Растяжение сжатие и кручение стержней

Касательные напряжения τ в поперечном сечении бруса при чистом кручении могут быть разложены на две составляющие τх и τу (рис. 34).

Крутящий момент в сечении определяется, очевидно, следующим выражением:

Показать, что независимо от формы сечения справедливы формулы

Решение. Рассмотрим условия равновесия элемента dx dy dz (рис. 210, а).

Равенство нулю суммы проекций всех сил на ось z дает

 (1)

На контуре (рис. 210, б) имеем граничное условие

или

 (2)

Теперь рассмотрим указанные в условии интегралы

Интегрируя по частям первое выражение по dx, а второе — по dy, получаем:

что приводит к выражениям:

Согласно граничному условию (2) получаем

а согласно условию равновесия (1) имеем

Следовательно, приходим к равенству

Но так как

то окончательно получаем

Цилиндрический стержень закручивается равномерно распределенными по поверхности моментами  m, уравновешен­ными моментом М на торце (рис. 33, а).

При таком нагру­жении в стержне, кроме обыч­ных напряжений τ, действующих в поперечных сечениях, возни­кают еще и касательные напря­жения t в цилиндрических и осевых сечениях (рис. 33, б).

Определите, как распреде­лены эти напряжения по объему стержня. Дайте сравнительную оценку величин τ и t.

Двумя цилиндрическими поверхностями радиуса r и r + dr  и двумя поперечными сечениями выделяем из стержня элементарное кольцо толщиной dz (рис. 208).

Приравняв нулю сумму моментов относительно оси z, по­лучим:

откуда

 (1)

Обозначим через v перемещение по направлению каса­тельной к дуге круга (рис. 209).

Угол сдвига в цилиндриче­ской поверхности, как обычно,

, а напряжение  (2)

Угол сдвига в плоскости поперечного сечения γ2 равен отношению отрезков ВС/АВ (рис. 209). Но

следовательно,

,

а соответствующее напряжение

 (3)

Подставляя τ и t в уравнение равновесия (1), получим:

 (4)

Естественно предположить, что перемещение v в зависи­мости от z меняется, как и при обычном кручении, по квад­ратичному закону, т. е.

где  v ,  vl ,  v2 зависят только от r. Уравнение (4) после под­становки v распадается на три следующих:

     (5)

откуда

Наконец, подставляя v2 в правую часть первого из уравне­ний (5), получим:

Так как на оси стержня перемещения равны нулю, необхо­димо положить В0 = В1  = В2 = 0. Тогда

, а согласно выражениям (2) и (3)

На левом торце, т. е. при z= 0, касательные напряжения равны нулю. Следовательно, А1 = 0.

На поверхности цилиндра ( при  )    , поэтому , и в итоге по­лучаем:

Таким образом, напряжения τ распределены по r и z ли­нейно, что следует и из обычной теории кручения. Напря­жения t распределены вдоль радиуса по квадратичному закону. Отношение наибольших значений τ и t будет:

Следовательно, для длинного цилиндра напряжение tmaх много меньше, чем τmax.

При кручении узкой прямоугольной полосы в попе­речных сечениях образуются, как известно, вторичные нор­мальные напряжения. У краев полосы возникают растягивающие, а у середины — сжимающие напряжения (рис. 32).

От каких характеристик и как зависят эти напряжения в случае произвольной формы тонкостенного профиля?

На рис. 206 показан тонкостенный профиль, глав­ными центральными осями которого являются х, у.

Положим, что при кручении сечение поворачивается на угол φ относи­тельно некоторой точки С, имеющей координаты хс, ус. Образующая АВ (рис. 206) повернется при этом на угол .

В результате возникнет продольное удлинение

Одновременно с поворотом относительно продольной оси возможны взаимный поворот сечений относительно осей х и у и взаимное осевое смещение. Это приведет к тому, что в выражении ε появится дополнительная составляющая, линейно зависящая от х и у, т. е. будем иметь

и, соответственно, напряжение

 (1)

Депланация сечения на удлинение ε не влияет, поскольку рассматривается нестесненное кручение (по длине стержня θ не меняется).

Постоянные а, b и с должны быть подобраны таким обра­зом, чтобы нормальная сила в сечении и изгибающие моменты относительно осей х и у обращались бы в нуль:

откуда получаем:

где Jx,  Jy   и  Jp —осевые и полярный моменты инерции сече­ния, а  Нх и Ну — новые геометрические характеристики:

Выражение (1) принимает вид

  (2)

Напряжения σ дают в сечении дополнительный крутящий момент

где под величиной К понимается новая геометрическая харак­теристика

 (3)

Крутящий момент в сечении состоит из «обычного» момента, образованного касательными напряжениями, и дополнительного

 (4),

 где s—длина дуги контура сечения.

Производя в выражениях (2) и (3) замену r2 на r2 = ( х — хс )2  + ( у — ус )2 замечаем, что координаты хс  и  ус в вы­ражениях для σ  и К исключаются. Это означает, что выбор полюса С может быть сделан произвольно, и здесь следует руководствоваться исключительно соображениями удобства.

Рассмотрим частные случаи:

а) Полоса прямоугольного сечения со сторонами b и δ (рис. 207, а).

В этом случае имеем:

Тогда

Последнее слагаемое в выражении  Мк дает количественную оценку нелинейного эффекта.

б) Круговой незамкнутый профиль (рис. 207, б)

,  следовательно, σ = 0,

Нелинейный эффект в данном случае отсутствует.

В поперечном сечении закрученного бруса (рис. 31) проводится произвольная замкнутая кривая.

Касательные на­пряжения в каждой точке кривой разложены на нормальную (τn) и касательную (τs) составляющие к проведенному контуру. Нормальные напряжения в сечении отсутствуют (кручение нестесненное).

Доказать, что независимо от формы бруса и формы начерченной в сечении кривой справедливы формулы:

где ds— элемент дуги контура, G— модуль сдвига, Fs— пло­щадь, ограниченная кривой, θ — угол закручивания на единицу длины бруса. (Интегрирование распространяется на весь кон­тур замкнутой кривой.)

1) Цилиндрической поверхностью, проходящей по заданному контуру, выделим внутреннюю часть бруса (рис. 203).

На проведенной цилиндрической поверхности возникают каса­тельные напряжения, парные τn. Проектируя на ось z все силы, действующие на выделенную часть бру­са, получим

или, иначе,

2) Рассмотрим элемент dsdz  цилиндрической поверхности, проведенной через начерченный контур (рис. 204).

После на­гружения бруса этот элемент исказится и примет вид парал­лелограмма, изображенного на рис. 204. Угол сдвига γ будет определяться суммой углов α и β, т. е.

Теперь найдем выражение для каждого из этих слагаемых. Угол α определяется углом закручивания θ и расстоянием от центра кручения; в самом деле, из рис. 204 имеем

по А А’ = n dφ , где dφ— относительный угол поворота сече­ний, находящихся на расстоянии dz друг от друга, п — рас­стояние от центра кручения О (рис. 205) до касательной к контуру в точке A.

Поскольку dφ/dz = θ, то α = θn. Сечение бруса при кручении не остается плоским и получает некоторое перемещение w (x, у) в направлении оси z. Очевидно (рис. 204),

Так как , то ,

откуда получаем

Интеграл от dw по замкнутому контуру равен нулю. Поэтому

Но nds — удвоенная площадь треугольника ОАВ (рис. 205); следовательно,

Круглый валик (рис. 30), вставленный в трубку, удер­живается в ней силами трения.

Контактное давление натяга, которое создает эти силы трения, и величина коэффициента трения могут с достаточной степенью точности считаться по­стоянными для всей зоны контакта. К валику и к трубке прикладываются равные и противоположно направленные мо­менты М. При М > М0 валик в трубке провертывается.

Требуется построить эпюры крутящих моментов для трубки и валика при М  <  М0.

Поскольку трубка и валик не являются жесткими, то местное проскальзывание на контактной поверхности начи­нается раньше, чем величина момента достигнет значения М0. Вначале проскальзывание возникает в краевых зонах кон­тактного участка. При М = М0 проскальзывание охватывает всю поверхность контакта. Момент сил трения достигает при этом своего предельного значения М0, и начинается поворот валика в трубке по всей длине контакта.

Разбиваем контактный участок l на три зоны а, b и с (рис. 201).

На участке а крутящий момент в трубке больше, чем в валике, и соответственно больше угол закручивания.

По мере перехода от сечения А к сечению В происходит передача крутящего момента от трубки к валику, и в сече­нии В углы закручивания трубки и валика становятся одинаковыми.

На участке b проскальзывания нет. На участке с снова имеет место проскальзывание. Здесь уже крутящий момент в валике больше, чем в трубке. Соответственно больше и угол закручивания. По мере перехода от сечения С к сече­нию D момент в трубке падает до нуля, а в валике возра­стает до М.

Интенсивность моментов сил трения равна

(1)

Величина т не зависит от момента М и определяется лишь коэффициентом трения и величиной натяга.

Определим теперь длину участков а,   b и с.  Рассмотрим для этого отдельно трубку и валик (рис. 202).

Очевидно, из условия равновесия имеем

т (а + с)= М,                                                 (2),

а из условия равенства углов закручивания на участке b получаем

 (3)

Из уравнений (2) и (3) находим

(4)

Если жесткости трубки и валика одинаковы, то из (4) полу­чаем

При известных a  и с строим эпюры моментов (рис. 202).

По мере возрастания момента М участки а и с стано­вятся длиннее, а участок b сокращается. При М = М0 сумма a + с равна l, а b = 0. После этого момент сил трения, кото­рый возрастал за счет роста участков а и с, не может больше увеличиваться, и начинается общее проскальзывание по кон­тактной поверхности.

Как зависит жесткость тонкой полоски на кручение от осевой растягивающей силы Р (рис. 29), действующей одновременно с крутящим моментом?

Если бы брус закручивался без растяжения, то тогда в пределах малых перемещений между удельным углом за­кручивания θ и моментом М существовала бы зависимость

,т. е. жесткость на кручение была бы равной .

Теперь рассмотрим слу­чай кручения бруса при нали­чии растягивающей силы Р.

При повороте торцевого сечения нормальные напряжения  сохраняют направление продольных волокон закручиваемой полоски (рис. 200).

Проекции этих напряжений на плоскость, перпендикулярную к оси полосы, равны

 (рис. 200).

Эти напряжения дают дополнительный крутящий момент

Присоединяя этот момент к моменту, создаваемому каса­тельными напряжениями, находим:

Таким образом, жесткость на кручение растягиваемой по­лосы равна жесткости нерастягиваемой плюс величина .

При кручении круглого прямого бруса в его попе­речных сечениях возникают касательные напряжения τ, вели­чина которых пропорциональна расстоянию r от оси бруса (рис. 28).

По закону парности в плоскости осевого сечения бруса ху возникают точно такие же касательные напряже­ния τ’. Последние создают результирующий момент относи­тельно оси z.

Отсеченная часть бруса должна находиться в равновесии. Чем уравновешивается упомянутый момент?

Результирующий момент напряжений τ’ уравнове­шивается моментом результирующей силы Q, возникающей в плоскости нормального сечения (рис. 199).

Величина этой силы будет, очевидно, следующей:

Но мы имеем

поэтому

Момент силы Q относительно оси z равен

Точно такой же момент дают и напряжения τ’:

Из цилиндрического бруса, закрученного момен­тами М,  высверливается по всей длине центральная часть диаметром d (рис. 27).

Как изменится упругая энергия бруса, если внешние моменты М остаются неизменными?

Упругая энергия бруса, центральная часть которого (диаметром d ) высверливается, увеличится в том же отношении, в каком будут находиться полярные моменты инерции сечений, т.е. в  раз.

Покажите, что при кручении призматического бруса с поперечным сечением в виде многоугольника касательные напряжения в любом из внешних углов А, В, С, … (рис. 26) равны нулю.

Положим, что в угловой точке поперечного сечения бруса (рис. 198) возникает некоторое касательное напряже­ние τ.

Разложим его на две составляющие τ1  и τ2, перпендику­лярные к сторонам многоугольника. По условию парности на боковых гранях бруса должны возникать парные касательные напряжения τ1 и τ2.

Но боковая поверхность свободна от на­пряжений. Следовательно, τ1 = τ2 = 0. Отсюда вытекает, что и τ = 0.

Ясно, что доказанное положение остается верным при любом значении угла, меньшем 180°.

Усложним условие предыдущей задачи. Определите силу Р, которую необходимо приложить к трубке, чтобы снять ее со стержня (рис. 25). Рассмотрите два варианта: а) сила Р — сжимающая; б) сила Р—растягивающая.

Рассмотрим случай а).