б) в)
Рис. 13. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
В соответствии с эпюрой силы N, разбиваем участок СВ стержня на два участка — ВЕ, где происходит растяжение, и зона ЕС, где происходит деформация сжатия:
8. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:
SDD = ?AD = 0,01875 см;
SBB = SDD + ?DB = 0,01875 + 0,03125 = 0,05 см;
SЕЕ = SBB + ?ВЕ = 0,05 + 0,078125 = 0,128125 см;
SCC = SЕЕ + ?СЕ = 0,128125-0,028125 = 0,1 см.
9. По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений, учитывая, что на участке ВС с распределенной нагрузкой q по длине эпюра имеет криволинейный характер (рис. 13, в).
Источник