Растяжение стержня пример решения

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, расчет которых не может быть произведен с помощью одних только уравнений статики, поскольку этих уравнений недостаточно для определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения исходя из рассмотрения деформированного состояния стержня или стержневой системы.

Рассмотрим примеры решения статически неопределимых задач.

Пример 3.4. Для стержня ступенчато-постоянного поперечного сечения, закрепленного на обоих торцах (рис. 3.14, а), построим эпюру N, определим осевые перемещения характерных сечений и построим эпюру и.

Поскольку стержень закреплен с двух сторон, возникают две опорные реакции R{ и R2. Составим уравнение равновесия:

Из этого уравнения нельзя определить опорные реакции Rx и R2. Поскольку стержень закреплен с двух сторон, его длина после действия нагрузки не изменится. Отсюда следует условие деформации стержня: А/ = 0.

Раскроем это условие следующим образом. Отбросим мысленно одно из закреплений (например, нижнее) и введем в этом сечении неизвестную силу, равную реакции в отброшенной связи Х= R2 (рис. 3.14, б).

Поставим условие, что образованный таким образом статически определимый стержень должен деформироваться так же, как и заданный. Тогда на основании принципа независимости действия сил можно записать:

где Alp и Alx — величины удлинений (укорочений) стержня (см. рис. 3.14, б) от действия заданной нагрузки и силы X.

Эти величины равны:

Решаем дополнительное уравнение:

Определяем вторую опорную реакцию из уравнения статики:

Направления опорных реакций соответствуют принятым в начале расчета. Эпюра N приведена на рис. 3.14, в.

Рис. 3.14

Определим величины удлинений и укорочений участков стержня и проверим выполнение условия его деформации:

Задача решена правильно. Вычислим осевые перемещения характерных сечений:

Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 3.14, г. Осевые перемещения в пределах всех участков изменяются по линейному закону. Поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси Ох, т.е. вниз.

Пример 3.5. Стальная труба, заполненная бетоном, находится под действием сжимающей силы (рис. 3.15, а). Определим величины продольных сил и нормальных напряжений в трубе и бетоне при условии их совместной работы. Эффекты, связанные с поперечными деформациями, учитывать не будем.

Суммарная продольная сила в стержне является сжимающей и равна N = -Р. Она воспринимается одновременно стальной трубой и бетоном. Составим уравнение равновесия:

где Nc и Nq — сжимающие продольные силы в трубе и бетоне (рис. 3.15, б).

Задача является статически неопределимой. Из условия совместной деформации трубы и бетона их укорочения должны быть одинаковыми по величине: А/с = А/б. Раскроем это условие:

где ECFC и Е6Р6 — жесткости стальной трубы и бетона при сжатии.

Решив совместно полученные два уравнения, находим:

Из этих формул следует, что сила Р распределяется между элементами стержня пропорционально их жесткостям.

Рис. 3.15

Выполним числовой расчет, приняв сечение трубы 0 200 x10 мм, Ес = 2,1 • 105 МПа, Еб = 0,2- 105 МПа и Р= 500 кН. Площади поперечных сечений трубы и бетона равны:

Определяем продольные силы и напряжения в элементах стержня:

В статически неопределимых системах внутренние усилия и напряжения могут возникнуть не только при силовом, но и при тепловом воздействии (нагреве или охлаждении), а также при монтаже в случае неточного изготовления отдельных элементов и при смещении (осадке) опор.

Рассмотрим, например, закрепленный с двух сторон стержень постоянного поперечного сечения, подвергаемый нагреву на величину Т (рис. 3.16, а). Закрепления препятствуют свободному удлинению стержня. В силу этого возникают две равные по величине и противоположные по направлению опорные реакции Rx = R2 = R. Статически неопределимый стержень при нагреве испытывает сжатие силой N=—R.

Для определения продольной силы и напряжений в стержне используем условие его деформации: А/ = AlR + А1Т = 0, где AlR = —Rl/EF — возможное укорочение стержня от действия продольной силы N = —R (рис. 3.16, б) и A lT = a IT — возможное его удлинение при нагреве (рис. 3.16, в), где а — коэффициент линейного температурного расширения материала.

Составим уравнение относительно R, решив которое получим:

Рис. 3.16

Напряжения в стержне прямо пропорциональны коэффициенту а, модулю упругости материала Е и величине температуры Т.

При охлаждении статически неопределимый стержень будет испытывать растяжение.

Пример 3.6. Латунный цилиндрический стержень ступенчато-постоянного сечения закреплен на торцах и находится под действием сосредоточенной силы Р = 40 кН и температуры Т = 20 °С (рис. 3.17, а). Построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1,1 • 105 МПа и а = 1,65 • 10-5.

Под действием силы и температуры на закрепленных торцах возникают опорные реакции Rx и R2. Составим уравнение равновесия:

Отбросим мысленно нижнее закрепление и заменим его силой X = R2 (рис. 3.17, б), для определения которой используем условие деформации стержня: А/ = А1Р + А1Х+ А 1Т= 0.

Учитывая, что площади поперечных сечений стержня равны Рх = к ? 32/4 = 7,07 см2 и Р2 = п • 52/4 = 19,63 см2, определим величины Alp, А1Х и A If.

Рис. 3.17

Подставив эти величины в условие деформации стержня, решим его относительно X

Вторая опорная реакция равна R = Р — R2 = 40 — 67,57 = = —27,57 кН. Истинное направление R{ показано пунктиром. Эпюра N приведена на рис. 3.17, в. Оба участка стержня испытывают сжатие. Определим величины напряжений в стержне и удлинений и укорочений его участков.

Первый участок

Проверим выполнение условия деформации стержня:

Эпюры о и и приведены на рис. 3.17, г, д. Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох, т.е. вверх. В пределах обоих участков перемещения изменяются по линейному закону.

Пример 3.7. При монтаже изображенной на рис. 3.18, а стержневой системы оказалось, что длина среднего стержня меньше проектной на величину 6 = 0,2 см. Определим величины усилий и напряжений в стержнях после монтажа и вертикальное перемещение узла В. В расчетах примем Fx = F3 = 10 см2, F2 = 12 см2, Е= 2,1 • 105 МПа.

При установке среднего стержня его надо подвергнуть предварительному растяжению. Крайние стержни после монтажа системы будут испытывать сжатие.

Вырежем мысленно узел В (рис. 3.18, б) и рассмотрим его равновесие под действием усилий Nx, N2 и N3:

Двух уравнений статики недостаточно для определения трех усилий Nx, N2, N3 в стержнях. Система является статически неопределимой, и для ее расчета необходимо рассмотреть схему деформации системы и составить дополнительное уравнение.

Рис. 3.18

В силу симметрии системы относительно оси Оу узел В после монтажа переместится вертикально вверх на величину ВВ’ = 5 — А/2 (рис. 3.18, в), где А/2 — величина удлинения среднего стержня. Крайние стержни укоротятся на величины А/, = А/3 = ВВ’ sin a = (5 — А/2) sin a.

Выразив A/j и Д/2 через усилия в стержнях, составим дополнительное уравнение: где /j = у/1,52 + 1,52 = 2,12 м и /2 = 3 м — длины стержней.

Длина среднего стержня взята без учета весьма малой величины 5.

Учитывая соотношение между Nx и N2, находим усилия в стержнях:

Усилия TVj и N3 являются сжимающими, a N2 — растягивающим. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Стержни АВ и BD

Стержень СВ

Вертикальное перемещение узла В равно

Пример 3.8. В процессе работы стержневой системы (рис. 3.19, а) шарнирная опора А жесткой балки АВ получила осадку 5 = 0,5 см. Определим усилия и напряжения в поддерживающих балку стержнях CD и BE и их удлинения (укорочения). В расчетах примем Е1 = 10 см2, F2 = 15 см2 и Е= 2,1 • 105 МПа.

При осадке жесткой балки на шарнирной опоре возникает опорная реакция RA, а в поддерживающих балку стержнях — усилия TVj и N2 (см. рис. 3.19, а). По физическому смыслу задачи очевидно, что усилие Nl является растягивающим, a N2 — сжимающим.

Рис. 3.19

Система является статически неопределимой. Составим уравнение равновесия, не содержащее опорную реакцию RA:

Схема деформации системы показана на рис. 3.19, б. Соотношение между величиной удлинения первого стержня A/j и величиной укорочения второго стержня Д/2 получим из подобия треугольников:

Выразив А/, и Д/2 через усилия в стержнях, получим следующее равенство:

где /j = /2 = 3 м — длины стержней.

Подставив числовые значения Е, Fx, F2, 1Х, /2 и соотношение между Nx и N2 и решив полученное уравнение, находим:

Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Первый стержень

Второй стержень